VI

Corollaire I.

M 24. Soit -p la fraction génératrice de la série récurrente de l'ordre n

(A) T 4- T'a? -+- T"a?2 4- T"x> 4- T'va?4 + . . . ,

P étant un polynôme du degré n, et M un polynôme du degré n — \ . Que Q soit le polynôme contraire à P, et N le polynôme contraire à M,

on aura — jr pour la fraction génératrice de la série

( B) T 4- «Ta? 4- "Ta.-2 4- "Ta:3 4- vT.rl +

Donc, si l'on ajoute ensemble les deux séries (A) et (B), ou qu'on les retranche l'une de l'autre, on aura la nouvelle série

dont la fraction génératrice sera égale à

Supposons que le polynôme P soit le produit d'un polynôme réciproque n d'un degré quelconque pair 2v par un autre polynôme P', qui sera par conséquent du degré n — 2v, en sorte que l'on ait

p = np'.

Soit Q' le polynôme contraire à P'; comme LT est un polynôme réciproque, il est clair qu'on aura

Q = nQ'.

Ainsi l'on aura

np' ~^nQ''

c'est-à-dire, en réduisant au même dénominateur,

MQ' + NP'

nPQ'

pour la fraction génératrice de la série (C).

Or, comme M et N sont deux polynômes contraires du degré n — i , et P', Q' deux polynômes aussi contraires du degré n — iv, et que d'ailleurs n est un polynôme réciproque du degré av, il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans le n° 23 :

i° Que le dénominateur ITP'Q'de la fraction dont il s'agit sera un polynôme réciproque du degré pair

2° Que le numérateur MQ' =p NP' de la même fraction sera égal à un polynôme réciproque du degré pair 2 (n — v— 1), multiplié par 1 +a?.

Corollaire II.

25. Si l'on ajoute à la série (A), ou qu'on en retranche la série (B) multipliée par x, il viendra celle ci

(D) T+ (T'±,T)a; + (ï"dznT)^2-f- {T"±wT)x> + . . .,

dont la fraction génératrice sera donc égale à

Soit, comme ci-dessus,

P = nP' et Q = nQ'; on aura donc

M N-r , .. MQ'q=NP'^

nF + nô?' cest"a-dire> gp'Q'

pour la fraction génératrice de la série (D); d'où l'on voit :

i° Que le dénominateur de cette fraction sera le même que celui de la fraction génératrice de la série (C), c'est-à-dire, un polynôme réciproque du degré pair 2 (n — v) ;

20 Que, si l'on prend le signe supérieur, la fraction aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2(71 — v — 1) multiplié par 1 — x2; car ce numérateur, étant égal à MQ' — NP'a?, sera représenté par un polynôme du degré 2(11 — m) divisible par 1 — x, et qui, par cette division, deviendra un polynôme réciproque du degré a(/» — v) — i (n°23, 5°); or ce dernier polynôme, étant d'un degré impair, sera encore divisible par 1 -t- x, et deviendra, par cette division, un polynôme réciproque du degré 2(n — y) — 2 (numéro cité, 4°); donc, etc. ;

3° Que, si l'on prend le signe inférieur, le numérateur de la même fraction sera un polynôme réciproque du degré a(/i — v), c'est-à-dire, du même degré que son dénominateur; ce qui est évident par ce qu'on a dit dans le n° 23 (i°). Donc, si l'on retranche de la fraction le premier terme T de la série, la fraction restante, après avoir réduit au même dénominateur, aura encore pour numérateur un polynôme réciproque de même degré (n°23, 3°); mais ce numérateur doit être divisible para;; donc il faudra que son premier terme, où x n'entre pas, soit nul; par conséquent le dernier terme, qui renferme <r2("~v) et qui a le même coefficient que le premier, sera nul aussi; effaçant donc les deux termes extrêmes du numérateur, et divisant les autres par x, on aura un polynôme réciproque du degré -z{n — v) — 2 pour le numérateur de la fraction génératrice de la série

Corollaire III.

26. Donc, si l'on divise la série fC) du Corollaire 1 par 1 q= x, ou, ce qui revient au même, qu'on la multiplie par la série

1 ± x -+- x- zh x3 -t- xf rh . . . ,

on aura, en prenant successivement les signes supérieurs ou les inférieurs, deux séries dont l'une sera

(E) t + t'x-i- l"x2+ l'"x3 -4- t"xi -t- t"xl' + . . .,

dans laquelle

t'"= T" -+- T" -t- T' -+- T -i- T -t- "T -i- "T -l- ITT,

et dont l'autre sera

dans laquelle