VI
Scolie. — Le principe de Statique que je viens d'exposer n'est, dans le fond, qu'une généralisation de celui qu'on nomme communément le principe des vitesses virtuelles, et qui est reconnu depuis longtemps par les Géomètres pour le principe fondamental de l'équilibre. M. Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait envisagé ce principe sous un point de vue général et applicable à toutes les questions de Statique, comme on le peut voir dans la Section IX de la nouvelle Mécanique de M. Varignon, où cet habile Géomètre, ajprès avoir rapporté d'après M. Bernoulli le principe dont il s'agit, fait voir, par différentes applications, qu'il conduit aux mêmes conclusions que celui de la composition des forces.
C'est aussi ce même principe qui sert de base à celui que M. de Maupertuis a donné dans les Mémoires de l' Académie de 1740, sous le nom de loi du repos, et que M. Euler a développé ensuite et rendu très-général dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1 7 5 1 .
Enfin c'est de ce principe que dépend celui de la conservation des forces vives, comme M. d'Alembert l'a remarqué le premier à la fin de sa Dynamique ; ce qui peut d'ailleurs se démontrer généralement ainsi.
Soit un système quelconque de tant de corps qu'on voudra m, m', m", . . . , qui pèsent, ou qui soient attirés vers des centres par des forces quelconques; soient P, Q, R, . . . les forces qui agissent sur le corps m, et p, q, r,... les distances respectives de ce corps aux centres de ces forces; soient aussi P', Q', R , . . . , P", Q", R", ... les forces des corps m', m",..., et/)', q', /',..., p", q", r",... leurs distances aux centres des forces; si l'on imagine que tous ces corps se meuvent, durant un instant quelconque dt, par les espaces ds, ds', ds",... avec les vitesses v, v\ c",..., il faudra, par le principe général de la Dynamique, que le système des corps m, m', m",..., animés chacun des forces
mdv m' dv' tn"dv"
df c/t~ ' dF"'""'
dans la direction même des espaces ds, ds' , ds",..., soitea équilibre avec les forces
mV, mQ, mR,..., m'P', m'Q', m'R',..., m"V<", m"Q", m" R",. ■ .,■ ■ #-
Or, si l'on considère le système pendant que les corps changent infiniment peu de position en parcourant les espaces ds, ds', ds", . . ., il est clair que
dp, dq, dr, . . . , dp' , dq", dr' , . . ., dp", dq" , dr", .......
exprimeront les espaces parcourus par chacun des corps, clans des directions contraires à celles des forces P, Q, R,..., P', Q', R' ; on aura
donc, par le principe de l'équilibre dont nous parlons,
dt
m'dv' ~~dT~
ds + mV (— dp) -+- mQ(— dq) -+- wR( — dr) +.
ds' -4- m' P' ( — dp' ) ■+- m' Q' [— dq' ) -\- m! R' (— dr' ) -+- . ds"->r m" P"(— dp" ) ■+■ m" Q"(— dq" ) -4- m" R"( — dr" ) ■+- .
1 ■ 1 1 1 ds ds' ds" ' . . . ,
Mettant, au lieu de dt, ses valeurs — > — 1 -=->••• et intégrant, on
aura
me2 -4- /»' v"- -4- m'V'2 4...= mV!4 m' V"2 -4- m" V"2 -4- . . .
— 2 m (Pdp -4- Q dq -4- R <//• -f- . . .')
— 2 m' / ( P' dp' -+- Q'dq' -4- R' </r' +•...)
— 2 m" f ( P"d//'-t- Q"dq"-+- \\"dr"+. . . )
V, V, V",... étant les valeurs primitives de v, v' , v" ,...; et cette équation renferme, comme on le voit,, la conservation des forces vives prise dans toute son étendue.
