I -h/COSq

à cause de e =/; donc, si l'on substitue cette valeur dans la formule

précédente, on n'aura dans les valeurs de dàh, dàa, dâf,... que des termes de cette forme 2 cos^ip sinv d<p, y. et v étant des nombres entiers positifs, tels que ji + v non > 5 pour les premiers termes de W etts', ni > 7 pour les termes suivants; j'excepte toujours les termes affectés de t dans la valeur de dài (voir ci-après le n° 56).

Qu'on substitue maintenant dans 2, à la place de^, yj, Ç, leurs valeurs

en sinus et cosinus de 6 y—, (n° 43); et pour cela on remarquera que,

à cause de la petitesse des quantités II' et zs', on peut sans scrupule négliger l'effet de l'excentricité de la planète, et faire simplement

p=-, X = M-A = (0 — TH/--A, 1 2 y a3

en dénotant par A l'anomalie vraie de la planète qui répond au nœud ascendant de son orbite sur l'orbite non altérée de la comète; mais, si l'on voulait absolument avoir égard à l'excentricité de l'orbite de la planète, il n'y aurait qu'à ajouter aux valeurs moyennes de p et de X les inégalités du rayon vecteur et de la longitude de la planète, inégalités dont les premières sont représentées par une suite très-convergente de termes qui procèdent suivant les cosinus de M, 2M,..., et dont les autres sont représentées par une semblable suite, mais qui procède suivant les sinus des mêmes angles. (Voir\es pages 6 et 8 des Tables astronomiques de Berlin, où a dénote l'anomalie moyenne que nous désignons ici par M.)

Ces substitutions rendront la quantité 2 de la forme

A -4- R sinu -l- Ccosu -+- Dsinau ■+-...,

les coefficients A, B, C,... étant constants, et l'angle u étant = 0 y — •

Ainsi les valeurs des différentielles dèh, dâa,... se trouveront composées de deux sortes de termes: les uns indépendants de l'angle u, c'està-dire, du mouvement moyen de la planète, les autres affectés des sinus ou cosinus de cet angle ou de ses multiples.

53. A l'égard des termes de la première espèce, il est clair qu'ils seront de la forme

cos^ç sin'cp d<p,

et par conséquent tous intégrables, \j. et y étant, par l'hypothèse, des nombres entiers positifs.

Quant à ceux de l'autre espèce, ils seront évidemment de la forme

cos^cpsin^ sinNu e?<p, ou oos^<p sin'cp cosNu ety,

N étant un nombre entier. Ces termes ne sont intégrables par aucune méthode connue; mais nous allons faire voir que, dans la partie supérieure de l'orbite de la comète, à laquelle est destinée la méthode que nous exposons, ces termes seront considérablement plus petits que les précédents; en sorte qu'on pourra le plus souvent les négliger sans scrupule.

Pour cet effet, je remarque que

du = de

mais (n° 20:

et (n°21

donc

d9=y-Lir-ldt'

dt- r'd* -.

2r2dcp du\Ja.3h

du = -i et de la acp = — — —

Si l'on substitue cette valeur de rf<p dans les termes dont il s'agit, et qu'on fasse, pour abréger,

, — r cos^co sinvs ,

ils deviendront

— Oe/cosNu, $rfsinNv,

dont l'intégrale est

— $cosNu+ / cosNucfà», OsinNu— / sinNu</<!>. VI. 6i

Les expressions I cosNu cfà> et I sinNuc?$ représentent, comme l'on

voit, les aires des courbes qui auraient $ pour abscisse et cosNu ou sinNy pour ordonnée; et il est facile de concevoir que l'aire totale de chacune de ces courbes sera toujours moindre (abstraction faite du signe) que le produit de l'abscisse totale par la plus grande ordonnée, laquelle est égale à i ; de sorte que, dénotant par ($) cette abscisse totale, on aura ± (0) pour les deux limites entre lesquelles seront nécessairement

renfermées les aires / cosNu c?$ et I sinNuefâ>.

Or, dans la partie supérieure de l'orbite, la distance ràe la comète au

Soleil est supposée beaucoup plus grande que la distance moyenne - de

la planète au Soleil; de plus la distance périhélie , égale à A à trèspeu près, est dans la plupart des comètes, et surtout dans celles dont on attend le retour, moindre que l'unité, distance moyenne de la Terre au

Soleil; de sorte que la quantité ^ 2 sera nécessairement fort petite. Par conséquent les quantités $ et (0) seront beaucoup plus petites, généralement parlant, que la valeur de I cos^y sinv© dtp.

