IV

)UJ

Il faudra donc tâcher d'abaisser cette équation à un degré moindre que le quatrième, c'est-à-dire au second ou au troisième degré, et il conviendra de choisir ce dernier, comme étant le plus haut qu'on puisse admettre dans cette recherche. Pour cela, il faudra donc faire en sorte que les vingt-quatre racines que nous venons de trouver soient égales huit à huit, et l'on y parviendra en comparant ces racines les unes avec les autres de toutes les manières possibles, jusqu'à ce qu'on trouve une combinaison qui donne justement huit racines égales, car alors les seize autres seront aussi égales huit à huit (97).

Supposons d'abord

f[(x' )(x")(x'" )(x'-')]=zf[(x")(x')(x'")(x")],

en sorte que la fonction proposée soit de la forme/[(a;', x") (x'") (x"')\, et toutes les racines deviendront égales deux à deux, de manière que l'équa-

tion ne montera plus qu'au douzième degré (98). Supposons ensuite qu'on ait aussi

c'est-à-dire que la forme de la fonction soit /[{oc', oc") {x"', xlv)\, l'équation se réduira par là au sixième degré. Enfin, si l'on suppose encore qu'on ait

f[{x', x")(x'",jc")] =f[[x'", x")(x', x")],

c'est-à-dire que la fonction proposée soit telle, qu'elle ne change point lorsqu'on y échange à la fois oc' et a?" en oc'" et xlv, elle se trouvera réduite à l'état demandé, puisqu'elle n'admettra plus que ces trois variations

f[{x', x")(x'", x")], f[(x', x"')(x", x'*)], /[(«■', xiy){x", x'")],

de sorte qu'elle ne pourra dépendre que d'une équation du troisième degré, dont ces trois fonctions seront les racines.

Pour trouver la forme générale de la fonction dont il s'agit, je prends, comme dans le n° 105, une autre fonction quelconque, désignée par (p[{x'){x"){x'"){x™)], et je la réduis d'abord à la forme <p[{x', x") [x'" ,x"j\, pour qu'elle demeure la même en y, changeant x en x" ou x" en x"; supposant maintenant, pour plus de simplicité,

il est clair que toute fonction de la forme /[{x', x") {x'", x" )] pourra s'exprimer par une fonction de y' et y"; de sorte qu'on pourra représenter, en général, la fonction cherchée par /[(y') {y")] ; mais il faut, par l'hypothèse, que cette fonction demeure aussi la même en y changeant à la fois x' et x" en x'" et xtv; donc, puisque par ces permutations les deux quantités y' et y" se changent l'une dans l'autre, il faudra que la fonction /[{y') {y")} soit de la forme /[{y1, y")].

Ainsi l'expression générale de la fonction cherchée sera

en effet, si l'on fait

z' = cp [{x', x'" ) {x", x")],

z"~ ? [(x"> x'y) ix'> x'" )]> et ensuite

II' = Cf [ix', x'") ix" y x'" )]'

il est facile de voir qu'en faisant telle permutation qu'on voudra entre les quatre racines x' , x", x'", xiv, il n'en résultera jamais que ces trois fonctions différentes

de sorte qu'elles seront nécessairement racines d'une même équation du troisième degré.

On pourra donc par la résolution d'une équation du troisième degré déterminer la valeur de toute fonction telle que/[(j',j")J. Ainsi, si l'on suppose que les quantités y' et y" soient les racines de cette équation

du second degré

y'1 — ay -4- b = o,

chacun des coefficients a et b sera donné par une équation du troisième degré, puisqu'il sera de la forme/ [( y', y")] ; de sorte que par là on connaîtra les deux quantités y' et y". Or si l'on suppose, ce qui est permis, que la fonction © [(x' , x") (x'", xlv)] ne renferme que les deux racines x' et x", en sorte qu'elle soit simplement de la forme 9 [{oc', x")~\, on aura

y'—y[{x';-x")~] et y"=y[(x"',x")];

donc, si l'on prend x' et x" pour les racines de l'équation

x- — fx -h g— o, et x'", xlv pour celles de l'équation

X2 — llX -+- / := O,

les valeurs des coefficients/, g, h, l ne dépendront que d'équations du

troisième et du second degré; et ces valeurs étant connues on aura celles des quatre racines cherchées par la résolution des deux équations précédentes du second degré.