Au reste le principe de Statique que je viens d'exposer, étant combiné avec le principe de Dynamique donné par M. d'Alembert, constitue une espèce de formule générale qui renferme la solution de tous les Problèmes qui regardent le mouvement des corps. Car on aura toujours une équation semblable à l'équation (A) (Article précédent), et toute la difficulté ne consistera plus qu'à trouver l'expression analytique des forces qu'on suppose agir sur les corps et des lignes suivant lesquelles ces forces agissent, en n'employant dans ces expressions que le plus petit nombre possible de variables indéterminées, de manière que leurs différentielles désignées par le § soient entièrement indépendantes les unes des autres; après quoi, faisant séparément égaux à zéro les termes qui se trouveront multipliés par chacune des différentielles dont je parle, on aura tout d'un coup autant d'équations particulières qu'il en faudra pour la solution du Problème, comme on le verra dans les Articles qui suivent.
Soient présentement:
n l'inclinaison du plan de l'équateur lunaire par rapport à celui de
l'écliptique; s la longitude du nœud descendant de l'équateur lunaire, c'est-à-dire
l'angle que l'intersection. de cet équateur avec l'écliptique, ou avec
le plan parallèle à l'écliptique et passant par le centre de la Lune,
fait avec l'axe des abscisses (Article II); w la distance d'un méridien lunaire pris à volonté sur la surface de la
Lune, et qu'on appellera dorénavant le premier méridien, au nœud
descendant de l'équateur, cette dislance étant comptée à l'ordinaire
sur l'équateur et selon la suite des signes.
Il est aisé de voir que ces trois variables suffiront pour déterminer, à chaque instant, la situation de la Lune par rapport à son centre, qui est censé immobile; aussi ce seront les seules qu'il faudra faire varier dans les différentielles des lignes X, Y, Z, R, R'.
Soient de plus :
r le rayon ou la distance d'un point quelconque a au centre de gravité de la Lune;
P l'angle que ce rayon fait avec le plan de l'équateur, ou la distance du point a à l'équateur comptée sur le méridien qui passe par ce point;
Q l'angle que le méridien passant par le point oc fait avec le premier méridien, c'est-à-dire la distance entre ces deux méridiens comptée sur l'équateur en allant d'occident en orient.
Il est visible que ces trois nouvelles indéterminées ne dépendent nullement de la position de la Lune sur son centre, mais seulement de la situation particulière de chacun de ces points a par rapport à tous les autres. Ainsi ces quantités r, P, Q ne seront variables dans nos formules
que relativement aux intégrations indiquées par le signe / dans l'équation (A).
Au reste il est bon de remarquer d'avance que, comme on suppose que le centre de rotation de la Lune soit dans son centre même de gravité, on aura, par la propriété connue de ce centre, les trois conditions suivantes
;B) / arsinP = o, I acr cosP sinQ = o, i areosP
cosQ
Maintenant, pour avoir les valeurs des coordonnées X, Y, Z exprimées en r, P, Q, w, s, n, je considère que l'angle P peut être regardé comme exprimant la déclinaison du point « vu du centre de la Lune, et rapporté à l'équateur lunaire; et que, dans cette supposition, l'angle Q + w, que je nommerai Q', pour abréger, sera l'ascension droite du même point comptée à l'ordinaire depuis le nœud descendant de l'équateur. Donc, en rapportant le point a au plan de l'écliptique lunaire (j'appelle ainsi le plan que nous avons imaginé parallèle à l'écliptique et passant par le centre de la Lune), lequel est incliné à l'équateur de l'angle n, on trou-
14 RECHEKCHES
vera facilement, par les formules de la Trigonométrie, sa latitude que j'appellerai/? et sa longitude que je nommerai q' ; car on aura, comme il est aisé de le démontrer,
sinp = sin P cos n — cos P sin Q' shirr, sinP siriTr -+- cosP sinQ'cosTr
sinç' cosq'
cosp
cosP cosQ' cosp
Mais il est clair d'autre part, que l'angle/» n'est autre chose que l'angle fait parle rayon ravec le plan des X et Y; et que q' -h s, que je nomme q, est l'angle que la projection de r sur ce plan fait avec l'axe des X; on aura donc, comme il est facile de le concevoir même sans figure,
, Z = rs'mp, (D)' ( Y = rcosp sinq = rcosp cosq' sine -+- rcosp siuq'cose,
\ X = rcosp cosq = rcosp cosç'cose — rcosp sing'sine,
et, substituant pour sin/», pour sin<jr' et cosq' leur. valeurs ci-devant,
/ X = /'CosP cosQ'cose — rcosP sin Q' sine cosk — rsinP sinesinTr, (E) | Y =/-cosP cosQ'sine -I- rcosP sinQ'cose COS7: H- rsinPcosesin7:, l Z = r sinP costt — rcosP sinQ'sin-,
où l'on se resouviendra que Q' = Q.-t- w.
