t- x- ■+- x' -t- Xe

et dont l'autre sera la même série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par x, après en avoir retranché le premier terme T. Ainsi la première de ces séries sera de la forme

(G) t ■+■ t'x -t- t"x2 -t- t'"x3 -t- V xk ■+■ V xi -+- . . . ,

OÙ

et la seconde sera de la forme

(H) (t)-\-[t' )'x -\- (O •*"'-+- il">'I+((IÏ)j'+ (ty)xi-h. . .,

où

On a donc par là le moyen de transformer une série récurrente d'un ordre quelconque n en d'autres de l'ordre i{n — y) qui aient les conditions dont on vient de parler. Or, quoique ces transformées soient en elles-mêmes d'un ordre supérieur à la proposée, elles peuvent néanmoins être abaissées à un ordre inférieur; car nous allons faire voir, dans le Problème suivant, que toute série récurrente dont la fraction génératrice a pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs peut être transformée en une autre aussi récurrente, mais d'un ordre moindre de la moitié; d'où l'on pourra conclure que les séries transformées de l'ordre i (n — y j seront réductibles à d'autres de l'ordre n — v, lequel, tant que v n'est pas nul, sera toujours moindre que celui de la série primitive proposée.