TÔT
aU,
■fi,
air;
Complétant donc cette intégrale de la manière que nous l'avons dit,
on aura, à la place cfe la dernière équation du numéro précédent, celle-ci
Soit : 20 R, R'\ — \R'f — o; dans ce cas, la quantité R, -+- U^ ■+■ R\n-
deviendra - — ' — ~ — — > et l'on aura à intégrer cette différentielle rationnelle
(U, + U>-f- U>*)fif .
(fi.+ ffi»3 **'
qu'on supposera égale à
ni/ i K + Ln Mrf/i
(i?, -+- |fi»2 fi.+i-fi', «/'
ce qui donnera, en réduisant au même dénominateur et comparant les termes,
ail,
fi,
fi'
-fi',
su';
iJ,
iî',
Intégrant donc et complétant dûment l'intégrale, on trouvera, pour le cas dont il s'agit, l'équation
a a f-P r xr >u> /K + L K-L\ ,— frLfff, /U
48. Ayant trouvé ainsi la valeur de A2— A0 pour une portion d'anomalie excentrique u3 — u0, on trouvera de même la valeur de A4 — A, pour une portion suivante d'anomalie ut — u2, et ainsi de suite; et ces différentes valeurs seront exactes, aux quantités près de l'ordre de p./33
et fJty , p étant = ? — - — > • • • » et y étant la partie correspondante de l'anomalie moyenne de la planète. Ajoutant donc successive- VI. 6o
klk RECHERCHES SUR LA THÉORIE
ment ces valeurs ensemble, on aura la valeur totale de Aç — A0 répondant à une anomalie excentrique quelconque u^ — u0; et, faisant Mç — u0 = .%o°, on aura la valeur de Az — A0, c'est-à-dire, l'accroissement de la quantité A pour une révolution entière de la comète.
Au reste il est bon de remarquer que les formules précédentes ne doivent proprement être employées que pour les parties de l'anomalie excentrique relativement auxquelles la quantité R sera assez petite et du même ordre que les différences finies R', R", ce qui arrivera vers les minimum de distance entre la comète et la planète; dans ces cas, les formules dont il s'agit ne sont sujettes à aucun inconvénient, et résolvent le Problème avec toute l'exactitude qu'on peut désirer; au lieu que la méthode ordinaire des quadratures par les lignes paraboliques serait
trop inexacte, a cause que les valeurs de — r seront fort grandes et que
leurs différences seront fort inégales.
Dans tout autre cas, c'est-à-dire, lorsque la distance entre la comète
et la planète sera assez grande et que les variations de cette dislance
seront fort régulières, on emploiera avec succès la méthode ordinaire,
tant pour intégrer la partie Ydu que pour intégrer l'autre partie — — ;
R1 et, comme cette méthode est très-connue et très en usage parmi les Géomètres, nous ne croyons pas devoir nous arrêter ici à l'expliquer; les Ouvrages de Cotes et de Stirling renferment tout ce que l'on peut désirer sur ce sujet.
49. Quoiqu'on puisse, au moyen de ces différentes méthodes, calculer les variations des quantités A pour telles portions de l'orbite qu'on voudra, il ne sera cependant nécessaire de les employer que pour la partie inférieure de l'orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera moindre ou ne sera pas beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil; car pour la partie supérieure de l'orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil surpassera de beaucoup la distance de la planète au Soleil, il sera bien plus avantageux d'employer la méthode
des nos 39 et suivants, laquelle abrège et simplifie considérablement le calcul des perturbations dans cette partie.