Ou différentiera d'abord ces valeurs de X, Y, Z, en faisant varier seulement w, e, n (Article V), et en mettant la caractéristique § au lieu de la d, pour avoir celles de SX, SY, SZ; on différentiera ensuite les mêmes valeurs X, Y, Z deux fois à l'ordinaire, pour avoir les différentio-différentielles d2X, d2Y, d2Z; après quoi on fera les produits d2X SX, d2 Y SY,
d2Z §Z; et, après avoir effacé ce qui se détruit, et mis pour
sinQ'cosQ', sin2Q', cos2Q' leurs valeurs
J-sin2Q', { — ^cossQ', } -1- -f cos 2 Q' , on aura
d'XÔX + d2Y dY + d2ZÔZ
r2 cos2P[f/(rfto + cos7rc?e) + -jsin2Q'(sin27TC?e2 — é/tt2) + cosaQ'sinTrrfrrefe] \
— + /,2sinP cosP[sinQ'(sin7r</2e + 2 cos-tt dn de) t X $M
-t- cosQ'(d2n — siii7rcos7rrfe2)] /
r"- cos2 P [rf(C0S7r dut 4- de — \ si n27r de) — sin 2 Q'[sin27r Au de -l-j û?(sin 7r c?k)] \ \ -+- cos2Q'[\d(sm2nde) — sinTrrfw </ir]l j
-1- / -t- r2sinP cosP[sinQ'[sin7:c?2w -+- d(sii\inde)~] \ x as
j -1- cosQ'[sinîTC?M2-f- sin2 7rc?ec?&j + 6?(cos7rc?7r)] I l
| -+- /'2 sin2P[«[( sin2Trde)]
c2 cos2P[sin7rc?&)rf£ + isinrt COS7T f/s2+ j f/27T + sin 2 Q'(c?w c?7T — |sin7T c?2e) l — cos2Q'(sin7rrfMrfe -1- -j-sin^ costt<£e2 ■+■ \d,n<'] 1
-t- 1 -+- r'sinP cosP[— sinQ'(2 cosirc?w e?e -4- cos2 7t e?s2 ■+- du2) jx§n.
I + cosQ' ( d2 w -4- cos 7r d2 e ) ]
\ -1- /,2sin2P[rf2Tr — sin7rcoS7rc?e2]
On multipliera cette quantité par a, et l'on en prendra l'intégrale en faisant varier seulement r, P, Q (Article V) ; on aura ainsi la valeur de
/ a(d2\d\ -t- d2\ ÔY -t- d2ZèZ),
qu'il faudra substituer dans l'équation (A), Article III.
