SECTION QUATRIÈME

APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENT ES AU CALCUL DES PERTURBATIONS DES COMÈTES, ET EN PARTICULIER AU CALCUL DES PERTURBATIONS DE LA COMÈTE DE l532 ET DE l66l.

42. Cette application se présente d'elle-même; il ne s'agit que de trouver les valeurs des quantités fth, Sa, Bf, $g, iïb, àc, ai, par l'intégration des formules du n° 37, et l'on aura immédiatement les altérations des éléments de l'orbite de la comète dues aux perturbations (n° 38); mais la grande difficulté consiste dans ces intégrations, lesquelles, à cause de la grande excentricité de l'orbite des comètes, ne peuvent s'exécuter, en général, par aucune méthode connue et demandent nécessairement des quadratures de courbes mécaniques.

Nous allons proposer les moyens qui nous paraissent les plus propres pour arriver à ce but.

Je commence par substituer, dans les équations du n° 37, les valeurs de X, Y, Z (n° 22), lesquelles, en effectuant les différentiations indiquées, deviennent

je substitue de plus, à la place des quantités ce, y, z, r, dt, leurs valeurs exprimées par l'anomalie excentrique u, parce que l'emploi de cette anomalie rend tout à la fois les formules plus simples et plus faciles à calculer; ces valeurs sont (en faisant b = o, c = o, /= e, g = o, par l'hypothèse du n° 25)

x=-(cosm — f), y=\fahsinu, z = o (n"26),

r — -(i — fcosu), dt=i/ — — -relu (nos20, 21). av J V 2(H- m)

Ces substitutions faites, si l'on suppose, pour plus de simplicité,

on aura des équations de la forme suivante

[(,H)n-f-(/i)sT]f/«,

[(A)II -h{a)jn]clu,

[(F) n + (/)»] du,

[(G)n + (g)o]'.rfB,

[(B)n + (6)rô]d«,

[(C)H +(c)cj]dM,

[(I) II -t- (O rajefo,

dans lesquelles on aura les valeurs suivantes des quantités (H), (h), (A), (a),...

. / a y ■ f—r \ , s a*f. = a I - £ sin m — ^/«A v) cos m I , (a) = — r sin «,

= — l/jj[(fr + x)£,-i-yn]y-h2\/ah (y£ — xin)cosu, (/)=— sjahry,

= \J jj [(/r+ ■r) £ -+- jv)]^ -+■ a(j£ — #») sin m, (g) = y'aA rx,

dàh =

dèa =

dèf=

dèg =

dèb =

I+BiL

dàc — -

rfâz =

I)=3^/2(l-Hm)(A)-g4Gi+^(/"ZL4A)(F),

fj*h *y/

/yVA

Dans ces expressions, j'ai conservé, pour plus de simplicité, les lettres x, y, r à la place de leurs valeurs en sinw et cosm; il est facile de les y substituer si on le juge à propos.

43. Il est visible, par les formules précédentes, que les quantités (H), (h), (A), (a),... sont toutes exprimées par des fonctions rationnelles et entières de s'mu, cosu, |, y, Ç; de sorte que, si l'on pouvait exprimer

de même les quantités |, vj, Ç, — et -^ par des fonctions rationnelles et

entières de s'mu et cosw, l'intégration des équations différentielles dont •il s'agit n'aurait aucune difficulté. Voyons quels sont les obstacles qui s'opposent à cette réduction dans la Théorie des comètes.

On se rappellera d'abord que les quantités Ç, tj, Ç sont les trois coordonnées rectangles du lieu de la planète perturbatrice, dont la masse est fi, que p est son rayon vecteur, et R la distance reetiligne entre le lieu de la planète et le lieu de la comète dans l'orbite non altérée (n"s 2, 7); on se rappellera ensuite que nous prenons pour le plan de projection celui de l'orbite non altérée de la comète, et pour l'axe des abscisses la ligne du périhélie de cette orbite (n° 25).

Nommons W l'inclinaison du plan de l'orbite de la planète sur le plan de l'orbite non altérée de la comète, et 12 la longitude du nœud ascendant de l'orbite de la planète, comptée sur le plan de l'orbite de la comète depuis le périhélie de cette orbite.

Soit, de plus, X l'argument de latitude de la planète, c'est-à-dire, la longitude dans son orbite, moins la longitude de son nœud avec l'orbite de la comète.

Il est facile de comprendre que l'on aura pour if, vj, Ç des expressions semblables à celles de x, y, z du n° 19, en y changeant r en p, w en 12, ty en W et <p — a en X; on aura donc ainsi

\ = p(coslî cos>. — sinQ cosYsinX),

ï) = p(sinlî cosX -f-cosQ cos^FsinV),

Ç = p sinYsinX.