VI

Intégrant par parties, on aura

OV— fvd<S> et $W— / Wrf$,

— f Vtf$ et OW-f

et l'on démontrera, par un raisonnement analogue à celui de ce numéro,

que les valeurs des intégrales I Yd<£> et / W d$ seront renfermées entre

les limites ±(V)($) et ± (W)($), en désignant par (V) et (W) les plus grandes valeurs de (V) et (VV) dans la partie supérieure de l'orbite, et conservant la vaieur de (0) de l'endroit cilé. Or les maximum de V et W ayant lieu lorsque dV = oou dW = o, c'est-à-dire, lorsque sinNu = o ou cosNu = o, il s'ensuit que les plus grandes valeurs des quantités V et W seront égales à t (abstraction faite du signe). Si donc on désigne par (t) la valeur de t qui répond à toute la partie supérieure de l'orbite, c'est-à-dire, la valeur de t pour le point où finit cette partie de l'orbite, on

aura (V) = (t) et (W) = (t); et les valeurs des intégrales JYd<P, j Wd<&,

pour toute la partie supérieure de l'orbite, seront renfermées entre ces limites ± (t) ($).

58. Si l'on ne jugeait pas lès limites assez approchées, surtout à cause que la valeur de (t) peut être assez considérable, on pourrait les resserrer davantage par une méthode analogue à celle du n° 53.

En effet, en conservant la valeur de <ï>' de ce numéro, et faisant, pour

abréger,

cosNu

m) N sinNi

on transformera les différentielles Vrf$ et W d<S> en celles-ci <b'dY, et fy'dW,, dont l'intégrale, prise par parties, sera

<E>'V, - fv,</<ï>' et $'W, - fw,d$';

et l'on démontrera de la même manière que, si (V,) et (W,) sont les plus grandes valeurs de V, et deW, dans la partie supérieure de l'orbite,

on aura, pour les valeurs des intégrales / V, d<5>' et / W( e?0' dans cette

partie, les limites ± (V,) ($') et ±(W,)($'). Or, sans chercher les valeurs exactes de (V,) et (W,), il suffira de considérer que, les plus grandes valeurs de V et W étant égales à t (abstraction faite du signe), et les plus grandes valeurs de sinNu et cosN-j étant i, les plus grandes valeurs de V,

et de W, ne pourront jamais être plus grandes que t-h ^Vr? \'i en

sorte qu'on pourra prendre dans les limites précédentes (V,) et (W,)

éeales à (t) -+- ^\/n, Et comme la quantité <ï>' est nécessairement

s w N V o ( ! •+ wt ) ^

moindre que $ dans la partie supérieure de l'orbite, il est clair que ces nouvelles limites seront plus approchées que les premières, et qu'ainsi

l'erreur qu'on commet trait en négligeant les intégrales / V,cfà>'et / W,di>' sera beaucoup moindre que celle qui résulterait de l'omission des premières intégrales / Yd<&, j W#; et ainsi de suite.

59. De ce que nous venons de démontrer depuis le n° 48 jusqu'ici, il est aisé de conclure que les perturbations que la comète doit éprouver dans la partie supérieure de son orhite peuvent être déterminées analytiquement sans avoir recours aux quadratures mécaniques, sinon par des formules rigoureuses, du moins par des formules très-approchées et. dont on peut pousser l'approximation aussi loin que l'on veut. Si ce Mémoire n'était peut-être pas déjà trop long, je présenterais ici ces formules toutes développées, en sorte qu'il n'y eût plus que les substitutions numériques à faire; mais, comme cela ne demande plus qu'un travail mécanique et de calcul, nous croyons pouvoir nous en dispenser et nous contenter d'avoir exposé les principes de cette analyse avec tout le détail et la clarté nécessaires.

Nous allons donner maintenant une idée de la manière dont on doit faire usage des Théories précédentes, en montrant comment on doit les

appliquer à la comète des années i532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790.