Remarque. — Il y a plusieurs moyens d'abréger le calcul de la valeur de
d2XÔX-hd2YSY^-d2ZèZ;
en voici un qui quoique indirect est néanmoins préférable par sa simplicité et sa généralité. On commencera par chercher la valeur de
d\2-hdY2-hdZ2;
et pour ce j'observerai, dans la supposition présente, que la valeur de X devient celle de Y, en mettant simplement — cosa à la place de sins, et sins à la place de coss, c'est-à-dire en augmentant l'angle e de 90 degrés; ce qui aura par conséquent lieu aussi dans les valeurs de e?X2 et de e?Y2 ; d'où il s'ensuit que, dès que Ton aura la valeur de dX, on en pourra tirer tout de suite celle de dX2-hdY2, en négligeant simplement dans le carré de dX tous les termes qui renfermeraient sine coss, et effaçant dans les autres les carrés sin2s et cos2e; après cela il n'y aura plus qu'à faire le carré de dZ, et l'on aura, après quelques réductions,
dX2 + f/YJ -+- f/Z2
= r2cos2P[c?w2 -t- 2 cosiîdude -+- de2 — { sin27re?e2-f- jcfa2
-+- ~ C0S2Q'(sin2Trc?£2 — e?::2) — sinaQ'siiiTrrfTrd'e]
-t- 2/,2sinP cosP[sinQ'(sin7re?c)c/£ ■+- sin?: cos7r</e2) -t- cosQ'(du>dT: -t- cosk dedi:)]
-t- r2 sin2P [sin27T dz2 -+- dn2\
Je différentie à présent cette équation par d, c'est-à-dire en affectant les différentielles de 5 au lieu de d; j'aurai, après avoir divisé par 2,
dXodX -+- dYèdY + dZ odZ .
= /•2cos2P[e?w èdw -t- cosTïrfe àda> -h costtc/co S de — siii7r dut de ôtt -+- . . .] +
Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que
donner une idée de la méthode que je propose. Maintenant je considère que ftdX est la même chose que d 5X, comme il est aisé de s'en convaincre en considérant la nature du Calcul différentiel; il en est de même des autres différences affectées de Bd; on peut donc mettre partout diï au lieu de iïd, et l'on aura
dX ddX + dY dèY -h dZ dôZ
= r2 cos2 P ( dto d do) -+■ cos tï de. d ôw + cos t. dot dèe — sin n do) dt ôtt . . . ) + . . . •
On prendra l'intégrale de cette équation, et, regardant les différences affectées de à comme de simples variables, on fera disparaître leurs différentielles par l'opération assez connue des intégrations par partie; ce qui donnera
dX SX + dY SY -+- dl SZ - f ( d' X SX -+- d2 Y SY H- d2 Z SZ ) = r2 COS2 V [dm Soi ■+- coSxdcSo> -h cosndoiSe ■+-■. ..)■+-...
— i r2C0S2T,[d1mSw ■+- d[C0S~ds)Sv + d(c0Sndt,>)Sz -+- s\n-nd'j>dï Sx -+■ . . .] -+- . . . .
Or il est aisé de comprendre que cette équation doit être identique et que par conséquent il faut que la partie algébrique du premier membre soit égale à la partie algébrique du second, et la partie intégrale à la partie intégrale; donc, n'ayant égard qu'à la partie intégrale de l'un et de
l'autre membre, et ôtant le signe I , on aura sur-le-champ
d2XSX -h d2Y SY + d'ZSZ
= 7':C0S2P[r/2MiÎM -+- d(coSTtdz) Sa -+- d{C0S7zdù>) Si -+- sin~ dwdt St. +...]+,... .
On peut remarquer encore que cette valeur ne diffère de celle de
dX è dX -4- dY S dY -t- dZ à dY,
qu'en ce que la lettre rfqui était après la ô dans les différentielles affectées de Bd se trouve maintenant devant les quantités mêmes qui multiplient ces différentielles, et que les autres termes, qui ne renferment VI. " 3
point de semblables différentielles, ont des signes contraires. Ainsi, ayant
la valeur de
dX* + tfY1 4- dZ\
on aura facilement celle de
d*X àX ■+■ d} Y <SY + d1 Z ÔZ,
dont on a besoin dans la solution de tous les Problèmes de Dynamique qu'on voudra traiter suivant notre méthode.
