o° / a , . „, . , . ; — S. / —, : (àa" — da

où àa'" sera l'intégrale totale de la différentielle dâa pour la période entière de 1661 à 1789, en faisant t positif, et où âa' sera de même l'intégrale totale de diïa pour la période de 1661 à i532, en faisant t négatif; de sorte que, comme il n'y a que la différence de ces deux intégrales qui entre en ligne de compte, il n'y aura point de constantes à y ajou-

ter, et l'on pourra prendre chaque intégrale en sorte qu'elle commence au périhélie de 1661, où t = o.

Les deux autres parties de la même formule deviendront

8(1 + m) \n-e/ ev/2A(i + in)

où (à cause de âi" = o et àg" = o) il faudra prendre pour 8iM et âg'" les intégrales des quantités d&i et rfc?g- depuis le périhélie de 1661 jusqu'à celui de 1789, et pour ai' et 8g' les intégrales des mêmes quantités, mais depuis le périhélie de 166 1 jusqu'à celui de i 532, en supposant t négatif.

L'altération du temps périodique est celle qu'il est le plus important de déterminer dans la Théorie des perturbations des comètes.

Quant aux altérations des autres éléments de l'orbite, on les déterminera directement par l'intégration des quantités dèh, dèa, dèg, diïb, ddc (nos 38, 42 et suivants), en faisant commencer les intégrales au périhélie de 1661, et les étendant jusqu'au périhélie de 1789 ou de i532, suivant qu'on voudra déterminer ces altérations pour la dernière période de la comète ou pour la période précédente.

68. Voilà toutes les données et les formules nécessaires pour calculer les perturbations causées à l'orbite de la comète dont il s'agit par l'action des planètes. Or, parmi toutes les planètes, il n'y a que Jupiter et Saturne dont l'action sur la comète puisse être sensible, tant parce que les masses des autres planètes sont trop petites, que parce qu'elles sont trop proches du Soleil. Ainsi l'on prendra successivement Jupiter et Saturne pour la planète perturbatrice dont on a supposé la masse p., et dont le rayon vecteur est p, et les coordonnées rectangles g, yj, Ç. Les Tables astronomiques de Halley donneront toutes les valeurs des quantités qui dépen ientdes lieux de ces planètes dans un temps quelconque; et nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire d'entrer là-dessus dans aucun détail.

Comme la distance de Jupiter au Soleil est environ 5, et celle de Sa-

turne environ ç>|, il est clair que, si l'on fait commencer la partie supérieure de l'orbite de la comète aux points de la moyenne distance, c'està-dire, aux extrémités du petit axe, alors r sera toujours beaucoup plus grand que p, et la méthode des nos 48 et suivants aura toute l'exactitude qu'on peut désirer, en négligeant même tout à fait les termes qui dépendent du mouvement moyen de la planète perturbatrice dans les formules des quantités différentielles d§h, dâa,..., et en ne tenant compte que des termes indépendants de l'angle v, que nous avons vus être toujours intégrables (nos 52 et 56).

Il y aura encore un autre avantage à prendre ainsi la moitié supérieure de l'orbite pour ce que nous appelons la partie supérieure, car on aura alors, pour le commencement de cette partie, « = ±90, et, pour la fin, u = ± 270; de sorte que, à cause de

x = -(cosu — e), y = \jaksmu, r= - (1 — e cosu), dt = l/2(

— rdu

(u étant l'anomalie excentrique comptée depuis le périhélie), on aura, pour le commencement de la partie supérieure,

ae

X = ±Jah, r=~>

dx . /2(i + /n) dy dr . A(i +

, A(i + m) dy dr

et pour la fin

ae :—-r a

x = 1 j = rpy'rt/i, r=->

dx Ain- m) dy dr l%{\ -f- m)

Tt=±\/—^—' di=°> dï = + e\/-^r-

(les signes supérieurs étant pour le cas où l'on prendra les angles t et u positifs, c'est-à-dire, pour la période qui suit le périhélie de 1661 , et les signes inférieurs étant pour le cas où t et u seront négatifs, c'est-à-dire, pour la période qui précède ce périhélie), ce qui simplifiera beaucoup

les valeurs des quantités H', H", A', A", . . . , c'est-à-dire, les valeurs de H, A,... pour le commencement et pour la fin de la partie supérieure de l'orbite (n°48).

Quant à la masse m de la comète, que nous avons conservée, pour plus d'exactitude et de généralité, dans les formules de ce Mémoire, elle est inconnue, et rien ne saurait conduire à la déterminer; mais il est naturel de la supposer très-petite vis-à-vis de la masse du Soleil; de sorte qu'on pourra négliger partout la quantité m vis-à-vis de l'unité.