Tel est le principe général auquel se rapportent la plupart des méthodes pour la résolution des équations du quatrième degré, comme on peut le voir par l'analyse que nous en avons donnée dans la Section II.

En effet, si l'on fait

<?[{*', x")] = x' -h x" et f[[f, r")] = (f — r"Y>

il en résultera la solution du n° 32, et faisant

<?[{x',x")] = x'x" et f[{f, r")]—r' + r">

il en résultera celle du n° 31 , et ainsi des autres.

108. On peut encore dériver la résolution des équations du quatrième degré d'un autre principe, en faisant une combinaison différente des vingt-quatre fonctions du n° 106. Car, si l'on suppose d'abord

c'est-à-dire que la fonction demeure la même en y changeant à la fois x en x", x" en x'", x'" en xlv e.t x1" en x , on trouvera ensuite

et de là

et enfin

de sorte que les fonctions

seront égales, et qu'il n'y aura que ces quatre qui le seront; d'où il s'ensuit que les quatre fonctions dont il s'agit seront égales quatre à quatre, ce qui conduira d'abord à une équation du sixième degré.

Maintenant, si l'on suppose encore cette égalité

c'est-à-dire que la même fonction reste aussi invariable en y changeant à la fois x en x" et x" en x'", et vice versa, il en résultera encore quatre autres fonctions égales aux précédentes, savoir

moyennant quoi les vingt-quatre fonctions du numéro cité se trouveront égales huit à huit, et ne dépendront plus que d'une équation du troisième degré.

Or, en prenant une autre fonction quelconque des racines a?', x", x'", x", qu'on désignera par la caractéristique 9, et désignant par y', y", y'", yiv; ytf yvi^ y\n^ yviu ]es )lujt fonctions suivantes

y[{x,")(xl")(x' ){x" )], y[{x<v)(x' ){x")(x"')],

cs[(x")(x' ){x"){x'")], y[(x' ){xlv)(x'")(x" )],

qui répondent, comme on voit, aux huit fonctions égales ci-dessus, on pourra représenter toute fonction, qui doit demeurer la même soit en changeant x' en x", x'' en x'", x'" en xlv et x" en x', soit en changeant x' en x™ et x" en x", par celle-ci

/[( f> r"> f"> j"v» ry> f"> xvlx> rv'" )] ;

car il est facile de voir que par ces échanges les quantités y', y", y'",-.ne feront que s'échanger les unes clans les autres.

Cette fonction aura donc la propriété de ne conduire qu'à une équation du troisième degré; en effet, si l'on désigne par s', z", z'", zIV, zv,

zVI, zvn, zym ces huit fonctions-ci

et par m', u", u!", uïv, uv, uvl, uv", uym ces huit autres-ci

y[(x'"){x' ){x")(x" )], tp[(>iv)(#" )(x' )(#'")],

?[•(«' H*" )(*")(*")]> cp [(«")(.«"•)(*■' )(*■'")],

on verra aisément que, quelques permutations que l'on fasse entre les quatre racines oc ', x" , x", x1", on n'aura jamais que ces trois fonctions différentes

/[(/> r". j'"> r'% rv> rVI> rv"> rv'" )].

f[(z', z", z'", z'v, z", ZVI, zv", zv,,t )], y[(i<', u", u'", W", u" , u", u1"1, ^^Ï,II )],

qui seront par conséquent racines d'une équation du troisième degré.

Ainsi, la résolution générale de ce degré étant supposée, on pourra déterminer toutes les fonctions de la forme des précédentes; mais, comme les quantités y', y",.--, z', z",..., u! , u",... entrent de la même manière dans ces sortes de fonctions, il est clair que leur détermination dépendra encore de trois équations, chacune du huitième degré.

