I -I- IX -+- 2X7 4- 3.X3 -h Sx* ■+■ ^Xl -h 4-t

que j'appelle s', et par laquelle je divise la série s, qui a servi de diviseur dans l'opération précédente.

Celte division me donne d'abord le quotient i , à la place duquel j'écris de nouveau i + a?2; la multiplication et la soustraction faites, j'ai le reste

x -+- ix' -+- ix* -+- ixf ■+■ 3xs -+- 4#6 -I- 4^' +... j

qui, étant divisé derechef par la série s, produit dans le quolient le terme x; et ce terme, étant multiplié par le diviseur s et soustrait du reste précédent, ne laisse plus rien; d'où je conclus que l'opération est terminée, et que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, en sorte que sa fraction génératrice a pour dénominateur un polynôme réciproque du quatrième degré, et pour numérateur un polynôme réciproque du second degré.

En vertu de l'opération précédente, la série proposée * est donc égale à la fraction continue

i — àx -4- x2 -+-

laquelle, en mettant y à la place de a» c'est-à-dire, y{i -+- x2) à la

place de x, se réduit à celle-ci

[I + ^)(I 3J)+ se+iW

d'où l'on voit que l'expression de s en y est la même que celle en x, en réduisant les quotients

aux deux premiers termes

changeant ensuite x en y, et divisant le tout par i -+- x'2.

Ainsi, pour avoir la fraction génératrice, on considérera les quotients

avec le premier terme 'ix2 du reste de la première division, par lequel ce reste a été divisé; et l'on en formera (n° 13) les quantités

p on changera x en y dans la fraction ^> et, la divisant ensuite par i-+-x*,

on aura celle-ci

pour la fraction cherchée, dans laquelle il n'y aura plus qu'à mettre : à la place de y, ce qui la transformera en

ce qui s'accorde avec le résultat du n° 29.

Remarque II.

34. Si, dans le cas du Problème précédent, il arrivait que la fraction génératrice eût pour numérateur un polynôme réciproque d'un degré égal ou plus grand que celui du dénominateur, alors la série aurait au commencement un certain nombre de termes irréguliers, comme on l'a vu dans le n° 18; or, si l'on se contentait d'effacer ces termes, la série restante serait à la vérité régulière, mais elle n'aurait plus une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur fussent des polynômes réciproques de degrés pairs, comme auparavant. Comme il peut

néanmoins être quelquefois utile de conserver à la série cette propriété, nous allons voir ce qu'il faudra faire pour cet effet. Considérons donc la fraction

a-\~ bx -h cx2-\- . . .-{- c.rr"+f-')-- -f- bx-('+>-'î-] -t- a.r2(v+e-|> A -+- Bx -+■ Cx2 -+- . . . -+- Cr2v-2 -+- Bx2'-' -+- A.*2"

laquelle soit supposée donner naissance à la série

t ■+■ t'x -+- 1" x2 -+- f'x3 -t- <IVX< -+-...'.

Je dis que l'on peut diviser le numérateur de cette fraction par son dénominateur, en sorte que tant le quotient que le reste soient aussi des polynômes réciproques de degrés pairs; en effet, si l'on suppose que le quotient soit

P -+- Qx ■+- Bx' -4- . . . -t- R«2(f-')-2 .+. Qa;!((-')-i + p^2(e-i)

et que le reste soit

xt[p -+- qx -+- rx2 -+- . . . -t- ra?J(v-«)-»+ qx2C-[)-[ -+- px'C'-'l],

il est facile de prouver qu'en multipliant ce quotient par le diviseur

A -4- Bx + Cx2 -t-. . .

et y ajoutant ensuite le reste, il viendra un polynôme réciproque du degré a(v + p — i); et, comme le nombre des coefficients indéterminés P, Q, R,... est p, et celui des coefficients indéterminés p, q, r,... est v, le polynôme dont il s'agit contiendra v -+- p quantités indéterminées; par conséquent ce polynôme sera comparable au polynôme

a -+- bx -+- ex7 -)-...,

où le nombre des coefficients donnés a, b, c,... est aussi v H- p.

Maintenant, puisque le reste est divisible par x?, il est clair que les p premiers termes de la série

devront être les mêmes que les p premiers termes du quotient

P -t-Q.r h- Rj' -+-... ,

afin que, ces termes étant effacés de part et d'autre, ce qui restera soit tout divisible par x?\ on aura donc ainsi

donc, après avoir effacé ce qui se détruit, et divisé le tout par oft, on aura l'équation

tM -+- /(H-' ) x -+- K^2) x2 -t- t^+V x* -t- . . . = «e-2> -t- i<P-J > x -t- 2(f-4> x" •+- . . . -t- Ix r~-

p -\- qx -+- rx'-h. . .-4- j'ic2(v-')-»^ g #»("-' )-t -f-^x^'-') A + Bx + C^! + . . .4-Ca:2'-2 + Bx2v~' -+- Ax-'

d'où il s'ensuit qu'on aura

[<(?) f(e-s)] + [/(?+■) <(f-J)]jr i[/(fM; *(?-«).]#».+,, . .

p -t- qx -t- m! + . . .H- r.r2(v-')-2+ qx^"-^~' -4-p.r2(v-" A -t- B.r + Cx! -h. . .-f- L^2—2 -+- lii-'-1 -+- A/:"

On voit donc par là que, pour rendre la série

régulière, et en même temps originaire d'une fraction qui ait pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs, il faut non-seulement y effacer les p premiers termes, et diviser les restants para;?, mais encore retrancher des coefficients de ceux-ci les coefficients de ceux des premiers termes qui sont également éloignés du terme p1""16, c'est-à-dire, en retrancher respectivement les coefficients des termes effacés disposés à rebours, à commencer par le pénultième.

Si la série proposée avait pour fraction génératrice la fraction cidessus, mais dont le numérateur fût de plus multiplié par i -+- x, ce qui le rendrait un polynôme réciproque du degré i(v -+- p — i) -+- 1, on

trouverait par un raisonnement semblable que, pour débarrasser la série des termes irréguliers et conserver en même temps à sa fraction génératrice la même forme, il faudrait y effacer les p premiers termes, diviser les autres par x?, et retrancher ensuite respectivement des coefficients de ceux-ci ceux des termes effacés, disposés a rebours, à commencer par le dernier; c'est le cas de la seconde des deux séries (C) du n° 24..

Mais, si le numérateur de la fraction au lieu d'être multiplié par r -+- x devait l'être par i — x, ce qui est le cas de la première des mêmes séries (G), alors on opérerait comme dans le cas précédent, mais en changeant la soustraction en addition.

Enfin, si l'on avait le cas de la première des séries (D) du n° 25, où le numérateur de la fraction doit être multiplié par i — a-, il est facile de voir qu'après avoir effacé les p premiers termes, et divisé les autres par x?, il faudrait ajouter respectivement aux coefficients de ceux-ci, à commencer seulement par le second, les coefficients des termes effacés disposés à rebours.