FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER

Soient nommés :

r le rayon vecteur de l'orbite d'un satellite quelconque projetée sur le

plan de l'orbite de Jupiter; p la tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan; F la force que" Jupiter exerce sur le satellite à la distance 1 .

On aura la distance du satellite au plan de l'orbite de Jupiter égale à rp.

Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera r\Ji -\-p2.

Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers Jupi-

ter sera —. — ■ — -•

Cette force peut être regardée comme composée de deux autres : l'une

parallèle au rayon vecteur et égale à ,-; l'autre perpendiculaire

au plan de l'orbite de Jupiter et égale h • , •

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite a trois forces uniques, dont :

La première, que j'appelle R, soit parallèle au rayon r;

La seconde, que j'appelle Q, soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l'orbite de Jupiter;

La troisième, que j'appelle P, soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces

L__+1{, Q, -iL + P.

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le pian de l'orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

Cela posé, soient :

/ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement; œ l'angle décrit par le rayon r durant ce temps; l'élément du temps dt constant, c'est-à-dire, ddt = o.

On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan

de l'orbite de Jupiter, '-—■, d'où résulte la force centrifuge ' Jf} = —~,

laquelle étant retranchée de la force -j + R, on aura la véritable

r2(i-+-/92)2 force qui tend à diminuer le rayon r.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

dt' — „, * dp

Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire Q était nulle, le rayon /• décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l'on aurait, à cause de dt constant,

r7dy

mais la force Q fait parcourir perpendiculairement à r l'espace Qdt2 pendant le temps dt; donc le secteur - — ^ croîtra pendant ce temps de

i *-.< Qrdt* , .,,

la quantité -, par conséquent on aura I équation

d(r-dw) = Qrdl\

dont l'intégrale, en ajoutant cdt, est

r2dy = cdt -h dt ( Qrdt;

d<f = c+fQrdt dt r'

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l'orbite de Jupiter,

dHpr) Fp

dt* ~ i + r'

r2(i-hp2Y

ou bien

d'p idpdr pd2r Fp P

dt2 r dt2 r dt2 | r

d'où, en mettant pour — ,— sa valeur r rdt-

do2 F R

tirée de l'équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l'équation suivante

d2p d<s2 idpdr P — Ru

Les équations (A), (B), (C) donneront r, o et p en t, ce qui suffira pour faire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l'on voulait connaître la figure même de l'orbite qu'il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l'élément dt. Or de l'équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

dt —

i/c2-\- 2 /*Qr3rfcp

donc, si l'on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu'on fasse pour plus de simplicité - == u, on aura, en prenant df constant,

7, Fd+/>2f h-R'-2 + Q^d-u r da>

la) -, \- u -z — — -=o,

«?2 c2 -4- 2 f Q r3 da

if rrr-t-/J^-- 7 "-=0.

«?■ c2H-2/Qrsrf(p

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices P, Q, R soient nulles; on aura par l'équation (c)

df^r = °> .

dont l'intégrale est, comme on sait,

p = G sincp -+- H coscp,

ou bien

p = \sm(y — e),

X et s étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de p fait voir que l'orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités X, s, qui expriment, la première, la tangente de l'inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette

DES SATELLITES DE JUPITER. 7i

même expression de p, et supposons, à cause des forces perturbatrices, X et s variables ; on aura

dp= c?Xsin(cf> — e) -+- Xcos(<p — s)(d<p — de).

Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par X et e, il faut que la valeur de dp soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c'est-à-dire, que

dp = Xcos(9 — e)rf<p;

donc

e?Xsin(<j? — e) = Xcos(<p — s) de;

par conséquent, à cause de do constant,

d*p Ac/s

~ = — Asin 9 — e + -r—. — p-»

«92 sin <b — e «ai

c?2p Ide.

sin ( 9 — e )

On réduira ainsi l'équation (c) ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront X et e en <j>; d'où l'on connaîtra la variation de l'inclinaison de l'orbite et le mouvement de la ligne des noeuds. C'est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu'ici dans Ta recherche des orbites des Planètes; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude/? par une seule équation, d'autant plus que les quantités X et s s'en déduiront plus aisément; car, puisque

-, . , dp

p = /sin(9 — e), -f- = Acos(9 — e),

On pourrait faire une pareille transformation sur l'équation (a); ce qui réduirait l'orbite à une ellipse dont l'excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l'a pratiqué

par rapport à la Lune. En effet, si l'on suppose 3'abord

l'équation (a) devient

acp2 c2

dont l'intégrale, étant mise sous cette forme

U r = p cosf© — a),

donne une ellipse dans laquelle •= est le demi-paramètre, ~ l'excentricité, et u la longitude de l'apside inférieure. Qu'on regarde maintenant p et a comme variables, et qu'on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,

du = — p sin(9 — a) o?cp,

on trouvera

dp cos(cp — a) -h psin(ô — a) du = o,

d'u F pdat

e?<p2 c1 cos(a> — a)d<p

Ainsi l'équation fa) se réduira à deux équations du premier degré, d'où l'on tirera aisément p et a.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l'orbite de cette Planète; d'où il suit que,

si l'on nomme a la valeur moyenne de r, p. la valeur moyenne de ■—■>

c'est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu'on dénote par n un coefficient très-petit, et par x, y, z des quantités variables, on aura les expressions suivantes

r=a{i-\- nx), cp = \j. t -+- ny, p = nz,

où l'on remarquera que les valeurs de x et de -4- ne doivent contenir aucun terme constant; autrement a et p. ne seraient plus les valeurs moyennes de r et de -?-■> ce qui est contre l'hypothèse.

Suhsti tuons maintenant ces expressions de r, <p, p dans les équations de l'Article II, et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de n plus hautes que n2, parce qu'une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons; nous changerons d'abord l'équation (A) en celle-ci

— nu —j-r = — (i — ?.nx + 3n!^')(i — f n'z-) ■+- R

dt2

i „ dy dy2S

— a(i + nx) I f/2 -t- 2«p. -j- -+- n'-^—

bien

d-x. F /2F \ ?F ■ , dy

na , '+ — — «/j.- — 11 ( — — -l- <i[j.2 ) ^e -+- n2 — (3x2 — f z2! — ina[j.

/f2 a- \ a2 a2 r dt

dy dy-

• -7 rt2 « -r—

(/< dt'

Si « était = o, on aurait

— — flfr -+- R =: o;

donc, n étant très-petite, la quantité

a2 ' devra l'être aussi; de sorte qu'on pourra supposer

au.- -+- R = 11 — X.

Cette substitution faite, on divisera toute l'équation par na, et l'on aura, en mettant pour plus de simplicité /au lieu de — ,

d'x j, dy j,^ . y,o., a,x -- ty dy1

~dt

— (2/+/^) x — ïu. -j- -+-/X -+- nf{3x2 — ^z2) — 2np.x -fr

L'équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

Si n était = o, on aurait

[c fQ(i + nx)dtl h ^ I ( 1 — 2«,r + 3 ri*xa- a J

Qdt = au.— ^

supposons donc

l Q(i -h nx) dt = au. h «— Y;

on aura, après les réductions,

-p =. — 2(*^ "^yY -+- 3»f*àf* — -znfxY.

Enfin l'équation (C) se changera en celle-ci

/23 / e?r\ dzdx P — «Hz •

dt1 V dt j dt1 a{i-hnx)

et l'on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu'il faut que la quantité P soit très-petite de l'ordre n; c'est pourquoi nous supposerons

P — nRz F „