DANS LESQUELLES ON TACUE DE RÉSOUDRE
LA QUESTION PROPOSÉE PAR L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES POUR LE PRIX DE L'ANNÉE 1764 (*).
(Prix de l'Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1764.
Cet écrit a pour objet d'examiner les différents mouvements, apparents ou réels, que la Lune peut avoir autour de son centre. Je suppose d'abord que cette Planète a une figure quelconque; et je cherche le mouvement qu'elle doit recevoir de l'action de la Terre et du Soleil. Quoiqu'un très-grand Géomètre ait déjà donné des méthodes et des for-
(*) Dans ce premier travail sur la libration de la Lune , Lagrange donne une explication satisfaisante du phénomène de l'égalité entre les mouvements moyens de translation et de rotation de la Lune ; mais il n'est pas aussi heureux à l'égard du phénomène de l'égalité entre le mouvement des nœuds de l'équateur lunaire et celui des nœuds de l'orbite de la Lune sur l'écliptique.
Il fallait de nouveaux efforts pour obtenir une solution complète du Problème du mouvement de l'axe lunaire. L'illustre Auteur y a consacré assurément de longues méditations, car ce n'est que seize années plus tard qu'il présenta à l'Académie de Berlin sa célèbre Théorie de la libration de la Lune. (Œuvres de Lagrange, t. V, p. 1.) (Note de l'Éditeur.)
mules générales, qui peuvent aisément s'appliquer à la recherche dont il s'agit ici, néanmoins il m'a paru plus commode de reprendre la question en entier, et de la résoudre par une méthode que je crois nouvelle à plusieurs égards et qui est d'un usage simple et général pour tous les Problèmes de Dynamique. Cette méthode me conduit naturellement à trois équations générales, qui reviennent au même, pour le fond, que celles qu'on trouve dans les Mémoires de l' Académie de 1754, pages 4^4 et 425 ; et, pour en faciliter la comparaison à ceux qui voudront prendre la peine de la faire, j'expose en peu de mots les principales différences qu'il y a entre elles par rapport à la diversité des dénominations. D'après ces équations, j'examine quels changements l'action de la Terre et du Soleil doit produire dans la rotation de la Lune et dans la position de son axe. Après avoir prouvé que l'action du Soleil est presque insensible par rapport à celle de la Terre, je trouve qu'en supposant, avec M. Newton, que la Lune est un sphéroïde allongé vers la Terre, cette Planète doit faire autour de son axe une espèce de balancement ou de libration, par lequel sa vitesse de rotation est tantôt accélérée, tantôt retardée; et j'explique alors avec facilité pourquoi la Lune doit nous montrer toujours à peu près la même face, quoiqu'elle n'ait point reçu d'abord, comme il est très-naturel de l'imaginer, une rotation exactement égale à son mouvement moyen autour de la Terre. Je fais voir ensuite que l'axe de cette Planète doit être sujet à un mouvement semblable à celui de la Terre, comme M. d'Alembert l'a déjà démontré dans la supposition que la Lune soit un sphéroïde homogène et elliptique dans tous les sens; mais je diffère essentiellement de lui sur la quantité de la précession et de la nutation qui doit avoir lieu dans cette hypothèse; je donne la raison de la différence qui se trouve entre nos résultats, en faisant voir que les formules qui sont vraies pour la Terre ne s'appliquent pas indistinctement à la Lune, comme le suppose cet Auteur. Je fais voir de plus que la figure de la Lune pourrait aussi être telle que la précession de ses points équinoxiaux fût exactement, ou à très-peu près, égale au mouvement des nœuds de la Lune, comme l'a trouvé M. Cassini; et dans ce cas je démontre qu'il ne doit plus y avoir de nutation sensible
dans l'axe de cette Planète. Au reste, c'est aux Astronomes seuls à nous instruire pleinement là-dessus; mais, pour les mettre plus à portée de connaître ces différents mouvements, je propose des méthodes que je crois assez simples pour déterminer, par le moyen des observations des taches de la Lune, la position de son axe de rotation et la quantité de sa libration tant apparente que réelle.