Pour faire usage de cette méthode, il ne s'agit que de substituer dans les équations du n° 37, à la place des valeurs de X, Y, Z qu'on a employées dans le n° 4-2, celles de X', Y', Z (n° 39); or nous avons déjà
remarqué dans le n° 13 que la quantité ^ n'est autre chose que les deux premiers termes de la quantité -^ réduite en série ascendante par rapport aux quantités §, vj, Ç; donc, comme (n° 2)
R2= r2 — 2 (.ri; -f- yt\ -+- z'Ç) -+- p2,
p2 étant égal àf +i52 + Ç2, on aura, par la formule connue,
i i .r%-\-m-t-z'Ç p2 3{x£-hyy^-z'Ç)3 'i[.v^,-i-yri-hz'C,)p2 5(JcZ,-t-fri-t-zZ,y R r r' ir3 2/-s iri ir1
i i x\ + rri -+- z'Ç S r r3
et par conséquent
l i f 3(,rg +/71 + z'Ç)1 3(.rg-t-jy) + zg)p2 5(x£-+-fn -J-z'Ç)s
S R 2r3 2r5 2fs ar'
On différentiera maintenant cette quantité en faisant varier seulement x, y, z, et les coefficients de dx, dy, dz seront les valeurs de X', Y', Z'; donc, en supposant, pour abréger,
3p2 i^[x\^-yr,^-z'Ç)- i5(x'£,-±-yin -+-z'Ç) p2 35(x% -4- yrt -+- z'Ç)3
3{x'£-hyn + z'Ç) + V i5(x'E,+yy-hzÇ)2 + /•5 2fs 2r'
on trouvera
X' = IT £ + cj' #, Y' = 1I'ï) +ro'j, Z' = ïl'Ç -h rz' z.
En comparant ces expressions de X', Y', Z' avec celles de X, Y, Z du n° 42, il est visible qu'elles n'en diffèrent qu'en ce que les quantités II et 5T se trouvent changées en II' et zs1 . D'où il est aisé de conclure que, par la substitution dont il s'agit, on aura les mêmes équations différentielles que dans le n° 4-2, en y changeant seulement II et zs en II' et zs' '. Il n'y aura donc qu'à employer dans les équations du n° 42, à la place de II et zs, les quantités n' et zs'; et l'on pourra continuer à les employer pour telle portion de l'orbite qu'on voudra et reprendre ensuite les premières quantités, pourvu qu'on ajoute aux valeurs totales de àh, Sa,... les quantités respectives |x(H" — H'), jx(A" — A'),...; H', A',... étant les valeurs de H, A,... du n° 39 qui répondent au point de l'orbite où l'on change n, zs en II', zs'; et H", A", . . . étant les valeurs des mêmes quantités pour le point où l'on reprendra II et zs à la place de II' etzs' (n° 40).
50. Le grand avantage de la transformation précédente consiste en ce que les quantités n' et zs' , qu'on substitue à la place de II et zs, deviennent très-petites lorsque la distance r de la comète au Soleil est beaucoup plus grande que la distance p de la planète au Soleil, ce qui est visible par les expressions des quantités 1T et zs' (numéro précédent); tandis que la valeur de n (n° 42) demeure toujours finie, quel que soit
l'éloignement de la comète, à cause du terme — > qui ne dépend que de
la distance de la planète au Soleil, et qui est l'effet de l'action de la planète sur le Soleil.
Or, si l'on considère que l'on a, en général,
= (xl+yn-h z'Ç)2 + (xn — j£)2 ■+(#? — z£)2-+- (jÇ— z-i\'f,
et que, par conséquent, sc'£, -+- y y -+- sÇ est toujours nécessairement renr fermé entre -+- rp et — rp, on verra que le premier terme de la quantité II' sera de l'ordre de —^ et les deux autres de l'ordre de — ; et que
les deux premiers termes de zs' seront de l'ordre de — » et les deux sui-
vants de l'ordre de —e, et ainsi de suite. Donc, lorsque r est assez grand vis-à-vis de p, en sorte que -j^ diffère peu de — ■> le rapport de II' à II sera de l'ordre de —■> et celui de zs' à zs de l'ordre de —,■> la quantité zs étant déjà elle-même très-petite de l'ordre de — •
Donc, lorsque £ sera devenu , ou -,•> on pourra, du moins dans la
première approximation, négliger les quantités II' et et' comme nulles: ou, si l'on veut absolument y avoir égard, il suffira d'y tenir compte des premiers termes. Dans ce cas, on pourra en toute sûreté employer la méthode ordinaire des quadratures mécaniques pour intégrer les quantités ddh, diïa,. ..; mais on pourra aussi les intégrer analytiquement, du moins par approximation; c'est ce que nous allons faire voir.