Jusqu'ici la position de l'axe de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d'occident en orient l'angle w, est absolument arbitraire, et nous pourrons prendre telle ligne qu'il nous plaira pourvu qu'elle passe par le centre de gravité; mais le calcul sera beaucoup simplifié si l'on suppose qu'abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, e.t son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions; pour cela il n'y a qu'à faire
T = o, S = o dans l'équation (A), ce qui la réduit à
~ fa{d*XàX -+- d'Y ÔY -+- d*l ÔZ) — o;
et il faudra que cette équation soit vraie en faisant d*<n = o, de = o, du = o ;
or, clans ce cas, on aura (Article VII)
d2 X SX -+- d* Y <5 Y + d*Z SZ
= r2sin PcosPcosQ'siii7r</co2<k — /^sinP cosPsinQ'rfaj'âîr;
donc l'équation à vérifier sera
s'mndtfde f . d^àri f , . . , -T- / arJ smP cosP cosQ ~ï~T~ f al" sin" cos° S'nQ — °>
laquelle donne séparément les deux suivantes (Article IV, à la fin)
(F) / «r'sinP cosP cosQ' = o, / «r2sinP cosP sinQ' = o.
Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d'ellemême tourner uniformément autour d'un axe fixe; par conséquent si l'on suppose, comme les observations de la libration paraissent le démontrer, que ces conditions aient lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger, dans la valeur (Article VII) de
d'XèX-hd'YÔY -W'ZÔZ,
tous les termes où se trouvent sinPcosPcosQ' et sinPcosPsinQ'; et pour avoir l'intégrale
(nf2XÔX + d'YÔY + d'ZÔZ),
il n'y aura plus qu'à mettre au lieu de Q' sa valeur Q -+- w; ce qui donne
cos2Q'= cosaQ cos2w — sin2Qsin2w, sin2Q' = C0S2Q sin2w -4- sin2Q cos2w.
En supposant, pour abréger,
I «/,2cos2P = H, I ar2sin2P = K,
1 «r2cos2PcoS2Q == M, / a/'2cos2Psiri2Q = N, on trouvera pour la valeur de
hh
,. , ..(d'XdX + d'YÔY + d*ZdZ)
une expression de cette forme
12 ô&>'-4- E ôe -t- H Ô7r, dans laquelle
12 = — , H -) i (Msin2w -4- Ncos2m1
dt"- idt2
sirnid^ds -. ,T . .
h -r^ ( M cos 2 <a — M sin 2 w ),
E = rfF H + ~^ (K-yH)
sin2?: f/&) </e -i- -</( sin Tidit ) ,,» . „ ; ~ — - — — -(M sin 2» -+- Ncos26j)
-jd(sin27:6?ê) — sin7tc?w6?7r ... .. .
-+- j- ( M cos 2 w — N sin 2 (ù ),
TI sinxdudz d'nfiV , v, , suit: cos ttc/e2 n-~-rf? H+^(?H + K)+ ^ (TH-K)
doidn — 4sin7rc?2£ ... . „
— ( M sin 2 w + N cos 2 m )
sin7Tû?6i</e -+- jd2n -+■ }sin7r cosnde' dt2
M cos2w — N siii2w).
Scolie I. — On aurait tort de croire que les conditions
I cxr2 sinP cosPcosQ' = o, / ar2s\nV cosPsinQ'= o
rendissent notre solution moins générale; car je vais démontrer que, dans quelque corps que ce soit, on peut toujours trouver trois axes qui passent par le centre de gravité, par rapport à chacun desquels ces deux équations aient lieu en même temps.
