Lorsqu'on aura ainsi trouvé !es quotients successifs

p -+- qx -i- px2, p' ■+- q'x ■+- p'x-, p" -+- q"x -+- p"x2, . . . ,

on pourra en déduire la fraction génératrice de la série par la méthode du n° 2, en prenant ces quotients à la place des quotients

p-j-qx, p'+q'x, p" -f- q"x, . . . .

Mais il sera encore plus simple et plus commode de prendre pour quotients les simples quantités

p -+- qr, p' -+- q'f. p" -+- q"y, . . ., p(*-<) -+- q{v-l)y ■ car, ayant formé par leur moyen la fraction en y, il n'y aura plus qu'à y substituer . ■- à la place de y, et à la diviser ensuite par i + x2, comme on l'a vu dans le n° 28.

Remarque I.

32. La méthode précédente est donc très-utile pour reconnaître si une série quelconque proposée est récurrente et due à une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur soient des polynômes réciproques de degrés pairs; car elle réduit à la moitié le nombre des opérations que demanderait la méthode générale de la Proposition IL

Si la fraction génératrice de la série devait avoir pour dénominateur un polynôme réciproque de degré pair, et pour numérateur le produit d'un polynôme réciproque de degré pair par un polynôme quelconque donné, alors on pourrait encore résoudre la question par la même méthode, avec cette seule différence, qu'au lieu de prendre l'unité pour le premier dividende, comme dans les opérations de la Proposition II, il faudrait prendre pour premier dividende le polynôme même donné; car il est visible que, de cette manière toute la fraction continue se trou-

vera multipliée parce même polynôme, et que, par conséquent, la fraction résultant de la réduction de cette fraction le sera aussi. C'est pourquoi, après avoir trouvé dans ce cas les quotients des divisions successives, il n'y aura qu'à chercher, à l'aide de ces quotients, la fraction génératrice de la série, en faisant abstraction du polynôme donné, et ensuite multiplier le numérateur de cette fraction par le polynôme dont nous parlons.

Exemple.

33. Je prendrai pour exemple la suite que nous avons déjà examinée dans le n° 29, d'après la méthode de la Proposition IV, savoir,

i ■+- 3x -4- 5x- -+• 6x' -t- r]xi -t- gx5 -4- 1 1 x6 -+- iix1 -4- \3x% -4- i5a:9 -+- 17 x"> 4- iHxu -+- ig^12 4- '21 xu -+-...,

et voici comment je procède.

Je commence par diviser l'unité par la série donnée

que j'appelle s, et je trouve dans le quotient le terme 1 , à la place duquel j'écris tout de suite 1 + x2; je multiplie 1 + x2 par la série s, et je soustrais le produit de l'unité, ce qui me donne le reste

— 3x — 6x2 — ga?3 — i2x' — i5.r5 — 18a?6 — 21a;7 — . ...

Je continue à diviser ce reste par la série s, et il me vient dans le quotient le nouveau terme — 3a;, qui, étant multiplié par le diviseur s et soustrait du reste précédent, donne le reste

3x2 -4- 6 x3 -+- 6xs -t- 6a:5 -1- g.r6 -4- 12 a?' 4- ... .

Ainsi le premier quotient est

Maintenant je divise le dernier reste par son premier terme 3a?2 pour avoir la série