Tels sont, en abrégé, les points principaux de la Dissertation suivante. L'Académie Royale des Sciences ayant proposé pour le sujet du Prix de l'année prochaine : « Si l'on peut expliquer par quelque raison » physique pourquoi la Lune nous présente toujours à peu près la même » face; et comment on peut déterminer par les observations et par la » théorie si l'axe de cette Planète est sujet à quelque mouvement propre, ■ semblable à celui qu'on connaît dans l'axe de la Terre, et qui produit » la précession des équinoxes et la nutation »; j'ose lui présenter le fruit de mon travail sur cette importante matière. S'il ne répond pas entièrement aux vues de cette savante Compagnie, au moins servira-t-il à jeter de nouvelles lumières sur un des principaux phénomènes célestes.
Comme il n'est question ici que du mouvement que la Lune doit avoir autour de son centre de gravité, en vertu de l'action du Soleil et de la Terre, il est évident qu'on peut regarder le centre de la Lune comme immobile par rapport à la Terre et au Soleil, en transportant à ces deux Planètes en sens contraire le mouvement que la Lune a réellement autour d'elles, c'est-à-dire en imaginant que la Terre et le Soleil se meuvent autour du centre de la Lune, supposé fixe, comme les verrait un observateur placé dans ce centre.
Cela posé, j'imagine par le centre de la Lune un plan parallèle à l'écliptique, auquel je rapporte la position des centres de la Terre et du Soleil, comme aussi celle de tous les points de la masse de la Lune. Pour cela, ayant mené du centre de cette Planète dans le plan dont je, parle une ligne fixe et dirigée vers le premier point d'Anes, laquelle sert
d'axe commun à toutes les abscisses : soient x l'abscisse et y l'ordonnée rectangle qui répondent à la projection du centre de la Terre sur ce plan, et soit z l'autre coordonnée rectangle qui exprime la distance du centre de la Terre au point qui en est la projection; soient aussi os', y', z' les coordonnées semblables pour la position du centre du Soleil; enfin soient X l'abscisse, et Y, Z les deux ordonnées correspondantes à un point quelconque a de la masse de la Lune.
Il est visible :
i° Que la distance de ce point au centre de la Terre sera exprimée par
vA x - X)2 + (j - Y)' -4- ( z - Z)',
quantité que j'appelle R, pour abréger;
2° Que la distance du même point au centre du Soleil sera exprimée de même par la quantité
^'-Xf + (j'-ï)! + (2'-Z)!,
que j'appelle R'.
Donc, si l'on nomme T la masse de la Terre et S celle du Soleil, chaque
point a de la Lune sera tiré par deux forces, l'une dans la direction de
la ligne R, égale à — ? l'autre suivant la ligne R', égale à t^-
De plus, si l'on prend l'élément du temps dt pour constant, on aura
—T^-i -j«-> -jjr Pour les forces accélératrices dont le point « est sollicité
suivant la direction des espaces dX, dY, dZ, qu'il parcourt dans l'instant dt, et il faudra, par le principe général de la Dynamique, que ces
forces prises en sens contraire et combinées avec les forces ^? ^ tiennent le système de tous les points a, c'est-à-dire la masse entière de la Lune, en équilibre autour de son centre de gravité supposé fixe.
C'est un principe généralement vrai en Statique que, si un système quelconque de tant de corps ou de points que l'on veut, tirés chacun
par des puissances quelconques, est en équilibre, et qu'on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit, la somme des puissances, multipliées chacune par l'espace que le point où elle est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zéro. Dans la question présente, si l'on imagine que les lignes X, Y, Z, R, R' deviennent, en variant infiniment peu la position de la Lune autour de son centre,
X + aX, Y + âY, Z + ÔZ, R + ÔR, R'-t-âR',
il est facile de voir que les différences
ÔX, ôY, ôZ, ÔR, ÔR'
exprimeront les espaces parcourus en même temps par le point a dans des directions opposées à celles des puissances
dt2 '
dt2
arfF'
aw
«Ht;
qui sont censées agir sur ce point; on aura donc, pour les conditions de l'équilibre, l'équation générale
/[-^■(-a)+-^(-w)+^(-«)+«I;(^«a,+«|î(-«ii')]=o;
savoir, en changeant les signes,
(A) ^ r«(</»XaX-i-tfIYdY + rfIZ3Z) + T f^ + S f^- = o.
Les quantités ÎX, §Y, àZ, ôR, 5R' ne sont autre chose que les différentielles des lignes X, Y, Z prises à l'ordinaire et affectées de la caractéristique § au lieu de la commune d, pour les distinguer des autres différentielles des mêmes lignes qui ont rapport au mouvement réel du corps.
Quant au signe d'intégration / > il est mis pour marquer la somme
de toutes les formules semblables qui répondent à tous les éléments a. de la masse de la Lune.
