Soit proposée la formule
y--— o.z*; donc
ainsi l'on aura
or il est clair qu'on ne peut rendre ^'<r'< i; ainsi l'on passera à une seconde transformée.
Pour cela, on prendra donc
c'est-à-dire m' = i , ce qui donnera
ensuite on aura
s", pour que q" ne soit pas > — > -> il faut prendre /ra" = i, ce qui
ri
donne
de sorte que, comme q" est en même temps non >• — , on aura la transformée
r"1 y"'1 -+- iq" y" y'" — r"y'"2,
c'est-à-dire
qui aura les conditions requises; or cette transformée est semblable à la
formule
iz* — y\
de sorte que les deux formules
y2 — o.z' et iz- — y-,
que notre méthode générale donne pour les diviseurs des nombres de la forme f- — iir, reviennent à la même, comme nous l'avons déjà remarqué (20, II).
On trouvera, de même, que les deux formules
y2 — 5z2 et 5z2 — y2
reviennent à la même, comme on l'a observé dans le numéro cité, V.
Considérons, pour donner un autre Exemple, le cas du n° 20, VII, où nous avons trouvé que les formules des diviseurs de
t2 — 7 frétaient
y2 — 7^2, 2.y2±2.yz — 3z2, yz2 — y2, 3z2±?.yz — zy'J.
i° Soit donc
r'=i, q = o, /•=7=ra;
où l'on voit que q' ne saurait devenir < — < - 2° On prendra donc
m <T ■Z-L ; m "> :LJ- — i , i i
donc
de là on aura donc
r" 3 et pour que ^" ne soit pas > — > - il faudra faire m" — i, ce qui
donnera
de sorte que, comme q" est en même temps non > — > la transformée
r'»y."ï | iq" y"y'" — r"y'»*}
c'est-à-dire
aura les conditions requises.
3° On prendra
donc m" = i ; d'où
ensuite de quoi on aura
qm= — 1 + 2 Ht", r" = — ;
donc, pour que q" ne soit pas > — ■> il faudra prendre mm — i, ce qui
donnera
de là on aura la nouvelle transformée
qui aura aussi les conditions requises.
4° On fera
/// ^- \ll + l m ^ \l"l +
donc m'" = i , et de là
q'" = i, rIV= 3;
ensuite on aura
, „ , 7-g'v; </" = i — 3m", rv= — ^ — ;
où l'on voit qu'on ne saurait prendre mlv en sorte que ^rlv ne devienne pas > —
5U On fera
nV <; v X — , m" ;> J^ ,,
donc mlv = i; et de là
ensuite on aura
</ = — 2 -i- wv, rVI = * — •
donc, pour que qv ne soit pas > —■> on fera mv = 2, ce qui donnera
<T = °. ''VI = 7 ; de sorte qu'on aura la transformée
qui aura les conditions prescrites.
6° On fera
> ^ s/ 7 "+- 2 » ~J V^7 -+- 2 m' << — 5 ne >• — 1 ;
donc mv= 4, par conséquent
j'observe ici, sans aller plus loin, que ces valeurs de cf et rvl sont les mêmes que celles de q' et r" (20, page 743); donc, puisque la différence des exposants de q est paire, il s'ensuit que les transformées qu'on pourrait trouver en continuant le calcul seraient les mêmes que celles qu'on a déjà trouvées ci-dessus (25).
Ainsi la formule y2 — jy'2 ne saurait fournir d'autres transformées qui aient les conditions prescrites que ces deux-ci
2 y" ' — if y'" — 3 y'"-, 2 yty2 + 2 jrv y'" — 3 y""- ;
d'où l'on voit que les formules
,î'2 — 7 22, iy2 ±i.yz — 3 z1
reviennent à la même, comme aussi les formules
73°— y-, 3z*zp lyz — iy-
qui ne sont que les négatives de celles-là; mais que les deux formules
y1 — ']Z\ -jz'-y*
ni. 94
7i6 RECHERCHES
ne sauraient se réduire l'une à l'autre, comme cela a lieu dans les formules
de l'Exemple précédent.
27. Pour développer davantage l'application de nos méthodes des Problèmes II et IV, nous allons chercher ici les formules des diviseurs des nombres de la forme
t1 — 79 m2 ou 79 u1 — P.
On aura donc ici a = 79; donc il faudra que q ne soit pas > \/ - > 3,
de sorte qu'on ne pourra faire que q= o, 1 , 2, 3. Faisant q = o, on aura pr — 79, donc
faisant q = vf on aura pr—'jS, donc
p = 2, r=3g, ou p = 3, /* =26, ou /> = 6, r=i3;
faisant q = 2, on aura pr = 75, donc
entin faisant y — 3, on aura pr = 70; donc
/> = 7> ^io
Ainsi l'on aura pour les diviseurs dont il s'agit les formules suivantes
y2 — 7922, 2y2dz2yz — 39Z2, Zy2±iyz — 26s2, 6y2±iyz — i3z2, 5y2±^yz — i5z2, ,]y2±6yz — ioz2,
et leurs inverses
19z' — f'2> ^z'z^iyz — iy2, i&z1 =p 2 yz — 3j2, i3z23Z2j--2 — 6j2, i5z2zp47'2 — S^-2, 10.Z2 zp 6^3 — 7J-'2»
ce qui fait en tout douze formules; mais il faut maintenant les trier, et en rejeter celles qui sont identiques entre elles. Considérons d'abord la formule
rï 79s1 ou bien j2 — 79 j'2.
i° On aura
donc
or q est toujours > — ) à moins qu'on ne fasse m'--=o, ce qui ne donnerait aucune nouvelle formule.
