PROPOSITION IV

Problème.

27. Étant donnée une suite récurrente d'un ordre pair, dont la fraction génératrice ait pour dénominateur un polynôme réciproque d'un degré pair, et pour numérateur un polynôme , aussi réciproque, d'un degré pair et moindre de deux unités que celui du dénominateur, on propose de transformer cette série en une autre pareillement récurrente, mais d'un ordre moindre de la moitié.

Soit proposée la série

dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

[o] -+- [i]x + [2]ar' + . . . + [2]^^-' + [i]jr^~a+ \o\x^-- (o) -\-{i)x-\- (2) X1 -+- . . . -+- (2) x»>—2 -4- (1) x^~' + (o) xy>-

en sorte que la série proposée soit de l'ordre i\j., et supposons que cette série soit transformée en une autre, telle que

laquelle ne soit que de l'ordre (x, et dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

a -+- by -h cjr'-h ..,-(- h y»— ' A -4- By -t- Cr2 -+- ■ • • 4- K /)•:'- '

Je fais, pour obtenir cette transformation,

et, substituant cette valeur de y dans la dernière fraction, j'ai, après avoir multiplié le haut et le bas par (1 -t- œ2)^,

(1 -+- x2)[a(i-h x'y-'-h b x (1 -\- x2)«-2 -+- cx'{\+ x-f-> -+- . . . -4- Il x"-' \ A(i -H x2Y+ Bx(i-+- x2)*-*-)- C^:(i + x2f~2 + . . .-t-Ka^ '

et cette fraction sera, par conséquent, égale à la série

i-hx2 (i-hx*)2 (i -+- x2)3

et, divisant tant la fraction que la série par i-\-x2, j'aurai cette fraction

a(i -+- x2)*-' -t- bx(i -h x2Y~2-h cx2(i -+- x2)*-3 ■+- . . . -+- hx»-' A(i-hx2Y-+- B(i-i- x2)*-' -4-C(i-f-a;2)l*-ï + . . . -+- Kx»

qui sera égale à la série

Maintenant, si l'on développe les puissances de i -+-x'2, tant dans le numérateur que dans le dénominateur de cette dernière fraction, et qu'on ordonne ensuite par rapport aux puissances de x, on verra que le dénominateur sera un polynôme réciproque du degré i\j., et que le numérateur sera aussi un polynôme réciproque du degré 2p. — 2; en sorte qu'on pourra comparer terme à terme ces polynômes à ceux qui forment la fraction génératrice de la série proposée; et cette comparaison servira à déterminer les jjl coefficients

a, b, c, . . . , /< par les coefficients

[o], [.], [2],..., O-i], ainsi que les p. -+- 1 coefficients