Ayant nommé, comme ci-dessus

les termes de la suite proposée, on en formera ces deux séries (24)

I (T— T) + (T' — "T)x-t-(T" — ™T) x~--h (T'" — -TT).r3-+-.. .,

ou bien ces deux-ci (n° 25)

[ T -+- (T' -+- "ï)x -h ( T" -+- *T)x> -+- (T'" + WT) x3 -{-..., (D)

I (T' — VT) + (T" — *T)x + (T'" + »T) a.-' + . . .;

ensuite on opérera sur une quelconque de ces quatre séries, suivant la méthode de la Proposition V, en ayant seulement attention (32) de prendre pour premier dividende, au lieu de l'unité, la quantité i — x si l'on choisit la première des deux séries (C), la quantité i + x si l'on choisit la seconde de ces séries, ou la quantité i — ar si l'on veut opérer sur la première des deux séries (D); mais, à l'égard de la seconde des séries (D), il ne faudra prendre que l'unité, comme à l'ordinaire.

On pourra donc trouver, par cette méthode, la fraction génératrice de la série, si elle en a une; et pour cela il faudra se souvenir de multiplier ensuite le numérateur de la fraction qu'on aura trouvée directement, par la même quantité qui aura servi de premier dividende, pour avoir la véritable fraction génératrice cherchée (numéro cité).

Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de l'une des deux séries (C) ou (D), il faudra chercher encore celle de la série compagne, et pour cela on pourra, si l'on veut, s'y prendre de la même manière; mais, comme on sait d'avance que ces fractions doivent avoir le même dénominateur, il suffira de chercher le numérateur de la nouvelle fraction, en multipliant la série correspondante par le dénominateur déjà trouvé, et ne prenant dans le produit qu'un nombre de termes moindre d'une

unité que celui du dénominateur; on pourra même se contenter de chercher ainsi les v premiers termes du produit (av H- i étant supposé le nombre des termes du dénominateur); car, comme on sait que les deux séries (C) doivent avoir pour numérateurs de leurs fractions génératrices des polynômes réciproques du degré 2v — 2 multipliés par 1 — x ou' par i-\-œ, il s'ensuit que la seconde des séries (C) aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2v — 1, et que la première aura pour numérateur un polynôme du même degré 2v — 1, dont les termes extrêmes, ainsi que les équidistants des extrêmes, auront les mêmes coefficients, mais avec des signes contraires, polynôme qu'on pourra appeler anti-réciproque ; de même, puisque la première des deux séries (D) doit avoir pour numérateur de sa fraction génératrice un polynôme réciproque du degré iv — 2, multiplié par 1 — x2, il est facile de voir que ce numérateur ne sera autre chose qu'un polynôme anti-réciproque du degré 2v; et, quant à la seconde des mêmes séries (D), elle aura naturellement pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2v — 2. D'où l'on voit qu'il suffira toujours de connaître la première moitié des termes du numérateur cherché, puisque les termes restants seront les mêmes avec les mêmes signes, ou avec des signes contraires. Sur quoi voyez encore ci-dessous la Remarque II (39).

Dès qu'on connaîtra les fractions génératrices des deux séries (C) ou (D), on pourra achever la solution du Problème, comme dans le numéro précédent; car il est visible qu'en faisant

on pourra mettre les deux fractions génératrices des séries (C) sous la

forme

et les deux fractions génératrices des séries (D) sous la forme i—x' V 1 (V)

■ x* Y i-hx* Y

V, (V) et Y étant des polynômes en y, dont les deux premiers seront du

degré v — i, et le dernier du degré v; et il est facile de se convaincre

que les fractions ^ et -rj- ne seront autre chose que les fractions géné- 1 Y Y '

ratrices des séries (I) et (Kj de la seconde solution; en sorte qu'en opérant sur ces fractions, comme nous l'avons enseigné dans cet endroit, on en tirera, pour l'expression du terme général T(m), les mêmes formules que nous avons trouvées à la fin de la Solution précédente, en remarquant que le premier des deux cas que nous y avons distingués répond à celui où l'on aura employé les séries (C), et que le second répond à celui où l'on aura fait* usage des séries (D).