60. La comète de l'année i532 a été observée par Appien, et calculée par Halley; ses éléments sont (la distance moyenne du © étant = 1) :

Temps moyen du périhélie, à Paris, 19 octobre 22b29mos

Longitude du périhélie 3s?.i°7'o"

Distance périhélie 0,50910

Longitude du nœud ascendant 2s2o°37'o"

Inclinaison de l'orbite 3a°36'o"

Sens du mouvement ; direct.

Celle de l'année 1661 a été observée par Hevelius et calculée par Halley; ses éléments sont:

Temps moyen du périhélie, à Paris, 26 janvier 23h42mo5

Longitude du périhélie 3s25°58'4o"

Distance périhélie . o,44§5i

Longitude du nœud ascendant '. 2s22°3o' 3o"

Inclinaison de l'orbite 32°35'5o"

Sens du mouvement direct.

Comme les éléments de ces deux comètes sont à très-peu près les mêmes, on est fondé à prendre ces astres pour une même comète, dont la révolution serait d'environ 128 ans, et qui devrait, par conséquent, reparaître en 1789. Dans cette hypothèse, on peut attribuer les différences qui se trouvent entre les éléments de i532 et de 1661 en partie à l'inexactitude des observations, du moins de celles de i532, et en partie à l'effet des perturbations que la comète a dû éprouver pendant la révolution de i532 à 1661 par l'action des planètes; et l'on ne saurait fixer au juste le retour de cette comète qu'en calculant d'avance l'effet des perturbations qu'elle doit éprouver dans la révolution de 1661 à

61. Comme les observations de 1661 ont été faites par Hevelius, on peut les prendre pour exactes, ainsi que les éléments que Halley en a

déduits. On peut supposer de plus que ces éléments soient ceux de l'orbite non altérée, puisque, en faisant abstraction des perturbations qui ont précédé et suivi l'apparition de cette comète en 1661, elle aurait dû se mouvoir toujours dans le même plan et avoir le périhélie placé dans le même lieu du ciel.

Nous prendrons donc, pour plus de simplicité, le temps du passage par le périhélie en 1661, c'est-à-dire, le 21 janvier 23b5om, temps moyen de Paris, pour l'époque du temps t, en supposant t positif après cette époque et négatif avant elle, et en se souvenant que t exprime l'angle du mouvement moyen du Soleil (n° 20).

Nous prendrons de plus le plan qui coupe l'écliptique à 2s22°3o'32", et sous un angle égal à 32°35'5o" (cet angle doit être du côté du Nord et sur la partie de l'écliptique comprise entre 2s22°3o'32" et 8s22°3o'32") pour le plan fixe des coordonnées x et y; et nous prendrons l'axe des x dans la ligne menée du Soleil au point de ce plan qui répond à 3s25°58'4o" de longitude comptée depuis le lieu de l'équinoxe en 1661. Nous rapporterons ensuite à ce même plan et à- ce même axe les lieux des planètes perturbatrices au moyen des coordonnées rectangles ç, yj, Ç. Ces déterminations s'accordent avec les suppositions des nos 2 et 25.

62. Cela posé, soient, comme dans la Section deuxième, a le grand axe de l'orbite non altérée, l\h le paramètre de ce grand axe, et e l'excentricité de l'orbite, égale à y 1 — — -, la distance périhélie sera

a — ae a a ( 1 — e1) nh

Or, par les observations de 1661, on a conclu la distance périhélie = o,4485i (la distance moyenne du Soleil à la Terre étant = 1); on

aura donc

2 A -iiL = o,4485i.

Mais j'observe que, comme les éléments de 1661 ont été calculés dans

l'hypothèse de l'orbite parabolique, il paraît naturel d'adopter aussi cette hypothèse dans la détermination de h; or, dans la parabole, on a a = co , donc e = i, par conséquent h = o,4485i.

Au reste, nous verrons ci-après que cette valeur de h ne serait tout au plus diminuée que d'un centième, si l'on voulait la déterminer dans l'hypothèse elliptique (n° 64).

