T, VT, ™T,..., «T

qui précèdent le terme T°, il n'y aura qu'à faire successivement

de sorte qu'on aura

(«>ï = Kp~m -+- Lq~m -+- M/—"' -i- Nr-m -+- . .. ;

donc le terme général im)Txm de la série

T+'Tj +"Tx! + "T^ + ...

sera représenté par la formule

(Kp~m-h L </-"'+ Mr-'+ N 'srm -t- . . .) x'" ;

d'où il est facile de conclure que cette série résultera du développement des n fractions

KLM

lesquelles étant réduites à une fraction unique, on aura la fraction génératrice cherchée.

Considérons donc l'équation identique

(o)-t- (i)x-i- {l)x2 + ...-¥■ (n)x" ~ I— px l — qx i — rx ""'

et voyons quelle transformation on doit faire subir au premier membre, pour que le second se change en celui-ci

Je remarque d'abord qu'en faisant x = o on a

ensuite, si l'on met — à la place de x, et qu'on fasse les réductions ordinaires, on aura

[o].r"-n [i]x"-'-h[i]x"-2-i-...-h[/i — i]x Kx hjc Mx

[o)x" + (i)af-'-h (2). r"~2+. .. + («) p — x q — x r — x ""'

retranchons cette équation de la précédente, et l'on aura celle-ci

[o] [o].,c"-t- [1] j.-"-'-f [i]x"-2-^. . .-{-[n - \]x Kp L(/ M/-

(o) (o)x"-h{i)xn-' -h(i)x"~--i-...-h{n) ~ p — x q — x r — x

On aura donc

( o ) (o) x' -+- ( 1 ) ,v"-' -+- (2)ar"-2 -h . . . -t- («)

or, faisant a =0, on a U— T; donc, retranchant cette équation de la

précédente et divisant le reste par x, on aura, en ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de x,

— 7— r — ; — — \ / rS — H — ôr-5 — — , > „ = T+ Tx + "T.r+"Tr + ....

(«) -+- (n — \)x+ [n — 2)xi-h (n — 3)x3-h ...■+- (o)x"

Ainsi le Problème est résolu.

Remarque I.

22. Quoique l'analyse précédente soit fondée sur la décomposition de la fraction génératrice donnée dans les fractions simples

1 — p x 1 — qx

décomposition qui suppose que les facteurs binômes 1 — px, 1— qx,... soient tous inégaux, cependant il est facile de se convaincre que notre démonstration n'en subsistera pas moins quand il se trouvera des facteurs doubles, ou triples,...; car on sait que le cas des facteurs égaux

peut toujours se ramener à celui des facteurs inégaux, en regardant les quantités égales p, q, . . . comme infiniment peu différentes entre elles; de sorte que, comme la conclusion à laquelle nous sommes arrivés est indépendante de la forme même des facteurs i — px, i— qx,..., il s'ensuit qu'elle aura lieu, soit que ces facteurs soient tous inégaux ou non.

Remarque II.

23. J'appellerai, pour plus de simplicité, polynômes contraires ceux qui, étant du même degré, ont aussi les mêmes coefficients, mais disposés en sens contraire.

Ainsi les deux polynômes

seront des polynômes contraires.

Donc, si l'on a

(o) = (ra), (i) = (n — i), (2) = (« — 2),...,

ce qui est la propriété des polynômes qu'on appelle réciproques (n° 6), il est clair que les deux polynômes contraires seront les mêmes; vice versa, il est visible que tout polynôme, qui sera le même que son polynôme contraire, sera nécessairement réciproque.

De ces définitions des polynômes contraires et réciproques, il est facile de déduire les propriétés suivantes de ces mêmes polynômes :

i° La somme de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque du même degré.

Et, en général, si P et Q sont deux polynômes contraires du degré n, le polynôme P+Qa?"1 sera un polynôme réciproque du degré n-\-m.

2° Le produit de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque d'un degré double; ainsi tout polynôme réciproque d'un degré pair peut être regardé comme le produit de deux polynômes contraires.

3° La somme ou la différence de deux polynômes réciproques du même degré est aussi un polynôme réciproque d'un pareil degré.

Et le produit de deux polynômes réciproques de quelque degré que ce soit est toujours un polynôme réciproque d'un degré égal à la somme des degrés de ces polynômes. De même le quotient de deux polynômes réciproques, lorsque l'un est divisible par l'autre, sera un polynôme réciproque d'un degré égal à la différence de ceux des deux polynômes.

4° Tout polynôme réciproque d'un degré impair est divisible par i -+- x, et le quotient sera aussi un polynôme réciproque; car il est visible qu'en faisant x = — i les deux termes extrêmes du polynôme se détruiront l'un l'autre, ainsi que les autres termes équidistants des extrêmes; et, comme i -+- x est lui-même un polynôme réciproque, il s'ensuit que le quotient le sera aussi.

5° La différence de deux polynômes contraires est divisible par i — x,

et le quotient est un polynôme réciproque; car soient P et Q deux

polynômes contraires de quelque degré que ce soit, il est clair qu'en

faisant x = i on aura P = Q ou P-Q=o; donc P — Q sera divisible

par i^x. Maintenant, si l'on multiplie la différence P — Q par i — x,

on aura

P — Q — Vx-t-Qx,

qui sera, par conséquent, divisible par (i — x)2; or P-t-Qa? est un polynôme réciproque, et Q-l-Pa; en est un aussi du même degré (i°); donc la différence V-\-Qx — Q — Px sera un polynôme réciproque (3°); d'un autre côté,

(i — xY=l — 2X -h X'

est aussi un polynôme réciproque; donc le quotient de ces deux polynômes, c'est-à-dire, le quotient de P — Q par i — x, sera encore un polynôme réciproque (3°).

On peut démontrer de la même manière que P — Qx'n sera divisible par i — x, et que le quotient sera un polynôme réciproque.

Ces propriétés des polynômes contraires et des polynômes réciproques vont nous servir pour tirer différentes conséquences de la solution du Problême précédent.