Remarque I.

38. Nous avons dit, dans la seconde solution du Problème précédent, que les fractions génératrices des deux séries (I) et (K) doivent avoir le même dénominateur. Cela est vrai, en général, comme on peut s'en convaincre en relisant les nos 24, 25 et 26; mais il peut arriver que le dénominateur ait un facteur commun avec le numérateur d'une de ces fractions, auquel cas ce facteur s'évanouira de lui-même, et la fraction deviendra plus simple. Dans ce cas donc, si l'on multiplie par ce dénominateur l'autre fraction, on aura encore après la multiplication une fraction dont le numérateur sera le même qu'auparavant, et dont le dénominateur sera le facteur commun qui s'était évanoui dans la première fraction. Par conséquent cette fraction donnera aussi une série récurrente, mais dans laquelle il y aura au commencement autant de termes irréguliers qu'il y a d'unités dans le degré du polynôme par lequel elle aura été multipliée (17). D'où il est facile de conclure que, si après avoir trouvé la fraction génératrice de l'une des séries (I) ou (K) on multiplie l'autre série par le dénominateur de cette fraction, et qu'après avoir pris autant de ternies de ce produit qu'il y en a dans le multiplicateur, moins un, on trouve que les termes suivants ne sont pas nuls, ce sera une marque que la fraction trouvée est dans le cas

dont nous venons de parler; alors il faudra considérer ces derniers termes, et, après les avoir divisés par la puissance de y qui multiplie le premier d'entre eux, on cherchera de nouveau, par la méthode générale, la fraction génératrice de la série qui en est formée; on multipliera ensuite cette fraction par la puissance de j, par laquelle on avait divisé les termes de la série, et l'on y ajoutera les premiers termes dont on a parlé; on aura ainsi, après avoir réduit le tout au même dénominateur, une fraction qui, étant encore divisée par le dénominateur de la première fraction trouvée, sera la véritable fraction génératrice de l'autre série en question.

Remarque II.

39. Il est visible que la même difficulté, qui vient de faire l'objet de la Remarque précédente, pourra se rencontrer aussi dans la troisième Solution; et cela arrivera lorsque les termes du produit de la série par le dénominateur trouvé ne formeront pas un polynôme réciproque ou anti-réciproque, comme nous l'avons supposé dans cette Solution. Dans ce cas donc, il faudra chercher de nouveau la fraction génératrice de la série formée par le produit dont nous parlons; mais, comme cette série contiendra au commencement autant de termes irréguliers, moins un, qu'il y en a dans le dénominateur déjà trouvé, il faudra se débarrasser de ces termes par la méthode du n° 34. Voici donc comment on s'y prendra. Ayant trouvé la fraction génératrice de l'une des deux séries (C) ou (D), pour avoir celle de la série compagne, on multipliera cette série par le dénominateur de la fraction trouvée, et, retenant les premiers termes de ce produit, on retranchera des termes suivants ce qu'il faut pour qu'il en résulte un polynôme réciproque ou anti-réciproque de la forme et du degré dont devrait être. le numérateur de la fraction cherchée, si elle avait le même dénominateur que l'autre fraction. On divisera tous les termes de cette partie retranchée par la puissance de x qui en affecte le premier terme, et l'on opérera ensuite sur la série résultante comme on aurait opéré sur la série elle-même, si l'on en avait

cherché directement la fraction génératrice sans supposer son dénominateur connu.

Dès qu'on aura trouvé la fraction génératrice de la série en question, il n'y aura plus qu'à la multiplier par la même puissance de x, par laquelle on avait divisé auparavant tous ses termes, et à y ajouter ensuite le polynôme réciproque ou anti-réciproque dont on vient de parler; la fraction qui en résultera, après avoir réduit le tout au même dénominateur et multiplié de plus ce dénominateur par celui de la première fraction déjà trouvée, sera la fraction génératrice de la série compagne de la première.