63. Il faut déterminer maintenant le grand axe a; ce qu'on fera par le principe connu que, dans les orbites elliptiques décrites par une même force tendant au foyer et variant dans la raison inverse des carrés des distances, les temps des révolutions sont comme les racines carrées des cubes des moyennes distances. Or l'intervalle entre le passage par le périhélie en i532 et le passage par le périhélie en 1661 est de 128 années 99J ih2im; mais il faut remarquer que, comme en 1682 on a retranché 10 jours, il faut aussi les retrancher du nombre précédent, ce qui réduira le vrai intervalle entre tes deux passages par le périhélie à 128 années 89J rh2im, parmi lesquelles années il y en a 32 de bissextiles.

Réduisant ce temps en jours et en décimales de jour, on aura donc, pour l'intervalle dont il s'agit, 46841^05626.

Si les deux périhélies étaient placés dans le même lieu du ciel, il est clair que l'intervalle qu'on vient de trouver serait en même temps la durée de la révolution de la comète; mais, comme les lieux des deux périhélies diffèrent un peu entre eux, il faut défalquer de l'intervalle trouvé le temps que la comète a mis à aller du lieu du périhélie de i532 à celui du périhélie de 166 1 .

Pour cela, j'observe que le périhélie de 1661 est plus avancé en longitude que celui de i532 de 3°5i'4o"; mais l'équinoxe a reculé, dans l'espace de i2.8a89J, de i°45'36"; donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura 2°4i'42" pour le vrai espace dont le périhélie de 1661 était plus avancé par rapport aux étoiles fixes que celui de i532; donc la comète, après avoir atteint en i532 son périhélie, a dû parcourir encore autour du Soleil un angle de 2"4i'4" pour arriver au lieu du périhélie de 1661, parce que le mouvement de cette comète se fait sui-

vant l'ordre des signes; ce serait le contraire si la comète était rétrograde.

Il faut donc chercher le temps qui répond à l'anomalie vraie 2°4i'4" dans une parabole dont la distance périhélie est 0,50910. Or, dans la Table générale du mouvement des comètes (cette Table, calculée d'abord par Halley, rendue ensuite plus commode par l'abbé de la Caille, a été étendue davantage dans le Recueil des Tables publié par l'Académie de Berlin, t. III, p. 2 et suiv.), on trouve que pour l'orbite, dont la distance périhélie serait 1, ce temps serait de ij, 93; il faut donc multiplier ce nombre par la racine carrée du cube de 0,509m, et l'on aura oJ, 70107 pour le nombre qu'il faudra retrancher du nombre de jours trouvé plus haut, pour avoir la durée de la révolution de la comète par rapport aux étoiles fixes, laquelle durée sera donc 468/joJ, 355i5.

Or la durée de la révolution périodique de la Terre, c'est-à-dire, l'année sidérale, est de 365J6h9mio% ou, en décimales de jour, de 365j, 25636. Donc, puisque la distance moyenne de la Terre au Soleil est prise pour l'unité, et que la distance moyenne de la comète est -■> on fera cette proportion

d'où l'on lire

C'est la distance moyenne ou le demi-grand axe de l'orbite elliptique de la comète.

64. Il est aisé de conclure de l'équation précédente que, si le temps périodique de la comète élait plus long ou plus court d'un petit

nombre n d'années sidérales, la distance moyenne - serait augmentée ou diminuée à très-peu près de la quantité

de sorte qu'il faudrait que n fût plus grand que 7, pour que la distance moyenne fût changée d'une unité.

Or, quoique les observations de 1 53a faites par Appien ne soient peutêtre pas tout à fait exactes, cependant, comme la comète dont il s'agit n'a été observée que pendant un mois, dans lequel temps elle a passé par le périhélie, il est visible qu'on ne saurait admettre une erreur de 1 5 jours dans le passage au périhélie, et qu'ainsi, à cet égard, on est assuré que

la valeur de- est exacte à o,o5 près.

