Soit proposée la série

i -+- 3x + 5x2-\- 6x3 -+- -]x' -+- ç)xb -+- 1 1 xe -+- \ix1 -+■ . . . ;

on trouvera que la transformée sera

i -+- 3 y H- 6 y- -4- izy3 -+- i^yA -+- 48r5-t- 96 y" -+- 192 y1 -+-...,

laquelle, à commencer du second terme, est une progression géométrique dont la raison est 2; de sorte qu'on aura sur-le-champ la formule

3r , , ,. 1 -+- r H : ? c est-a-dire, '■ —

pour la fraction génératrice de cette dernière série; d'où l'on voit que cette série, quoique du premier ordre seulement, est cependant essentiellement une série du second ordre, mais dans laquelle le coefficient du terme y2 dans l'échelle de relation est évanoui (n° 18); de sorte que la série proposée sera nécessairement du quatrième ordre.

En effet, mettant — : — ; à la place de y, et divisant ensuite la fraction

par i + œ2, on aura celle-ci

( I ■+- X1) (i — IX -\- X2)

pour la fraction génératrice de la série primitive

et il est clair par là que si l'on avait voulu opérer immédiatement par cette même série, suivant la méthode de la Proposition II, il aurait fallu procéder jusqu'à la quatrième division- avant que l'opération fût terminée.