Cette règle se démontre facilement par les principes du numéro cité; nous ne nous y arrêterons pas, d'autant que dans la pratique il parait beaucoup plus utile d'employer toujours la méthode directe pour l'une et l'autre série; car, quoique de cette manière le calcul devienne un peu plus long, il y a néanmoins cet avantage que l'opération qu'on fera sur la seconde série servira de preuve à celle qu'on aura faite pour la première, puisqu'il faut nécessairement que le dénominateur de la fraction génératrice de celle-ci soit le même que celui de la fraction génératrice de celle-là, ou qu'il en soit du moins un diviseur exact.

Conclusion.

40. Comme la troisième Solution mérite d'être employée de préférence, à cause de sa simplicité et de sa facilité, je vais, pour la commodité de ceux qui voudront en faire usage, récapituler en peu de mots les procédés qu'elle demande. Pour cela je distinguerai les deux cas qui répondent aux séries (C) ou (D), sur lesquelles on est libre d'opérer : ce qui fournira deux méthodes différentes de résoudre le Problème.

Première Méthode.

Soit T un des termes du milieu de la série proposée; T', T", T"', . . .

les termes suivants, et T, VT, ™T, ITT,... les précédents; on en formera d'abord la série des sommes

(T-f-vT)-l-(T'4-wT)a: + (ï" + "T)a:2+(T'"-l-"T)^ + ...,

et, pour rendre le calcul plus commode, on commencera par diviser tous les termes de cette série par son premier terme T +VT, que j'appellerai en général p, en sorte que la série résultante que je nommerai s ait pour premier terme l'unité.

Cette préparation faite, on divisera i — x par s, et, au lieu de i , on écrira d'abord i + x2 dans le quotient; ensuite, après la multiplication et la soustraction ordinaires, on continuera la division, et il viendra dans le quotient un terme de la forme qx; après quoi on aura un reste dont le premier terme sera de la forme p'x2.

On divisera ce resté par son premier terme/?' x2, pour avoir un polynôme dont le premier terme soit l'unité, et qu'on nommeras'; après quoi on divisera s par s', et, au lieu de i , on écrira de nouveau i + x2 au quotient; ensuite, continuant la division comme à l'ordinaire, on aura dans le quotient un terme tel que q'x, et il viendra un reste dont le premier terme sera de la forme p" x2.

On divisera donc aussi ce reste par son premier terme p"x2 , et l'on désignera le polynôme résultant par*"; on divisera maintenants' pars", en écrivant d'abord au quotient i -\- x2 au lieu de i ; on continuera la division, et l'on aura dans le quotient un nouveau terme de la forme q"x; ensuite de quoi le reste aura pour premier terme p'"x2 .

On opérera sur ce reste comme sur les précédents, et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste qui soit exactement ou à très-peu près nul; dans le premier cas, on aura une solution exacte; dans le second, on n'en aura qu'une approchée.

Maintenant, soit n le nombre des quotients trouvés, en sorte que l'on ait les deux suites de nombres

p, p', p", p'",..., /?(",), et q, q' , q", q'",..., </<"-');

vi. 74

on fera

ty''= (1 -+■ q(n-2) y) ty' -)- p*-"-') y2 <li ,

= 1-4- (gC-') +g(»-2))j+(ç("-')?(»-=) +p(n-0)j%

i|/"=: ( 1 -t- q("~~3)y) 41" ■+- p<-"~Vy* <b' ,

= 1 4- (gl*"0 + g(»-»J + qC-t) )y + i g<»-0 g('-=) + g(»-0 g(»->) 4- tf<"-2J Ç(<"-!) j j' + (q(."-''q("-Vq("-3> + q(<—Op(.<-*) -+- q(«-Vpi»-i))y>,

t];(">= (1 ■+- (jf^-Ji]/"-'' ■+" J»'/2^

Et l'on considérera la fraction *-t^,— ) dont le dénominateur d/"' sera

toujours un polynôme en y du degré rc, dans lequel le premier terme sera l'unité; en sorte qu'il pourra être résolu en n facteurs simples de la

forme

1 — 55 y, 1 — py,

On cherchera donc ces facteurs par les méthodes connues, et ensuite on décomposera la fraction elle-même en autant de fractions simples,

telles que

1 — isy 1 — py

Ces opérations achevées, on reprendra la série proposée, et l'on en formera la série des différences