Il faut remarquer au reste que, pour avoir la valeur de ($) pour toute la partie supérieure de l'orbite, c'est-à-dire, la valeur totale de l'intégrale de d<& pour cet espace, il faut prendre les éléments rfO toujours avec le même signe. Si donc dans tout cet espace la quantité $ n'a ni maximum ni minimum, on prendra l'intégrale à la manière ordinaire, et l'on aura pour ($) la différence entre les deux valeurs extrêmes de $. Mais si entre ces valeurs extrêmes il se trouve des maximum et des minimum, alors la valeur exacte de (0) sera égale au double de la différence entre la somme de toutes les plus grandes valeurs de $ et la somme de toutes les plus petites, en regardant les maximum négatifs comme des minimum et les minimum négatifs comme des maximum, et comptant les deux valeurs extrêmes de $ parmi les maximum ou minimum, suivant que $ va en diminuant ou en augmentant, mais en ne prenant que la moitié de cha-

eune de ces valeurs. C'est de quoi l'on peut se convaincre aisément par l'inspection d'une figure parabolique quelconque qui aurait différents maximum et minimum.

Or je dis que, si r > (2 -\-p.)h, la quantité <ï> n'aura ni maximum ni minimum lorsque v sera impair, et qu'elle aura un seul minimum au périhélie où es = 1800 lorsque ,a sera pair. En effet, à cause de

cosep

feose?

en sorte que, si r > ( 2 + \x) h, cosy sera négatif et ne changera point de signe, mais siny sera positif en deçà de l'aphélie et deviendra négatif au delà. Or

. ,•-— r cos11© sin'o Joe3 h 1 2/i\fsin"(p

$ = dot* Il Jr— = ï-p ^T I ~ i

v 2Nr2 ( — ff 2N \ r } r'

mais la quantité

1 / 2 /Ai»

diminue à mesure que r augmente, et vice versa, du moins tant que /■> (ju,+ 2)h, puisque sa différentielle est

donc, si r est impair, la quantité

a /i\ e sinvffl

ira en diminuant jusqu'à l'aphélie où elle sera nulle, et continuera à diminuer au delà de l'aphélie où elle sera négative; mais, si v est pair, la même quantité, après avoir diminué jusqu'à l'aphélie, augmentera de nouveau au delà de l'aphélie, en demeurant toujours positive.

Donc, si l'on suppose que la partie supérieure de l'orbite commence

au point où p = y', r = r', et finisse au point semblablement situé au delà de l'aphélie où a = 36o° — 9' et /•=/■', on aura, pourvu que r' > (2 -+- fx)A,

si v est impair, et

,-, , — r cos1'(p'sinvo'

[cos^ç'sin'cp' cos11 i8o°sinv i8o°T

si v est pair, — étant la valeur de r dans l'aphélie.

A l'égard de la condition de r'> (2 + p.) A, comme nous, avons vu (n° 51 ) que p. ne peut être > 5 pour les premiers termes de W et zs' , auxquels il suffira le plus souvent d'avoir égard, il est clair que cette condition aura toujours lieu dans la partie supérieure de l'orbite où l'on

suppose r beaucoup plus grand que -> puisque pour Jupiter et Saturne,

qui sont les seules planètes qu'on ait à considérer dans la Théorie des

perturbations des comètes, on a à peu près - = 5 ou 9^.

54. Si les limites ± ($) n'étaient pas assez petites, en sorte qu'on ne crût pas pouvoir négliger les quantités renfermées entre ces limites, on pourrait les resserrer davantage de la manière suivante.

Les deux différentielles

cosNu </<!>, sinNur/<ï>, étant mises sous la forme

-j— cosNutfcp, -y- sinNucfy,

se changent, par la substitution de '"^ à ch, et par la supposition de

~r-. -r- = $ > en celles-ci

2Nr- cl®

— $'(/cosN-j, <I>'rfsinNu,

dont l'intégrale est

— $cosNu+ I cosNu e?0', «Ê'sinNu — I sjn N v d<&' ;

et l'on pourra appliquer aux quantités

/ cosNurf<ï>', JsinNueM»'

les mêmes raisonnements que nous avons faits dans le numéro précédent; ainsi, dénotant par (<£>') la valeur totale de l'intégrale de rf$', prise comme nous l'avons dit dans ce numéro, on aura de nouveau ± ($') pour les limites entre lesquelles seront renfermées les' valeurs des quantités dont il s'agit.

Or il est facile de se convaincre que la quantité $' est nécessairement beaucoup plus petite que la quantité $ lorsque r2 est assez grand vis-à-vis de y«3A; ainsi, en négligeant les intégrales renfermées entre ces dernières limites, on commettra une erreur bien plus petite que celle qui pourrait résulter de l'omission des intégrales renfermées dans les limites du numéro précédent.