20 Ainsi l'on fera
, J- V79 , C V79 m <C ^-^ 1 m >> XJ-3 — 1 , 1 1
donc m' = 8, par conséquent
ensuite, on aura
où l'on fera m"= 1 pour que q" ne soit pas > — -, on aura donc q"= — 7, r'"=2;
mais, comme q" serait >— > ces valeurs ne donnent point de transformée convenable.
3° On fera donc
donc m"= 1 , et de là
ensuite on aura
q — — 7 + i ni", r IV = — — -,
qu'on prenne m" = 3 ou = 4 pour avoir q" = ± î , non > — > et rlv deviendra égal à 3g; de sorte qu'on aura celte transformée, qui aura toutes les conditions prescrites
4° En poursuivant le calcul on fera
c'est-à-dire m" = 7 ; d'où
ensuite on fera
et l'on prendra m" = 1 pour avoir 9" non >> — ••, ainsi l'on aura
q'v = — 8, rv = 1;
mais, comme qlv est plus grand que — » on rejettera ces valeurs comme inutiles.
5° On fera donc
donc mlv = 1 , par conséquent
après quoi on supposera
Ç'=8 + m*, ,-=29zLil2,
et l'on prendra rrC = 8 pour avoir
q" = o, /'v, = 79, ce qui donnera la transformée
rVI2— 79JV2>
qui est entièrement semblable à la première formule
6° Je fais
savoir m" = 16, ce qui donne
or je remarque que ces valeurs de qv et rV[ sont les mêmes que celles de q' et r" du 20, page 747; de sorte que, comme la différence des exposants de q est paire, on retrouvera les mêmes transformées qu'on a déjà eues; d'où il s'ensuit que la formule
r'-— 79 rJ
ne peut se changer en aucune autre qu'en celle-ci
2j""'±2.r,vr""-39/""-
et qu'ainsi parmi toutes les formules trouvées pour les diviseurs de t'2 — 79 m2 il n'y a que ces deux-ci
/=— 79s2 et 2j2d= 272-392*
qui soient identiques entre elles, auxquelles on doit encore ajouter leurs
inverses
79^! — T' et 39z2=F 273 — 27-,
qui seront aussi identiques entre elles. Considérons maintenant la formule
3y2 dz iyz — 262", savoir
3r2±2jj-'— a6j'2.
i° On aura
a étant toujours égal à 79; ainsi l'on supposera
et comme on ne peut pas prendre m' tel que <jr' ne soit pas > —■> on passera à une autre transformée.
20 On fera donc
donc m' = 2 et
ç'~ 7, r" = io;
ensuite on supposera
on prendra donc m" = 1 pour avoir
g"--3<i°, et l'on aura
ainsi l'on aura la transformée
7r"5 6r"j'" — io/"S
qui aura les conditions requises.
3° Soit
// ^ \/79 + 7 « ^ \Jl'9 "!" 7
donc m" = 2 et
ensuite, soit supposé
g'" = — 3 -f- 7 m"', r IV
et comme on ne peut pas prendre m" tel que q" ne soit pas >— , on passera à la transformée suivante.
4° On fera donc
c'est-à-dire m'"= i, et l'on aura
. q"' =4, rïj = 9, .
ensuite de quoi on supposera
or on ne peut prendre m" tel que qlv ne soit pas > — ; donc, etc.
5° On fera
c'est-à-dire mIV = 1 ; donc
q'y = — 5, rv = 6;
après quoi on fera
= -5+6,»', ,v.= 79zp£:; b
ici l'on peut prendre mv = 1 , ce qui donne qv = i, r" = i3;
valeurs qui ont les conditions requises; de sorte qu'on aura la transformée
6° Soit maintenant
donc nf = 2 et
ensuite soit supposé
et il est clair qu'en prenant mVI = 1 on aura <7™< — ; on aura cl 0 n < •
qyi = 2, ;,v" = 1 5; de sorte que la transformée
aura les conditions requises.
70 Qu'on prenne
donc /?ïvi = 3 et
g"= — 8, rv" = 3;
ensuite on supposera
et prenant mvn= 3, on aura
ce qui donnera la transformée
3j-vr,i2| jj.'»lj.'H 2.6)-V"!,
qui est semblable à la proposée.
