La réduite en /sera donc, généralement parlant, du degré
mais cette équation pourra toujours s'abaisser à un degré inférieur par des considérations semblables à celles des nos 57 et 59. En effet, si rs est
un nombre premier, il est facile de prouver par des raisonnements analogues à celui du n° 56, que l'on pourra suppléer aux permutations des racines x', x{m+K), x^^',... en x", x^+2\ x{2m+i\... en x'", x^+3>, ic(2CT+3), ... en, etc., en substituant successivement dans l'expression de/ les puissances a2, a3,..., <xa~' à la place de a; de sorte que si l'on met y au lieu de a dans l'expression de/, et qu'ensuite on élimine y par le
moyen de l'équation
ou bien
on aura une équation en /telle que
laquelle sera un diviseur de la réduite en/; et les coefficients F, G,... seront déterminés chacun par une équation du degré
ce qui donnera autant de diviseurs de la même réduite, dont chacun sera du degré rs — i .
Si v n'est pas un nombre premier, alors il faudra chercher, comme dans le n° 60, l'équation dont les racines seront les puissances de a qui auront pour exposant des nombres premiers à v en y comprenant l'unité, et, désignant cette équation par
on éliminera, par son moyen, y de l'expression de/; on aura une équation en /telle que
où chaque coefficient F, G,... ne dépendra que d'une équation du degré
de sorte que l'on aura par là autant de valeurs de F, G,..., et par consé-
quent autant d'équations en / du degré X, lesquelles seront les diviseurs de la réduite en /.
Soit, par exemple, p. = 6 :
i° On pourra faire v = 3, ts = 2, et la réduite en /sera du degré '^' = i5; et, à cause de rs — i = i, elle ne pourra plus s'abaisser par
la méthode précédente.
2 3 4 5 2° On pourra faire v = 2, tz = 3, on aura ' = l\o pour le degré
de la réduite en/; et comme ts — 1 = 2, on pourra résoudre cette réduite
en vingt équations du second degré chacune, moyennant une équation
du vingtième degré.
65. Revenons' maintenant aux formules du n°51; et il est clair que l'équation proposée (a) pourra être regardée à son tour comme le résultat de l'élimination de y faite par le moyen des équations (c) et (d). Ainsi, si l'on regarde les coefficients A, B, C,... de l'équation en y comme donnés et les coefficients F, G,... de l'expression de x en y comme indéterminés, on pourra, par la comparaison des termes de l'équation résultante de l'élimination de y avec ceux de la proposée, déterminer ces derniers coefficients, pourvu que leur nombre ne soit pas moindre que p.; ce qui ne sera point à craindre tant qu'on prendra
X = " ou — ; et si l'équation en y est prise telle qu'elle soit résoluble,
ce qui peut avoir lieu d'une infinité de manières différentes, on aura la résolution complète de la proposée; mais la difficulté consistera dans la détermination des coefficients indéterminés F, G, —
On facilitera cependant beaucoup cette détermination ainsi que l'élimination de y, si l'on change l'expression de x, donnée par l'équation (d), en une autre où l'inconnue y ne se trouve qu'au numérateur; c'est ce qui est toujours possible en multipliant le haut et le bas de la
fraction
F + Gj + Hj' + .-.+ K^