Il faudra donc tâcher de nouveau de rabaisser ces équations au-dessous du quatrième degré; c'est ce qu'on obtiendra en supposant que la fonction représentée par la caractéristique f soit telle, qu'elle demeure la même en y changeant x' en x", x" en x'", x'" en x"' et xlv en x' ; car alors les quatre quantités y', y", y'", ylv deviendront égales, et les quatre autres yv, yv',yVII,yVIU aussi égales; et il en sera de même des quantités correspondantes s', 2",... et u', u",....

De cette manière les trois fonctions précédentes pourront s'exprimer simplement par les formules

et les quantités/', jv; z , z"; u', uv seront les racines de trois équations du second degré telles que

j2 — ay H- b = o, z2 — cz -+- ci = o,

où les coefficients a, c,/ seront racines d'une équation du troisième degré, ainsi que les trois autres coefficients b, cl, g.

'Il ne reste donc qu'à trouver la forme que doit avoir la fonction çj pour que les conditions prescrites aient lieu. Pour y parvenir de la manière la plus générale, on prendra une autre fonction quelconque de x', x", x'", xlv, qu'on désignera par la caractéristique $ : on formera, comme ci-dessus, les vingt-quatre fonctions qui répondent aux vingt-quatre permutations qu'on peut faire entre les racines x', x", x'", xlv; et l'on désignera ces fonctions par les quantités Y', Y",..., Y™1, Z', Z",..., ZVI", U', U",..., UVI"; c'est-à-dire qu'on changera dans les formules ci-dessus la caractéristique <p en O, et les petites lettres y, z, u dans les grandes lettres Y, Z, U. Ensuite, en prenant de nouveau la caractéristique f pour désigner une fonction quelconque, il est facile de voir qu'on aura, en général ,

j' = 9[(Y',Y",Y'",Y-)], r = (p[(Y', Y", ¥»',¥«»)]. z'=cp[(Z', Z", Z'", Z")], zv = <p[(Z\ Z-', !"•', Z"")], M' = cp[(U', U",U'", U")], M" = <p[(Uv,UVI, UV'-,U— >)].

De là il est aisé de conclure que la détermination des fonctions Y', Y", Y'", YIV dépendra maintenant d'une équation du quatrième degré, ainsi que celle des fonctions YT, YVI, Yv", YV1", et il en sera de même des autres fonctions Z', Z",..., Zvm et U', U",..., Uvm, qui dépendront aussi quatre à quatre d'équations du quatrième degré.

DES EQUATIONS. 401

Soit donc

Y4 — AY3 + BY2 — CY -+- D = o

l'équation dont les racines seraient Y', Y", Y'", YIV; il est clair qu'on

pourra la résoudre de deux manières :

i° En faisant disparaître ses puissances impaires pour la réduire à la

forme

Y< + BY2 4- D = o.

qui est résoluble à la manière de celles du second degré ; or pour cela il faudra que les racines Y', Y", Y'", YIT soient deux à deux égales et de signes différents, c'est-à-dire que l'on ait

Y'= — Y" et Y'"=— Y-\ Ainsi il faudra, dans ce cas, que la fonction $ soit telle, que l'on ait

et

c'est-à-dire qu'elle ait la propriété de devenir négative en y changeant x' en x", x" en x'", x'" en x" et xls en x '; auquel cas on aura aussi

d'où l'on voit qu'on aura en même temps

c'est-à-dire

ce qui rendra l'équation en Y de cette forme

«Y=— E)2=o, c'est-à-dire Y2 — E = o.

Et il est facile de voir que les autres équations dont les racines seront les quantités Yv, YVI, Yvu, YTm, ou Z', Z", 11", ZIV, ou, etc., se trouveront aussi par là réduites à la même forme, puisque ces racines ont entre elles III. 5t

la même relation qu'ont les racines Y', Y", Y'", YIV, laquelle consiste en ce que l'une dérive de l'autre par les échanges de x' en oc", oc" en oc'", x'" en x" et xlv en x'.