51. Pour cet effet, on commencera par remettre dans les expressions des quantités (H), (A), (A), (a),... du n° 42, à la place de cosw et sinw, leurs valeurs en x et y, savoir
cosm= h f , sin «=-==;
moyennant quoi ces quantités deviendront des fonctions rationnelles et entières de ce, y, r et de £, ri, 'Ç, dans lesquelles les quantités x, y, r ne passeront pas la seconde dimension, excepté les expressions de (I) et de (i), où ces quantités monteront à la quatrième dimension; mais je remarque, à l'égard de l'expression de(I), qu'on y peut réduire les dimensions de x,y, r à la troisième. En effet il est visible que les termes qui, dans cette expression, peuvent donner des dimensions de x, y, r plus hautes que la troisième, sont ceux-ci
o ii 2 / VIT
fs/a3h i \j 'ah3
autant que les valeurs de (F) et (G) contiennent x, y, r, élevées à la
seconde dimension. Or, en faisant, pour un moment,
h L(fr + x) l ■+- .'"ïl )] = s> ^ — x'n — Y'
on a
donc les termes en question seront
ir^x fr"-x\-, l ir2 y Q.fyx'\
Maintenant, à cause que nous prenons le grand axe de l'orbite pour celui des abscisses a?, et que e=/(n° 25), on aura (n° 18)
donc, substituant cette valeur de j dans le coefficient de H, il deviendra 2i'-x -2X I r- . \ w(r — II)
et, substituant la valeur de x2 dans le coefficient de Y, il deviendra
~ Jàh + Jah fa fa
Donc, puisque S et Y ne contiennent que la première dimension de x, y, r, il s'ensuit que les termes dont il s'agit de l'expression de (I), lesquels paraissent, au premier aspect, devoir contenir la quatrième dimension de ces quantités, n'en contiendront réellement que la troisième.
Cela supposé, on mettra, tant dans les expressions de (H), (h), (A), (a),... du numéro cité que dans celles de II' et ts' du n°48, à la place de a? et y. les valeurs rcosy, rsin<p (n° 18), <p étant l'anomalie vraie de la comète dans son orbite non altérée; on verra :
itP Que les expressions de (H), (A), (A), (a),... deviendront des fonc-
lions rationnelles et entières de £, n, Ç et de sin<p, cos<p et r, dans lesquelles r ne montera au plus qu'au second degré, à l'exception des quantités (I) et (i), dont la première contiendra r3, et dont la seconde contiendra r';
20 Que les expressions de W et ts' deviendront, à cause de z = o,
3 ( H cos o -+- r, sin o ) 3p2— 2(Hcos's + r, sintp )2
i5(?cos« -i-ïisin^)2 — i5(£cos<o -+- *i sintp) p2-i- 35(?cos» -t- «sin»)
On substituera maintenant ces valeurs de (H), (h), (A), (a),... dans les expressions des différentielles d<Hh, dda, dâf,. .. du n° 42, et l'on y mettra, à la place de IT et -a, les valeurs précédentes de II' et -m' ; enfin on
mettra pour du sa valeur '-==z déduite de l'équation (n° 21 )
dt — ' — = \ / —. r /' du.
\jili{i + rn) V ai1"1- m)
52. 11 est aisé de voir que, par ces différentes substitutions, les valeurs des différentielles d iïh, d8a, dâf,.,. du n° 42 se trouveront composées de différents termes de la forme
2 cos"' <p sin"<p dy
m, n, p étant des nombres entiers positifs ou zéro, et I étant une fonction rationnelle et entière de 5, vj, Ç; j'en excepte seulement les termes de la valeur de ddi, qui seront multipliés par l'angle t, et que nous examinerons plus bas. Et il n'est pas difficile de prouver que m -+- n -\-p ne sera pas > 5 pour les premiers termes de ts' et IT, ni > 7 pour les termes suivants, et ainsi du reste.
Or (n°18)
