VI

Or on sait que dans les orbites des planètes, à cause de la petitesse de leur excentricité, on peut exprimer tant l'équation du centre que le rayon vecteur par des suites très-convergentes, qui procèdent suivant les sinus et cosinus de l'anomalie moyenne et de ses multiples (on trouve ces suites développées d'après les principales Tables astronomiques , dans le premier volume du Recueil des Tables, publié par l'Académie de Berlin]; on pourra donc représenter par de semblables séries les valeurs

de S,, vj, Ç et de — pour chaque planète, et il n'y aura plus qu'à exprimer l'anomalie moyenne de la planète par l'anomalie excentrique u de la comète.

Pour faire cette réduction, soient a. le grand axe de l'orbite de la planète, et M son anomalie moyenne comptée à l'ordinaire depuis l'aphélie; soit, de plus, T la valeur de l'anomalie moyenne 9 de la comète pour l'instant du passage de la planète par l'aphélie; il est visible que M et 9 — T seront les anomalies contemporaines de la planète et de la comète, lesquelles doivent être entre elles en raison réciproque de la durée de leurs révolutions, et par conséquent, par les Théorèmes connus, en raison de \/a* : sja* ; d'où il suit qu'on aura

la?

où il n'y aura plus qu'à substituer pour 9 sa valeur u — esinw (n° 20). Comme, dans l'orbite des comètes, l'excentricité e est peu différente de l'unité, il est clair que les sinus et cosinus de M et de ses multiples ne sauraient s'exprimer par de simples sinus et cosinus de u et de ses multiples; par conséquent, il est impossible d'exprimer, en général, g, >j, Ç

et — par des fonctions rationnelles et entières de sinw et de cosu. C'est

la première difficulté qui s'oppose à l'intégration des équations du numéro précédent.

La seconde difficulté vient du dénominateur irrationnel R3; en effet il est d'abord impossible, par la raison précédente, de réduire l'expression

rationnelle de R2, laquelle est (nu 2), z étant = o,

R2= r2— 2 (.ri; -hyn) + p2,

à une fonction rationnelle de sinu et cosw; à plus forte raison le sera-t-il d'y réduire la quantité irrationnelle et rompue -r—

44. On est donc forcé, dans la Théorie des comètes, de renoncer à l'avantage de parvenir à des formules analytiques qui expriment les inégalités de leur mouvement pour un temps quelconque, telles que celles que l'on trouve pour les inégalités îles planètes, et la seule ressource qui reste est de déterminer ces inégalités par parties, en partageant l'orbite de la comète en différentes portions, et calculant séparément l'effet des perturbations pour chacune de ces portions.

En effet, tant que l'angle 6 \f —3 ne sera pas trop grand, on pourra

exprimer son sinus et son cosinus par les séries connues qui procèdent suivant les puissances de l'arc, et par là on remédiera au premier inconvénient.

Ensuite on observera que, tant que le rayon r de la comète sera beaucoup moindre que le rayon p de la planète perturbatrice, et que, par conséquent, x et y seront moindres que p, on pourra réduire la quantité -^ en une série convergente, en prenant — pour le premier terme.

De cette manière, on pourra donc intégrer les valeurs de ddh, diïa,... du n° 42, depuis le périhélie de l'orbite de la comète jusqu'à un point

de cette orbite dans lequel 6 i/ —3 et - soient des quantités encore

assez petites.

Soit maintenant u! l'anomalie excentrique qui répond à ce point; on fera, en général, u = u'-\-.v, et, tant que l'angle v sera assez petit, on pourra mettre les quantités à intégrer sous la forme rationnelle

(L + Mu + Nu-+...)A;

on intégrera donc derechef depuis u = u! jusqu'à u = u", en supposant l'arc u" — u' assez petit, et ainsi de suite.

45. On peut faciliter beaucoup ce calcul par la méthode connue des courbes paraboliques; mais, pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté, il faut que les quantités qu'on veut exprimer par des formules paraboliques ne souffrent pas de trop grandes ni de trop fréquentes irrégularités; autrement il arriverait que, parmi les coefficients de la série parabolique, il s'en trouverait de très-grands, ce qui diminuerait la convergence de la série et obligerait à la pousser à un grand nombre de termes. Il est donc nécessaire d'examiner à priori la nature des quantités auxquelles on veut appliquer la méthode des courbes paraboliques.

De ce que nous avons dit dans le n° 43, il s'ensuit que les différentes

quantités (H), (h), (A), (a),..., ainsi que les quantités — etR2, peuvent

être exprimées par des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus des angles u et ôy— > c'est-à-dire, de l'anomalie excentrique

de la comète et du mouvement moyen correspondant de la planète; donc, si l'on suppose que ces deux angles varient en même temps des angles contemporains fi et y, chacune des quantités dont il s'agit pourra être représentée, pendant ces variations, par une formule algébrique de

!a forme

L + M(3 + Ny + 0(3'+ P(3y + Qy2 + . . .,

dans laquelle les quantités L, M, N,... seront toutes aussi des fonctions rationnelles et entières de sinw, cosw, s'mO \/— ■> cos(5 \/ — ■ Or

V a Va

6 — u — e s\nu; donc, faisant croître u de ]3 et 6 de y \/—: ;' on aura /«3 Y , ^ n e sinw „„ j

Si donc on substitue cette valeur de y dans la formule précédente, elle

prendra cette forme plus simple

dans laquelle les quantités L, M, N,... seront pareillement des fonctions

toutes rationnelles et entières de sinu, cosa, sinS \J —, ;• cosS w — ;

en sorte que ces quantités ne pourront jamais augmenter au delà d'un certain terme. Et il est clair que la formule précédente, n'étant poussée que jusqu'au second degré, sera exacte, aux quantités près des ordres de |33 et de y3.