Les fonctions

et d'autres semblables, auront la propriété dont il s'agit. 20 On peut aussi rendre résoluble l'équation générale

Yj - A Y3 -t- BY2 — CY -+- D = o,

en la réduisant à deux seuls termes

auquel cas les quatre racines Y', Y", Y'", YIV seront exprimées ainsi

AsJ— D, oflj^YÎ, a2^U, «vCrD>

en prenant i, </., a2, x3 pour les quatre racines quatrièmes de l'unité; de sorte que la condition pour ce cas sera, à cause de a* = i ,

Y'=aY"=a2Y'"=:a3Y'v,

c'est-à-dire qu'il faudra que la fonction $ soit telle, qu'on ait

$[{x')(x"){x'"){x")] = oc §[(x" )[x'") (xiv)(x' )] = a2(S>[{x'"){x")(x' ){x" )] = «»$[(.#») (a?' ){x" ){x'")}.

Et alors toutes les équations du quatrième degré d'où dépendent les autres quantités Yv, YV1, Y™, YT1I\ Z', Z",... se trouveront aussi réduites au même état, par la raison énoncée ci-dessus.

Il est facile de trouver que la fonction

x' -+- ax" ■+- oâx'" -+- a'x"'

aura la propriété requise; d'où l'on peut conclure que l'analyse précédente contient le fondement de la méthode du n° 47.

109. Voilà, si je ne me trompe, les vrais principes de la résolution des équations et l'analyse la plus propre à y conduire; tout se réduit, comme on voit, à une espèce de calcul des combinaisons, par lequel on trouve à priori les résultats auxquels on doit s'attendre. 11 serait à propos d'en faire l'application aux équations du cinquième degré et des degrés supérieurs, dont la résolution est jusqu'à présent inconnue; mais cette application demande un trop grand nombre de recherches et de combinaisons, dont le succès est encore d'ailleurs fort douteux, pour que nous puissions quant à présent nous livrer à ce travail; nous espérons cependant pouvoir y revenir dans un autre temps, et nous nous contenterons ici d'avoir posé les fondements d'une théorie qui nous paraît nouvelle et générale.

110. Avant de terminer cette Section, nous croyons devoir encore traiter en peu de mots de la réduction ou abaissement des équations à un moindre degré, qui a lieu lorsqu'il y a entre quelques-unes des racines de l'équation proposée quelque relation donnée. Car, quand toutes les racines d'une équation ont entre elles les mêmes rapports, l'équation est alors nécessairement et essentiellement d'un degré égal au nombre des racines, et il est impossible, généralement parlant, qu'elle puisse s'abaisser à un moindre degré. C'est ainsi, par exemple, que le Problème de la trisection de l'ansle, considéré en eénéral, est nécessairement du troisième degré, puisqu'il y a trois différentes manières d'y satisfaire, lesquelles conduisent toutes à une même équation, où les trois solutions sont également renfermées. Cependant il y a, comme on sait, des cas particuliers où l'on réussit à rabaisser ce Problème au second degré, parce qu'il y a alors un rapport particulier entre deux des racines de l'équation.

Il en est de même de tous les Problèmes et de toutes les équations. S'il y a une relation particulière entre quelques-unes des racines d'une équation quelconque, on est assuré qu'elle peut s'abaisser à un moindre degré; et si l'on connaît à priori cette relation, ou par la forme même de l'équation, ou par la nature du Problème qui y a conduit, on pourra toujours trouver la réduction dont elle est susceptible.

M. Hutlde est, je crois, le premier qui ait traité cette matière clans la

Lettre De reductione equationum qui est imprimée à la suite de la Géométrie de Descartes. Il y fait voir comment une équation peut être abaissée à un moindre degré lorsqu'il y a entre quelques-unes de ses racines une relation telle, que leur somme, ou la somme des produits deux à deux, ou des produits trois à trois, ou, etc., est nulle ou égale à une quantité donnée; comme aussi lorsqu'elle renferme des racines égales ou des diviseurs commensurables quelconques. D'autres Géomètres se sont ensuite exercés sur cette matière et ont perfectionné et étendu plus loin les règles et les méthodes de M. Hudde {voyez surtout l'excellent Ouvrage de M. Waring cité ci-dessus); mais on peut encore envisager ce sujet d'une manière plus générale d'après les principes établis dans les nos 100 et suivants.