I H -. COS
I sincr
donc lorsque les nœuds de l'équateur et de l'orbite, à force de s'éloigner, seront parvenus à la distance Ç — s' entre eux, le nœud de l'équateur recevra un mouvement égal à celui de l'orbite.
Il est vrai que l'inclinaison de l'axe sera sujette à une augmentation
ou diminution constante, selon que ê'> Ç' ou < Ç', en vertu de laquelle la valeur sinsr changera un peu, et l'équation
eA'-t- eîi' .
l i + -^ — cos(Ç'— e')
cessera d'être vraie; mais elle se rétablira ensuite par la variation de la distance 'Ç — e'. Peut-être pourrait-on démontrer, par ce raisonnement, que les nœuds de l'équateur lunaire devront enfin coïncider pour toujours avec ceux de l'orbite.
Scolie IV. — Un moyen de déterminer si le mouvement des noeuds de l'équateur lunaire est exactement égal à celui des nœuds de l'orbite, ce serait d'observer pendant une longue suite de révolutions de la Lune la quantité de sa plus grande libration en latitude. Car il est clair que cette libration peut être représentée sans erreur sensible par l'angle que nous avons nommé <f (Article XVI), à cause que l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique est extrêmement petite; or (Articles XVI et XIII)
T sin [u — e ) sin n + "k cos n __ sin (u — e ) suite + i sin (u — g ) ços g
hinv— v/7+^ v^+^ Ji + i'sitf-iv — Z,)
[en mettant pourX sa valeur ism(u— Ç)]. Donc, si Ç = s, on aura
. , sin(u — K) , . ■ .
sintL = v — (sinTr + i costt),
v/i + i2sin2(v— Ç)
et comme (Article XIII)
v = long. © + i8o° et g = long. Q,
lorsque la Lune sera dans ses plus grandes latitudes boréales, on aura
savoir
v — Ç=2'7P° et sin(u — Ç) = — 1;
on trouvera de même sin-(-y— .Ç) = 1 pour les plus grandes latitudes VI. 8
méridionales; donc la libration totale en latitude sera
SiniT -+- / COSTT
v/i -1- i2 ce qui va à y environ du rayon de la Lune. Soit maintenant a> ou <Ç,
il est évident qu'après quelques révolutions de la Lune, on devra avoir -- = Ç -+- 1800; et alors sin^ sera égal à
y/i -1- i sin2(u — Ç et la libration totale égale à — sin tt -4- i costt
i costt),
- seulement du rayon de la Lune.
Scolie V. — Je finirai ces recherches par exposer une méthode par laquelle, ayant trois observations d'une même tache de la Lune, on pourra connaître la position de l'équateur de cette Planète par rapport à l'écliptique. Soient, comme dans l'Article XIII, v — 1800 la longitude du centre de la Lune et X sa latitude supposée australe, U — 1800 la longitude de la tache et X — / la tangente de la latitude, dans une observation quelconque; il est facile de voir, en conservant les suppositions et les noms de l'Article II, que l'on aura
s/x'-hy1 P <Jx2-»r-y2 p \jx2-\-y2 ?
et de même
SinU, r= / — /:
or
(x — Xf -+- (y — Y )■ — x1 -\- y' — ixX — iyY — p2 — 2.rX — -iy Y,
SUK LA L1BRATI0N DE LA LUNE. 59
à très-peu près; donc, en négligeant les carrés et les puissances plus . hautes de X, Y, aussi bien que leurs produits, on aura
r— Y r Y xrX r2Y . Xsinu — Ycosu *- = ± 1 ■- v- = sinu -+- coav — »
en mettant sinu et cosu au lieu de 2-, — ; par conséquent, si l'on fait
sinU = sinu — S, on aura l'équation
(i) S- — = Y cosu — Xsinu.
cosu
On trouvera de la même manière
z — Z z 1 zx\ zyY
= 1 h - (Xcosu + Ysinu) = X — / (hypothèse);
ce qui donnera
(i) — ^— = Xcosu -t- Ysinu.
Il faut tirer de ces deux équations les valeurs de X, Y, Z; et pour cela on remarquera que, r étant le rayon de la Lune, on aura
et que
(Y cosu — X sinv)2 -+- (X cosu + Y sinu)2 = X2 -+- Y2 = r2 — Z2; v
on aura donc
V cos2u
d'où l'on tire
en faisant, pour abréger,
Ayant la valeur de Z, on trouvera aussitôt celle de X et de Y par les équations (i), (2), car
X= — r-1— cosu — pSlangu, Y := — r-^ sinu -1- p».
On fera le même calcul pour chacune des deux autres observations, et l'on appellera X', Y', Z'; X", Y", Z" les valeurs correspondantes de X, Y, Z.
Maintenant on a [Article VI, (D)j
Z— rs'mp, Y=rcospsinq, X = rcosp cosq;'
de plus, en combinant les deux premières formules (C),
sinP = s\up c.os- -+■ cosps'mq' suit:
= sinp costt -4- cosp sinq cose sinT- — coup cosq sine sin-,
en mettant, au lieu de q', q — 1; donc, substituant pour sinyo, cos/>sin<y,
cospcosq leurs valeurs -■> -1 —■> on aura
( 3 ) ' sin P = Z cos7ï + Y cos e sin tt — X sin e sin 7:
et de même pour les deux autres observations
(4) rsinP = Z' costt + Y' cosssinTï — X' sine sin n,
(5.) ' rsinP = Z"cos7ï -t- Y"cosesin- — X"sinesiii7T,
en supposant que la position de l'équateur demeure la même.
Retranchant l'équation (4) de l'équation (.3) et l'équation (5) de l'équation (4). on aura deux nouvelles équations
(6) (Z — Z' ) cos7r -+- (Y — Y') cose siriTï — (X — X') sine suitc = o,
(7) (Z'— Z") costt -1- (Y'— Y")cos£siii7r — (X'— X")sine siriTr = o,
d'où l'on tire
(X — X' ) sin e — ( Y — Y' ) cos e __ costt __ ( X' — X" ) sin e — ( Y' — Y") cos s Z— Z' ~~ sirnr ~ Z' — Z"
et par conséquent
/Y -Y' Y'.— Y"\ /X — X' X' — X" tan g g
Z — Z' Z— Z' Connaissant s, on trouvera 7: par la formule
lang77— (X — X')sine-(Y— Y') cose '