Il semble qu'il faudrait faire une exception à l'égard des quantités (I) et (i) qui contiennent des termes multipliés par t, et qui par conséquent

ne sont pas uniquement des fonctions de sinus et cosinus de u et de 0 i/ — ,

mais renferment aussi l'angle même u; mais il est facile de se convaincre que cette circonstance ne peut apporter aucun changement à la conclusion précédente.

Si donc on dénoie, en général, par V une quelconque des quantités dont il s'agit, et que V0, V,, V2 soient les valeurs de V qui répondent à

U = M0, U = M, = u„ + (3, Il = «2 = U, -4- (3,

il résulte de ce que nous venons de démontrer que, pour u = u, -+- nfi (n étant un nombre quelconque compris entre zéro et i), on aura, aux quantités près des ordres de jS:l et de y3,

formule qui pourra servir aussi par la même raison, en faisant n négatif depuis zéro jusqu'à — i .

Or, comme V= V0 lorsque n = — i , et V=V2 lorsque n = i , on aura

d'où l'on tire

Y 12 il , y" =

46. Cela posé, séparons, dans les équations différentielles du n° 42,

les termes divisés par R3 des autres, et représentons, en général, chacune de ces équations par

fi étant égal à i?2, A étant une des quantités §A, $a,..., V étant respectivement £51, ^,.-., etU étant (A) - (H), (a) - (A)

Qu'on calcule les valeurs des quantités V, U et fi pour trois anomalies excentriques u = u0, «,, u2, dont la commune différence soit j3, et qu'on marque ces valeurs respectivement par V„, U0» #o; V,,U(, i?,; V2, U2, fi2; qu'on en déduise ensuite, par les dernières formules du numéro précédent, les valeurs de V\, Y't, ainsi que celles de \]\, U", R\, i?",, et qu'on substitue partout dans l'équation précédente u, -+- ]3n à la place de a, on aura donc, en regardant maintenant « comme variable, la transformée

JA = -J-f— I V, + V, n + V, ;i2 H ' ! — j \ dn,

l + m\ (iJ, + #,« + /*>>) V

qui, étant intégrée depuis n = — i jusqu'à n = i, donnera, aux quantités près de l'ordre de f/.j33 et de uy3, la valeur de A ou plutôt l'accroissement de A, depuis l'anomalie excentrique u0 jusqu'à l'anomalie u.2 — u0-\- 2j3; en sorte que, désignant par A0 et A2 les valeurs de A qui répondent à ces deux anomalies, on aura A2 — A0 égale à l'intégrale du second membre de cette équation, prise depuis « = — i jusqu'à n — i. L'intégration de la partie

(V, + Yin + Yln')dn

n'a aucune difficulté, et l'on trouve sur-le-champ pour l'intégrale totale

aV, +}Y[.

A l'égard de l'autre partie

elle dépend de la quadrature de l'hyperbole ou du cercle, suivant que R"t est une quantité positive ou négative.

Pour en trouver l'intégrale, on supposera cette différentielle égale à

, K + L/i Md/i

JE, -+- /T, n -h R!\ n> y/if, -+- if, n -+- R'\ n-

et l'on trouvera par la comparaison des termes, après avoir réduit au même dénominateur,

iR"

if, R", - \ ;R\2

or l'intégrale de la première partie est évidemment

K + Lre

y/if, -t- R\ n + R'\ n'

et celle de la seconde est, en faisant, pour abréarer, ^ ', ,v ' ,.„ — - — = N,

M , i + N s/R\ Ios-

t.s[R\ °i — Ny/i?; si if", est positif; mais si R\ est négatif, cette intégrale devient M

if,

arc tang(N \J— R\ ).

On fera maintenant dans ces formules n = i et « = — i , et l'on retranchera la seconde valeur de la première pour avoir l'intégrale complète ; or, en faisant n=i, la quantité sous le signe \f devient R,-t-R'1 + .fl"1 = i?2, et, en faisant n = — i, elle devient R, — R"^ R"t = R0. Donc la valeur

complète de l'intégrale de la différentielle dont il s'agit sera représentée

par

\M2 \Jfio 2 y'rt if,

en faisant

P = lOg - — ! ' Y — log ^— ! ' V, ':

ÏK, ■+- R[ - JR, R'[ fi?, -f- R", - s/Ro R",

si R'\ est positif, ou bien

J— R, R\ J— fl„ A"

P = arc tang \ + ^„' — arc tang 1^ +iy> '

si if, est négatif.

Donc enfin on aura, aux quantités près des ordres de p.p3 et |xy3,