Exemple VI. — Soit proposée l'équation

o = a — x + $xe -+- y xP+i 4- oxi'^2i + exp^i 4- ... ;

en la comparant avec l'équation (H) du n° 16, on aura

cp ( x ) = fixi> + yxi'+i -+■ dxP+2i -+- ixP+*i + . . . ,

donc

" l°V' — - Rap-l y-P ) yxP+1-' yP+q | §aP-*-""l-l yP+l<l + . . .

et

<f>{ay) i — fixP-'yPz — ya.P+i-1 yP+i z —.. .

Faisons, pour plus de simplicité,

«/"-î-1 yP-1 z — u,

et l'on aura la fraction

i — (3m(«j)?— yu(ay)2i — àu{xyfi—. . .

laquelle, étant développée suivant les puissances de txy, deviendra

i 4- P ( xy)i +' Q (a.fY-i + R ( ayfi -t- S ( a yfi + ...,

où l'on aura

Q = P(3« + yu,

R = Q(3m + Pyw + Su,

S — R(3« + Qyu ■+■ Pô« -+- eh,

^t, développant de nouveau ces valeurs suivant les puissances de u,

P = A«, Q=B« -hB,if-, R = C u -+- Ci u- -+- C2 m3, S =Dh + D,«2 + D2m3+ D3h\ ,T=Eh + E, «2 -+- E, m3 -:- E, «4 + E4 «s,

34 MÉTHODE POUR RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS les coefficients À, B,... étant déterminés de la manière suivante-

B=y, B, = pA,

C = d, C,=7A + fB, C2 = pB, ,

D = c-, Dl=tfA-|-yB-Jr-(3C, D2 = vB, + fiC,, D3 = £C2,

E = Ç, E, = EA+rJB + vC + pD, E,, = rîB,+7C, + SD,, E3 = 7C2 + (3D2, E, = pD3.

Ainsi, remettant à la place de u sa valeur #/'-î^1 vp qz, oïl aura

t aj' ( A ai>-> yt i]/ (/)

-+- Ra/'+î- ' j/J+î ij/ ( j) + R, (t'f-'zjV tj/ (j)

Donc, pratiquant les transformations enseignées dans le n° 18, on aura la valeur de di ( — ] exprimée par la série suivante, dans laquelle il faudra se souvenir de faire y = i après toutes les différentiations,

+ BaP+ï-'^+î <]/ {y) -4- B, a'/-2 • '- d^'2''J'' ^r^

i f/rr2',+',4/(r)l

+ C#«»-' yP+*l<y (y) + C, a!/'+î"2 ■ - l d