On voit par là comment on pourrait s'y prendre pour pousser cette approximation plus loin, et diminuer à volonté l'erreur résultant des intégrales qu'on négligerait; mais il suffira, dans la plupart des cas, de s'en tenir à l'approximation du numéro précédent.

55. Il nous reste encore à examiner les termes multipliés par l'angle t dans la différentielle d$i, termes que nous avons expressément exceptés (n° 51 ). Or on voit, par la valeur générale de dâi du n° 37 (Section précédente), que les termes dont il s'agit ne peuvent venir que du terme

/2(i4-m)rfjg y a? a

il suffit donc de considérer ce terme et d'en chercher l'intégrale, en supposant que l'on mette dans la valeur de dàa les quantités X', Y', Z' à la place des quantités X, Y, Z (n° 48).

Je reprends pour cela l'expression générale de la différentielle diïa du même n° 37, laquelle est

dêa = ^— fl'(X& + Y(fr),

et, pour embrasser en même temps toute la généralité possible, je re-

• i> ? . . dz ,

marque que, si l.on n avait pas suppose z = o et -r- = o, et qu on eut

par conséquent employé dans les calculs de ce numéro la valeur complète de âa du n° 30 à la place de celle du n° 31, on eût trouvé cette expression plus générale de dèa, savoir

dàa= ^— a2(X dx + Y dy -hZdz).

Qu'on change maintenant, dans cette expression, les quantités X, Y, Z en X', Y', Z\ et qu'on y substitue ensuite, à la place de ces dernières

quantités, leurs valeurs, lesquelles (en faisant, pour abréger,^ — k = P)

sont exprimées ainsi (n° 39)

X,^P Y'=dP Z' — — dx dy dz

il est visible que la différentielle

X' dx + Y' dy -h Z' dz

ne sera autre chose que la différence de P prise en faisant varier seulement les quantités x, y, z, qui appartiennent à l'orbite de la comète, et en regardant comme constantes les coordonnées £, ïj, Ç de l'orbite de la planète.

De sorte que, si l'on désigne par la caractéristique D cette différence partielle, on aura, en général,

dSa = ^~a2DP.

Or on a, par le n° 48,

2 r3 ar1 2rs 2/*7

Et si l'on substitue, dans cette expression de P, les valeurs de |, n, Ç, p

en sinus et cosinus de v (n° 51 ), il est visible qu'elle deviendra de cette

forme

R -f- Rsinu -+- Scosu + Tsinau + Vcos2u ■+-...,

dans laquelle R, R, S,... seront des fonctions rationnelles et entières de x, y, z, et dont chaque terme sera de plus divisé par une puissance de r, dont l'exposant surpassera de trois unités ou davantage la somme des dimensions de x, y, z clans le numérateur.

Or, comme l'angle v dépend uniquement des quantités £,, vj, Ç qui doivent être regardées comme constantes dans la différence partielle DP, et qu'au contraire les quantités R, R, S,... dépendent uniquement des quantités x, y, z qui sont les seules variables dans cette différentielle, il est clair qu'on aura

DP = (IR -+- sin v dR + cos v dS -+- sin i v dT -+- cos i v d\ -t- . . . ,

dR, c?R, d$>,... étant des différences ordinaires et totales des quantités R, R, S,....

Donc on aura, en général,

c?ôa= (dR -t- sinu dl\ -+- cosu dS -+- siii2u d'ï -+- . . . );

et cette valeur de dda, en y faisant x = r cosip, y = rsm<p, et z = o, deviendra identique avec celle du n° 50, mais elle sera toujours d'une forme plus simple et plus commode pour l'intégration.

56. En effet on voit d'abord, par l'expression précédente de dàa, que la partie indépendante de l'angle v est intégrable, son intégrale étant

— R, où R est la partie indépendante de v dans la valeur de P,

laquelle sera par conséquent une fonction rationnelle et entière de sin< et cos<p, en faisant

ih

.r = /'COS<p, j-=/-sincp, z = o, r =

i +/cos<p

De là on tire cette conclusion importante, que la valeur de âa, c'està-dire, l'altération du grand axe de l'orbite de la comète, en tant qu'elle vient des perturbations de la partie supérieure de l'orbite, ne contient aucun terme proportionnel à l'angle a>, et qui puisse par conséquent augmenter continuellement.

A l'égard des autres termes de la valeur de dèa, il est clair qu'après la substitution des valeurs de x, y, r en <p ils deviendront de la forme

cos^tp sin'tp sinNu efy, ou eos^cp sinv<j> cosNu dy,

et pourront être traités par la méihode des nos 52 et suivants.