Mais il y a une autre source d'erreur qui est bien plus considérable : je veux parler de l'effet des perturbations que la comète a dû éprouver dans la période de i532 à 1661, et qui ont pu allonger ou diminuer cette période de quelques années. En effet, la détermination précédente du grand axe étant fondée sur l'hypothèse que la comète a décrit une orbite régulière autour du Soleil en vertu de la seule attraction de cet astre, cette détermination cesse d'être exacte dès qu'on admet l'action des planètes sur la comète; dans ce cas, il est clair qu'on ne saurait chercher le grand axe de la véritable orbite décrite par la comète, puisque cette orbite n'est plus une ellipse; mais on doit chercher plutôt le grand axe de l'orbite que la comète aurait décrite sans les perturbations, et que nous avons nommée, dans le cours de ce Mémoire, orbite non altérée; et pour cela il est visible qu'on ne doit pas employer la durée observée de la révolution, mais cette durée corrigée de l'effet des perturbations.

Supposons que cet effet consiste à allonger ou à raccourcir le temps périodique de l'orbite non altérée d'un petit nombre n d'années sidérales pendant la période de i53a à 1661 ; il est clair que ce temps périodique sera plus court ou plus long de n années que la durée observée de la révolution de la comète; par conséquent la distance moyenne de l'orbite non altérée sera à très-peu près 2D,43oi3 rp o,i322orc.

Or on ne peut déterminer la valeur de n que par le calcul même des perturbations, calcul dans lequel la quantité a entre comme élément; mais, comme la valeur de n ne peut être que de quelques unités, il sera permis de prendre pour la valeur de a la quantité 25,43oi3 qui aurait

lieu sans les perturbations, du moins dans le calcul de ces perturbations. L'erreur qu'on pourra commettre par cette supposition ne sera que de l'ordre des carrés des forces perturbatrices, quantités que nous avons toujours supposées qu'on néglige dans la Théorie des perturbations des comètes.

65. En faisant donc -= 25,43oi3, et prenant pour h la valeur déterminée ci-dessus (n° 62), savoir /* = o,4485i, on trouvera d'abord l'excentricité (n° 25)

Employant cette valeur de e dans l'équation

du numéro cité, on trouvera h = 0,444^2 : c'est la valeur de h dans la supposition que la distance périhélie, déduite des observations, soit la véritable distance périhélie dans l'ellipse; et l'on voit que cette valeur

diffère à peine de — — de celle que donne la supposition de l'orbite par îooo 1 rr r

rabolique; c'est pourquoi on pourra sans crainte employer la première

valeur de h dans le calcul des perturbations.

Comme le demi-petit axe de l'ellipse est s/ah, on trouvera pour ce demi-petit axe 4» 77612.

Et, si l'on cherche l'angle dont le cosinus sera e, on trouvera io°49'io": c'est la valeur de l'anomalie excentrique qui répond à 90 degrés d'anomalie vraie, à compter du périhélie, et c'est aussi la valeur de l'anomalie vraie comptée de l'aphélie pour les points de la distance moyenne.

Enfin, comme nous prenons le périhélie de 1661 pour l'époque d'où l'on doit compter le temps t, et que nous supposons que, dans ce périhélie, l'orbite troublée coïncide avec l'orbite non troublée (n" 60), il s'ensuit qu'on aura non-seulement e = o, <f» = o, i= o, mais aussi §e = o, 5^ = o, Si — o, et de plus M = o dans le même périhélie (n° 38); donc VI. 63

i98 RECHERCHES SUR LÀ THÉORIE

les cinq variables dh, ftg, âb, <?c, ai devront être nulles lorsque t = o, de sorte que, en faisant commencer dans ce point les intégrations des différentielles dâk, dàg, dâb, dâc et d &i (n° 42), il n'y aura point de constantes à y ajouter.

Nous remarquerons encore que, à cause fie « = o, on aura simplement (n° 20)

„ Â Aii + rn) , „, /8(n-/n) 9 = 2/1/ î et par conséquent t = 6i/ >

et les angles t, 0, u, <p seront tous nuls à la fois dans le périhélie de 1 66 1 ; ils seront positifs après ce périhélie, et négatifs avant.

