VI
Et, en supposant que n', Ç', z soient les valeurs de tt, Ç, s lorsque V . = o,
on aura
3(H — 2K-t-M)icosro ,.„ ,. 3N?'cosro „.„/>., j,
«J =7r'+ ~t r-; ; .„ cos C— s — -r, — ; r; tth sin ^ — £ "
Résolution de l'équation (3)
n 3T in,3Sn, = o-
i° La valeur de n est, par l'Article IX, en négligeant les termes multipliés par les constantes très-petites M, N, (|H — K),
sin^A > + dt1 dt-2
20 La valeur de II' est, par l'Article XIV [en mettant sin(u — .s) au lieu de Asinw — Acosw, et cos (y — a) au lieu de Asinw + Àcosw, comme dans l'Article précédent, et négligeant de plus la quantité infiniment petite du second ordre Xsin7r, comme on l'a fait toujours],
[(K — |H) costi — jM]rsin(u — e) — |Nrcos(u — e);
3° On mettra, comme dans l'Article précédent, |sin7r+-|-i'cos(Ç—£-)cos7:
au lieu de Tsin(y — s), — |i'sin(Ç — e) cosn au lieu de rcos(y — e),
(i -+-[x)d\ au lieu de rf«, et ^-r— au lieu de j-, on effacera le
terme — n', par les raisons alléguées (Article XIX), et, divisant toute 1 équation (3) par — j-2 — H, on aura
H + 2K d'Ti (aK-H)cosTT — M
Ch~ a(n-p)H siiiTrdV 4(' + /*)H .
„ (îK- H)cos7r— M costc . ... . ,.. , N/ cos- . . ...
4(i+/* H smîï 4H-p. Hsinn
Ce qui donne, en intégrant, après avoir mis zô au lieu de n (*),
/ H + aK d% (aK — H)cossj — M y
y~n 2(i+ tj.) H sinror/V + 4(n-fz)H :
i ,. 0(aK— Hjcoscj— M cosnr . .,„>., Nicoscj ,y .
-+-37— - — f- ^-ÏSin(Ç— s.)— 3y-, — ■—- r^—. cos(Ç— e),
y) étant égal à'
, (2K— H)cosro— M cosnr . . ,„, .. - Nz'cosw ,„, ,.
£ 37^ — T7 Tir — isin(C— e' — 377 -, nr cos(Ç'— e).
On remarquera que la valeur de -~ peut être négligée, parce qu'elle ne contiendra pas le diviseur [J—p qui se trouve dans les autres termes.
Conséquences qui résultent des formules précédentes (8), (9), par rapport à la précession des équinoxes et à la nutation de l'axe de la Lune.
Si l'on fait, ce qui est permis,
H — 2R -+- M = hcosg, Nï=hsing, savoir
A = N/(H-aK + M)* + N', tangg- = H 2^ + M »
et qu'on mette 1 au lieu de cossr, on aura, en négligeant p. vis-à-vis de 1,
3 hi ,„ , 3Nsinw,r cos(C — e-t-g-H r-n — v,
3(H — aK + MK, 3hi . ..,
e = v) j^ V— T -jT—. — sin (Ç — s -h g) {* .
4H 4<P — /')" sinro °
(*) Le procédé d'intégralion employé ici par Lagrange est tout à fait défectueux; la substitution de ra à 7r, avant l'intégration, ne saurait effectivement être regardée comme légitime.
(Noie de l'Editeur.)
(**) I) y a, dans le texte primitif, plusieurs fautes de signes qui ont peu d'importance; nous avons cru devoir toutefois les faire disparaître. (Note de l'Editeur.)
D'où l'on voit :
i° Que, si N n'est pas = o, l'inclinaison de l'équateur sera sujette à une diminution ou augmentation constante selon que N sera positive ou négative ;
20 Que la valeur de p., c'est-à-dire la précession moyenne des équi-
noxes, sera
3° Que le pôle de l'équateur de la Lune décrira, pendant une révolution des nœuds de l'orbite par rapport aux nœuds de l'équateur, un petit
cercle dont le rayon sera
3 hi 4(f--/MH'
Mais, si p-=p, c'est-à-dire si le mouvement des points équinoxîaux de la Lune est égal au mouvement, des nœuds de l'orbite, comme l'a trouvé M. Cassini, les formules précédentes ne serviront plus; mais il faudra mettre d'abord au lieu de sr sa valeur
71 + 77 TtF COS(£'— ê'-t-gl,
et au lieu de r\ sa valeur
4(p — /?)Hsinra
on mettra ensuite s' — p.V au lieu de s, et Ç' — pY au lieu de 'Ç; après quoi, regardant (p. — p)Y comme une quantité infiniment petite, on aura
cos( Ç — e -+- g) = cos(Ç' —e'-h g) — (y. — p) V sïn(Ç' — e'-h g), sin(Ç— e-h g)= sin(Ç' — s'-f-gr) -+- (a — p) V cos(Ç'— e' -+-§■)■;
et les valeurs de s et de n deviendront les suivantes
. *=-H^pr- + 4Hsm(« s'!J ■
, ri(H — a.K+M) 3hi „, , I,
e = £ ' — — r-fT h tt¥— ; cos( C — z' + g}\\ .
| 4H 4Hsinnr v &yJ
D'où il s'ensuit que
3(H — 2K + M) 3hi
u = t^j . — - + -T7T—. — cos {ç — e -4- ff),
et qu'il n'y aura plus de nutation sensible dans l'axe de la Lune.