(T — T)+ (T — vT)x + (T" — WT)^+ (T'" — "T)*3-f-. . .,

qu'on traitera de la même manière qu'on l'a fait à l'égard de la série précédente des sommes, avec cette seule différence que, au lieu de prendre 1 — x pour premier dividende, il faudra prendre maintenant i -+- x.

En suivant donc les mêmes procédés, on parviendra aussi à une fraction telle que " ' (,0 ? dont le dénominateur (|)(n) devra être exacte-

ment ou à très-peu près le même que celui de la fraction trouvée d'après la première série; ce qui pourra servir de confirmation à la bonté du calcul. Ainsi on pourra décomposer pareillemenî cette dernière fraction en n fractions partielles de la forme

i — us) i — py Ayant trouvé de cette manière les valeurs des quantités m, p,..., F, G,..., (F), (G),. .., il n'y aura plus qu'à faire

cosa=-> tanga= — — , A = - » / F2 sec2 - -M h 2 cosec2

F) cot F tang-

cos(3=^, tango =- — - -, B=-t/

(G)cotB-Gtang£

G2 séc2 - -4- ( G)2 coséc2 - ■

et l'on aura pour le terme général T(m) de la série proposée l'expression

TW = Asin(a-t- ma) -+- Bsin(6 -f- m(3) -t-

Seconde Méthode.

On formera d'abord la série des sommes

et l'on opérera sur cette série suivant les mêmes procédés prescrits cidessus, en ayant seulement attention de prendre i — x- pour premier dividende. On trouvera ainsi les fractions partielles

i — jsy i — py On formera ensuite cette autre série des différences

et, la traitant de même que la précédente, mais en prenant simplement l'unité pour premier dividende, on obtiendra pareillement ces fractions partielles

ensuite on fera

Wy , py.

2F sina

ta„ga=___.

a P 1 2Gsin(

cosp = !-» lango :

4 sin2a

+ (G)2 4 sin!(3

et l'on aura, comme ci-devant,

T("» = Asin(a + ma) -+- Bsin'6 -+- m(3) +

Exemple I.

41. Pour montrer l'usage des méthodes précédentes, par un exemple relatif à l'Astronomie, je prendrai la Table de l'équation du temps de Mayer (Tabulée solares, etc., p. 111), dont la marche est assez irrégulière, et, supposant qu'on ne me donne qu'un certain nombre de termes de cette Table pris à des intervalles égaux, je me propose de trouver la loi de ces termes, et de connaître par là la formule générale d'après laquelle la Table est formée.

Supposons que les termes donnés soient ceux qui répondent à

os, 2S100, 4S2o°, 7s, gSio0,...,

dont l'intervalle constant est 2sio°, et, réduisant les minutes en secondes, on aura la série des nombres suivants [voirie Tableau ci-contre, première case)

dont il s'agira de trouver la loi.

ST " + I f

So 00 Cl I Cl

2 ai - -

Cl Cl Cl Cl Cl Cl

Cl Cl Cl O O Cl

CO ro î£> O Cl

vr O «D ^ Oit

Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl

00 O O vtO

v--CO « » ~1 o

o> O O Cl Cl

o inc n o

Cl 00 O Ci O

-o-oo-o-

1 00 m pi tO

Cl o

•£" fi.

iti

O) Os

Oï

-; eu

% Si %

fi >i

OO 00 cV ^c

r~" ï- CC

"*i "fi