A l'égard de la quantité âa, elle devrait aussi être nulle lorsque t = o, si la valeur de a était exactement égale au grand axe de l'orbite non

altérée de la comète; mais, ayant supposé ci-dessus - = 25,43oi3, on

aura (n° 63), pour la vraie distance moyenne de l'orbite non altérée,

25,43oi3qr o,i3220/i,

laquelle doit être, par l'hypothèse, la même que celle de l'orbite troublée dans le périhélie de 1661, où t = o. Or le grand axe de l'orbite troublée étant, en général, a-^-§a (n°38), on aura donc, lorsque f = o,

a -+- ôa ,„,, „

donc

Sa .

— = zn o, \iiion.

D'où l'on voit que cette valeur de §a dépend du nombre n qui est l'effet des perturbations dans la période précédente.

66. Considérons maintenant le retour de la comète au périhélie; il est visible que, en faisant abstraction des perturbations, il n'y aura qu'à ajouter l'intervalle trouvé ci-dessus (n° 62) de ia8a89fiil'2im, à l'époque du passage par le périhélie de 1661, pour avoir le temps du re-

tour au périhélie; et il viendra (en se souvenant que l'année 1700 n'a pas été bissextile) le 26 avril 1789 ihiïm, temps moyen au méridien de Paris. Mais, pour avoir exactement le temps du retour de la comète au périhélie dans l'orbite elliptique dont le demi-grand axe serait 25,43oi3, tel qu'on l'a déterminé dans le numéro cité, il faudra retrancher du temps qu'on vient de trouver 0^,70107, c'est-à-dire, i6h49mf, par la raison expliquée dans ce même numéro, ce qui donnera le 25 avril 1789

8b2Im{.

Cette détermination serait entièrement exacte, même en ayant égard aux perturbations, si les deux révolutions consécutives de i532 à 1661, et de 1661 à 1789, étaient parfaitement égales, et par conséquent si l'effet des perturbations était le même dans ces deux périodes. Donc, si l'altération de ces deux périodes n'est pas la même, il est clair qu'il ne faudra qu'ajouter, au temps déterminé ci-dessus, l'excès de l'altération de la seconde période sur l'altération de la première.

Or nous avons donné, dans le n° 41, la formule qui exprime, en général, l'altération de la révolution périodique de la comète; appliquant donc ici cette formule, et marquant par un, deux, trois traits les quantités qui répondent aux trois périhélies consécutifs de i532, 1661, 1789, on aura cette quantité, dans laquelle j'ai substitué au lieu de as sa valeur ^ (n° 38),

e \Ji h ( 1

c'est la correction du temps, c'est-à-dire, le temps qu'il faudra ajouter au s5 avril 1789 8h2im± pour avoir l'instant du passage de la comète par la ligne du périhélie de 1661, dont la longitude était alors de 3s25°58'4o", et sera, en 1789 (à cause de la précession des équinoxes), de 3s27°46'i6".

II est bon de remarquer que la dernière partie de la quantité précédente, celle qui contient les quantités âg', âg", âg'", dépend uniquement du déplacement du périhélie, comme on peut le voir par le n°41; de

sorte qu'en rejetant cette partie la quantité restante sera la correction du temps pour le passage de la comète par le vrai périhélie de 1789; mais il faudra alors ajouter cette correction au 26 avril 1789 ihu"\ temps du passage par le périhélie, dans le cas où la révolution anomalistique de 1661 à 1789 serait égale à celle de i532 à 1661.

Pour réduire ces quantités en temps, on se souviendra que nous exprimons le temps par le mouvement moyen du Soleil (n° 20); de sorte que, si la quantité à réduire en temps est exprimée en angles, en la divisant par 36o degrés, on aura des années sidérales de 365-i, 25636; et, si elle est exprimée en nombres absolus (la moyenne distance du Soleil étant l'unité), il faudra la diviser par le rapport de la circonférence au rayon, c'est-à-dire, par 6,283i85..., pour la réduire de même en années sidérales.

67. La formule précédente est générale; mais, dans notre cas, on aura, par ce qu'on a établi dans le n° 64,

t" = o, èi" = o, dg" = o ;

de plus, à cause de t = Q V/07 \ (0 étant l'anomalie moyenne de

la comète), on aura

t"' = 36o°\/7r; -) /' = — 36o° t / 3- ri

de sorte que la première partie de la formule dont il s'agit se réduira à