Pour cela, imaginons pour un moment que la position de la Lune, que je considérerai ici comme un corps quelconque, soit fixe par rap-
port au plan de son écliptique; et cherchons la position du plan de l'éqUateur de manière que l'on ait
/ ar1 sinP cosP cosQ'= o, I ar- sinP cosP sinQ'= o;
on aura d'abord, en combinant les formules (C^de l'Article VI,
sinP = sinTt cosp sinq' ■+- costc s'mp,
cosPsinQ'= cosn cos/>sinç'— sin7r s'mp,
cosP cosQ'= cosp cosq' ; donc
sinP cosPsinQ' = sin^ costc (cos2/> sin2^' — sin2/>) -+- (cos2tc — shi'tc) cosp sinp sin</', sinP cosP cosQ' = sinjrcos2/Jsin<7'cosy'-(-costrsin/)COS^cosi7',
et, en mettant pour q' sa valeur q — s afin que l'angle q' ait une origine fixe,
sinP cosP sinQ' = sin^ costc(cos!/> sin2 7 cos'e — a cos2/» sin<7 cos</ siiwcoss -+- cos2p cos2 17 sin2; — sin2/>) -+- (cos2tt — sin27r) (cosp sinp sin 7 cose — cosp sinp cos'j sins),
sin P cos P cos Q'
= sinncos'/'siiii/ cos </ (cos2 s — sin2 = ) -+- sin tc sin s cos; (cos2/>sin2<jr — cos2/; cos2 y) + cos tc ( sinp cosp sin </ sin e -+- si n p cosp cos q cos s ) .
Donc si l'on fait, pour abréger,
I ar'cos-p sin'q = A, l ar2 cos*p cos'q = B,
I xr1 cos'p sinq cosq == C, / ar2 cos/; sinp sinç = 1),
J ar2 cosp sinp cos</ == E, I ar2sin2p == F,
on aura
/ a/'2sinPeosPsinQ' = sinîycos7v(Acos:«— aCsirucoss -t- Bsiir; — F) -+- (cos2w — sin2w) (Dcoss — Esins) = o,
/a/-2sinPcosPcosQ' = sin7r[(A — B)sinecoS£-+-C(cos2e— sin2s)] -)-C0S7r(Dsins-(-Ec0SE) = o,
deux équations d'où l'on tirera les valeurs de £ et n. La première nous donne
tang7T Esine — Dcose
i — tangJ7r A cos'ê — 2CsinscoSE -+- Rsin2E — F
et la seconde nous donne aussi
— Dsine — Ecose
g "~ (A — R) sinecose -i- C(cos2e — sin2E)'
donc, chassant tang7r et faisant sins = x, on aura, après les réductions, une équation de cette forme
a.v -t- bx1 -+- if+gx') y'i — x2 = o, dans laquelle
a= CDK -+- EHK - C2E — aCHB + aD'E - E%
b — 2CDK — EHK-+- 3CDH -+- ?.C2E — 3D2E -+- E3,
/=CEK-C2D + E2D,
g = DHK — aCEK — CEH -+- 2C2 1) -+- ï)3 — H2 D - 3E2D,
K étant =A — F et H = A — B. Cette équation, étant dégagée des signes radicaux, devient celle-ci
2 ab -t- 1 fg — g2 , a2 ■+- f' — if g , f2
b2-hg2 b2 + g2 ■■ b2-+-g2
laquelle, ayant son dernier terme négatif, et ne renfermant aucune puissance impaire de x, aura nécessairement, comme on sait, au moins deux
racines réelles et égales, l'une positive et l'autre négative; donc, puisque
lange =
fjl — x3
on aura au moins une valeur de tangs, et par conséquent de l'angle s; et cette valeur étant substituée dans l'expression de tangrc ci-dessus, on aura l'angle n correspondant. Ayant les angles s et n, on aura, comme on le voit, la position du plan cherché de l'équateur par rapport au plan donné de l'écliptique. Si D = o et E = o, alors tangrc = o, et le plan cherché tomberait dans le plan donné, ce qui est évident, parce que lés deux équations
/ ocr2 cosp sinp sin(/ = o, / xr2 cosp sinp cosq = o
sont analogues aux équations de condition
I ar' cosPsinP sinQ' = o, I car"- cosPsinP cosQ'=o;'
mais, en reprenant les équations qui résultent immédiatement de ces deux dernières équations et y mettant D = o et E = o, on trouve
sinu cos7r(A cos2s — 2'C sine cose -+- Bsin'e — F) = o, sin7r[(A — B) sine cose -f- C(cos'-e — sin-'s)] = o,
équations qui, outre la racine n = o, donnent encore
costt == o, (A — B) sine cose -+- C(cos2e -r- sin'e) = o; savoir, en faisant tangs = /,
dont les deux racines sont nécessairement réelles, à cause du dernier terme négatif; de là il s'ensuit que si, après avoir trouvé par les équations ci-déssus la position du plan cherché, on regarde maintenant ce
plan comme donné, on trouvera encore deux autres plans qui auront la même propriété, et dont la position par rapport à celui-là sera déterminée par les équations
COS7T = O, t2 H t — I == O.
