PROPOSITION I

Théorème.

5. Toute série dont un terme quelconque est représente par la formule

Asin(a •+- ma) -+- Bsin(6 -i- /w(3) + C sin(c + my) -+-. . .,

m étant le nombre des termes précédents, est une série récurrente dont l'échelle de relation dépend uniquement des angles a, ]3, •/,

Dénotons, en général, par

les termes de la série proposée, en sorte que l'on ait

T(M) = A sin (<*•+- m«) -t-B sin(6 -4-m|3) -hCsin(c-t- my) -t-. . .,

et examinons la nature de la suite infinie

T + Tx -h V'x* -+- T"'.r3 + .-..+ T^xm + T(-n+nxm+, +

On sait que

ev^-' — e-îV-' sin<j> =

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; donc, faisant, pour abréger,

kea^-r' . Ae—V-' ,— /—

K= =5 L= =^> p = eaV", q = e-*\/->,

on aura

Asin(a + ma) = Kpm -4- Lqm;

de même, si l'on fait

M= Be*g N. Be-4^ „.,- „„.,-

Ce^3' A Ce-«v/:

P = ^±L, Q = -Ce~±\ t = e<^, u=e-^-

Bsin(6 + m (3) =Mr+ N*m, C sin ( c ■+■ my ) = P tm -t- Q u"',

et le terme général T(m) prendra cette forme

T(",) = K/>'"+Lg"'+M7""+Ni'n-+- P/"" -t- Q«m -t- . . . .

D'où l'on voit que la suite

T + Tx + T"*2 -+- T"x* -h...

n'est autre chose que la somme de plusieurs séries géométriques, dont les premiers termes sont K, L, M,... et dont les raisons sontpx, qx, rx, . . . , de sorte qu'en sommant chacune de ces séries géométriques on aura la valeur de toute la série

T + Tx -+- T"*!+TV -»-...,

On aura donc de cette manière l'équation identique

TTV TV/ -. mm ■> m . "■ ^ -^ **

-+- I'a?-t-T a?2-i- l'"x3-hTlvxi-i-...= -

[ — px i — qx i — vx i — sx '

et il est clair qu'en réduisant au même dénominateur les fractions qui composent le second membre de cette équation, et dont nous supposerons que le nombre soit n, ce second membre se transformera en une fraction unique de la forme

où les nombres o, 1, 2, 3,..., renfermés dans des crochets carrés ou ronds, désignent des coefficients différents qui dépendent des quantités K, L, M, N,..., p, q, r, s, — Et, comme le dénominateur de cette fraction doit être égal au produit des n dénominateurs \—px, \—qx, » — rx, i—sx,..., il est d'abord évident qu'on aura

(2 ) = pq -+- pr -+- ps -+- . . . -+- qr -+- qs -H . . . , (3)=r — pqr — pqs — qrs — . . . ,

de sorte que les coefficients (o), (i), (2), (3),... du dénominateur de la fraction dont il s'agit seront donnés uniquement par les quantités p, q,

Ainsi la série proposée sera égale à cette dernière fraction, que nous appellerons par conséquent fraction génératrice de la série; d'où il est facile de conclure que la même série sera du genre de celles qu'on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu'un terme quelconque se forme de l'addition d'un certain nombre de termes précédents, multipliés chacun par un coefficient donné; car, en multipliant la série

T + T'a? H- Vx* -+- . . .