8° On fera donc encore
v,, - v/79-+-8 ,„. V79 + 8 mvll< Lj^5 ; m,">!-^ 1;
c'est-a-dire myn= 5, et par conséquent
valeurs qui sont les mêmes que celles de q' et r" : de sorte que les mêmes
transformées qu'on a déjà trouvées reviendraient si l'on continuait le calcul.
Reprenons maintenant les mêmes valeurs de r' et r du i°, page 75o, mais au lieu de supposer q — i , qu'on fasse g = — i ; donc
or, comme on ne saurait déterminer m' en sorte que q' devienne <— >
il faudra passer immédiatement à une autre transformée. 20 On fera donc
donc m = 3 et
ensuite on supposera
« q k // », Ie) — q"2
et il est clair que prenant m"= 2, q" ne sera pas > — ; ainsi l'on aura
q"= — n, r"'= i5; de sorte qu'il en résultera la transformée
i5r'"'— '\y"y"'— sy",
qui a, comme on voit, les conditions requises. 3° On fera
c'est-à-dire m" = 3, d'où
q"= — l, r'" = 6; ensuite on supposera
q'"= — 7 -+- 6m*, r'*= • q ; III. 95
et l'on prendra ni" = i pour avoir
q'"= — i, rlv = i3,
ce qui donnera la transformée
5j-iv2 — 2j"j'" — i3 r'"2,
qui a les conditions requises.
4° Soit
donc m!" = 2 et
ensuite on supposera
et l'on pourra prendre »2IV = i , ce qui donnera
7'v=: — 4 <— i mais alors on aura
de sorte que ces valeurs ne sont pas convenables. 5° Soit donc
donc mlv = 1 et
f/,v= — 4, cv=7;
ensuite on fera
et l'on pourra prendre /rcv = 1 , ce qui donnera
g" = 3 -< — j r,, = io;>2(7v de sorte qu'on aura cette transformée
7Jv12 + 6jv,rv ,orv,
6° Soit
donc rrC = î et
<jrv = 3, rVI = io;
qu'on fasse ensuite
1 io
et, comme on ne peut pas prendre rrC1 en sorte que qyt devienne non "> — ) on passera d'abord à la transformée suivante.
7° Soit donc
donc mVI = 1 et
du'on fasse ensuite
r=-, + 3m-, rv,= 79-^":
et prenant irevn = 2 on aura
^- ''"" „„ fi^
donc on aura la transformée '
3 y'iii: — 2j'",f"1 — 26j"VI12,
qui est analogue à la proposée.
8° Soit encore
donc mv" = 5 et
q"Ll = 8, rVI11 = 5,
valeurs qui sont les mêmes que celles de q et r" du 2U, page 753; ainsi l'opération sera terminée.
On voit donc que la formule 3 y- ± iyy' — tôy'2 n'a pu fournir que ces transformées
lï"-~ &r"y'"— ioj-'"j, 6jv'2 -t- iy"ly" — i3j ", i5jvi2 + /j jv' rT — 5rv2, i5j"2— 4r"r'"— o/'"2. 6j-it2 — 2j,v/" — '3r"'2, 7?'VI2-+- 6jvij'— ior'!;
d'où et de ce qui a déjà été trouvé ci-dessus, je conclus que les douze formules que nous avons données pour les diviseurs des nombres de la forme t2 — 79 ir peuvent se réduire à ces quatre-ci
J2— 79z"> 79z' — X2' 3J"2± 7-Tz — a6z2> 26z3rp iyz — 3j2,
lesquelles doivent être regardées comme essentiellement différentes l'une de l'autre, en sorte qu'elles n'admettent plus aucune réduction.
28. D'après ces principes on pourra construire deux Tables pour les formes des diviseurs impairs des nombres t1 -+- au- et t2 — au- en supposant successivement a = 1 , 2, 3, —
Voici ces Tables poussées jusqu'à a = 3i; il serait bon de les continuer au moins jusqu'à 100; mais nous nous contentons ici de mettre sur la voie ceux qui voudront dans la suite se charger de ce travail.
On remarquera, à l'égard de la seconde Table, que les signes ambigus ± qu'on y trouve dénotent que les valeurs de p et de r qui en sont affectées peuvent être prises également avec les signes supérieurs ou avec les inférieurs; ainsi, puisque à a = 2 répond p = ± 1 , q = o, /■= ± 2, il s'ensuit que tout diviseur impair de t2 — 2«2 sera en même temps de la forme y2— 2c2 et 2z2~y2, et ainsi des autres; de sorte que, clans ce cas, on sera libre de prendre les signes supérieurs ou les inférieurs.
On doit remarquer encore que l'on a omis, pour plus de simplicité, toutes les valeurs de a qui seraient égales à des carrés ou divisibles par des carrés; c'est pourquoi dans la colonne des valeurs de a on ne trouve ni le nombre 4» ni le nombre 8, ni, etc.; en effet il est visible que la formule t2 4- L\u2 est comprise sous celle-ci f- -+- ir où a==i. On voit de même que la formule t2 -+- 8u2 est réductible à celle-ci t2 + 2a2 où a = 2, et ainsi des autres.