Remarque. — Il est bon de remarquer que, si l'on voulait appliquer à la Terre regardée comme un sphéroïde quelconque les formules (8) et (9), il faudrait effacer partout les lettres M et N. La raison de cela est que, l'angle 6 n'étant plus alors très-petit par rapport à v, il ne serait plus permis de mettre, comme nous l'avons fait, sihfu — s) et cos (y — e) au lieu de A sinw — A cosoj et de A sinw -1- A cos« dans les expressions de E' et de II'; mais il faudrait substituer pour A et pour A leurs valeurs [Article XIII (M)] ; cependant, comme les termes venant de ces substitutions seraient tous multipliés par sin2w ou cos2co, et que w serait dans ce cas beaucoup plus grand que V, étant a4rès-peu près dans le rapport de 27 à 1 , il est clair que ces termes pourraient être négligés entièrement comme devant être, après l'intégration, considérablement plus petits que les autres. M. d'Alembert a fait le premier cette importante observation, sans laquelle il eût été comme impossible de résoudre le Problème de la précession des équinoxes clans la Terre considérée comme un sphéroïde à méridiens dissemblables; mais elle n'a plus lieu à l'égard de la Lune, dans laquelle w = V à peu près; et c'est ce- qui fait que nos résultats diffèrent un peu de ceux de ce grand Géomètre, comme on va le voir.
Scolie I. — En supposant la Lune homogène et de figure elliptique, comme dans l'Article XXII, on aura (Article XII)
H=£Sp, M=^-.eB', N = o, K-iH=-^(«A'+*eB');
donc (Article XXV)
»=.o, A = H — 2K + M=^(eÀ'+eB'), „ — aeA'-t- aeB'; & i5 H
donc
3/(eA'-+-eB')
7r = c7 S — cosiC — £),
3«'(eA'+eB') . ,„ 3e(A'+ IV) s = -/j — fi\ ; —. — sm(Ç — e), p. = — ; ;
où l'on remarquera que eA'-l-eB' représente l'ellipticité du premier méridien, c'est-à-dire l'allongement de la Lune (dans le sens de la ligne qui joint le centre de la Lune et de la Terre à très-peu près), par rapport au demi-axe de la Lune; et que par conséquent le mouvement de l'axe de cette Planète dépend en ce cas uniquement de la quantité de cet allongement.
Par la théorie de la figure de la Lune, on a (Articles XII et XXII)
eB' = - /,. == > et. eA' = }<p;
4p L # iooooooo
or <p exprime le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'équateur de la Lune; donc, si l'on nomme -p' ce même rapport sous l'équateur de la Terre,/' le rayon de la Terre, t, t. les temps de la rotation de la Lune et de la Terre, on voit facilement qu'on aura
ce qui donne
mettant -is au lieu de m', — au lieu de ir, 67 au lieu de -p' et — r au
ieu de — > je trouve
d'où
et par conséquent
donc
IOOOOOOO
IOOOOOOO
et, multipliant ce nombre par 36o degrés, on aura, en secondes, 61" pour la précession moyenne des points équinoxiaux lunaires dans un mois périodique.
Pour avoir la nutation, il faut multiplier u. par — — > ou bien par -
simplement, à cause de \j. extrêmement petit.
Or, en prenant pour la tangente i de l'inclinaison de l'orbite lunaire tang5°9', et pour le rapport/; du mouvement moyen des noeuds au mouvement périodique de la Lune ^foo ' F trouve l;l nutation de l'axe
= 3'39"; et, divisant ce nombre par sinw (en prenant pour vs, 2 degrés, valeur moyenne entre celles de M. Cassini et de M. Mayer), j'ai i°4/|'i5" pour la plus grande équation de la précession.
Selon M. d'Alembert [voyez le dernier Mémoire de ses Opuscules), la précession moyenne des équinoxes dans l'hypothèse présente est seulement de — — ^^- — -> et la nutation est aussi diminuée à proportion;
c'est ce qui fait que nos résultats ne s'accordent point; mais j'ai donné ci-dessus (Article XVII) la raison de cette différence entre les formules de ce srand Géomètre et les miennes.
Scolie II. — Voyons maintenant quelle devrait être la valeur de eA'-t-eB', pour que la précession moyenne des équinoxes lunaires lut
égale au mouvement des nœuds de la Lune; dans ce cas, on aura (-Article XXV)
[J=P—— - — TTj — - + . . — cos(Ç' — e'+ g)
3(H — 2K-+-M) 3/ii
4H " + 4Hsii
f (eA'-t- eR') i H J- — cos('C — e') -,
| Sinnj
donc
eA'-(- eR'
— cos(C
sinro
Donc, si l'on veut, avec M. de Cassini, que le nœud descendant de l'équateur lunaire soit toujours au même point que le nœud ascendant de l'orbite de la Lune, on fera e'= Ç', et l'on aura
eA' + eR' =
I ooo ooo
et, dans ce cas, il n'y aura plus de nutation sensible dans l'axe.
Scolie III. — Au reste, quelle que soit la valeur de eA'+eB', pourvu qu'elle surpasse — — — ■> je dis que le mouvement des équinoxes lu-
^ r I ooo ooo J * '
naires deviendra toujours de lui-même égal au mouvement des nœuds de la Lune; car il est clair qu'on pourra toujours trouver un angle 'Ç — s' tel, que l'on ait
, eA'+eR'=— = -. —