Donc : i° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en /; c'està-dire qu'en nommant t! et t" ces racines, la tangente de l'angle en question sera, à cause de t't"= — i,
Scolie H. — A l'égard des quantités H, K, M, N de l'Article IX [équations (G)] , il est clair que leur valeur dépend entièrement de la figure et de la constitution intérieure de la Lune; car,' soit D la densité d'une particule quelconque u, on trouvera aisément
c = Hr>cosPdQdPdi; et l'on aura
H = f D r> dr cos3 P f/P f/Q, K — MJ r\ dr sin2 P cos P r/P dQ,
M= fDr*drcos3PdP coszQdQ, N = / I)rV/rcos5Pc/P sin aQ f/Q;
et, pour avoir la valeur complète de ces intégrales, il faudra, après avoir substitué pour D sa valeur en r, P et Q, intégrer : i° en faisant varier r et en mettant, après l'intégration, sa valeur en P et en Q, qui dépend de la figure de la Lune; 2° en faisant varier Q et en mettant, après l'intégration Q = c, c étant la circonférence d'un cercle dont le rayon = i ;
3° en faisant varier P et en mettant, après l'intégration, P = -f-, et dou-
blant les termes. Comme la figure de la Lune est sensiblement sphérique, on ne s'éloignera pas de la vérité en la regardant comme, formée de différentes couches à peu près sphériques et dont chacune soit partout de la même densité; soit donc r'(i -+- e'%) le rayon variable d'une couche quelconque de densité uniforme, r' étant le rayon de cette couche, qui est perpendiculaire au plan de l'équateur, e une quantité constante trèspetite, et \ une fonction quelconque de r', P et Q, qui soit nulle, lorsque P = go0. On remarquera : i° que la quantité D sera une fonction de r' seulement; 20 que, si l'on néglige les carrés et les puissances plus
hautes de e, on aura, en faisant, pour abréger, — j^— = X,
ridr=r'idr' '-+- e , ■' dr' = r'"dr' + eXdr'; dr
d'où il suit qu'on aura
H = / D r" dr' cos3 P dS dQ -+- e f DX dr' cos3P dP dQ, K= fnr'^dr' sin2P cosPrfP dQ + e JBXdr'sWP cosP dP dQ, M= f Dr'* dr' cos3P coszQdPdQ+ e f T)Xdr' cos3 P coszQdPdQ, N = A)r"1(/r'cos3Pd,Psin2QdQ + e jDXdr' cos3P dP sinzQdQ.
II
Soit on aura
fvr'tdr1 cos*PdPdQ = F Ccos3PdPdQ = cV fcos3 P dP == { c F ; on trouvera de la même manière
jDr"dr-' sin2P cosPf/P</Q = |cF, /l)r'*(/r'eos3P</Pcos2Qc/Q=:o, / Dr"*' cos3P</P sinzQdQ = o;
