PROPOSITION VI
Problème.
Etant donnée une suite de nombres dont la loi de la progression soit inconnue, on propose de trouver si chaque terme de cette suite peut être représenté par la somme d'un certain nombre de sinus d'angles qui varient d'un terme à l'autre par des différences constantes quelconques, chacun de ces sinus étant d'ailleurs multiplié par un coefficient constant quelconque.
Les principes posés ci-dessus fournissent différentes manières de résoudre ce Problème.
Première Solution.
35. De ce que l'on a démontré dans les nos 5 et 6, il s'ensuit que, pour que la suite proposée soit de la nature dont il s'agit, il faut qu'elle soit récurrente d'un ordre pair, et que de plus la fraction génératrice ait
pour dénominateur un polynôme réciproque d'un degré pair, lequel soit résoluble en facteurs trinômes de la forme
i — ix cosa -+- x-, i — ix cos(3 -+- x*, . . . .
Ainsi, pour résoudre le Problème proposé, il n'y aura qu'à faire usage de la méthode générale de la Proposition II, et chercher par son moyen la fraction génératrice de la série. Celte fraction, si la série en a une, étant trouvée, il n'y aura plus qu'à voir si elle a pour dénominateur un polynôme qui ail les propriétés dont nous venons de parler: c'est de quoi on pourra s'assurer aisément par les formules du n° 6; car, d'abord, il faudra qu'en égalant le dénominateur à zéro on ait une équation réciproque de la forme
ensuite il faudra que la transformée
ait toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre les limites — i et + 2. On trouve, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, pour les années 1767 et 1768 (*), des méthodes directes et faciles pour reconnaître si cette condition a lieu, et pour trouver en même temps la valeur de chaque racine aussi approchée que l'on veut.
Supposons que ts, p, a,... soient les racines dont nous parlons; on fera
cosa=— ? cosp=-5 C0S7=->-1-»
et l'on en conclura sur-le-champ que le terme général T(m) de la série proposée sera de la forme
A sin(a + mot.) + Bsin(6 +/wj3)-t-Csin(c + /wy)-i-...,
m étant l'exposant du rang, et A, B, C,..., a, b, c,... des constantes qu'on déterminera aisément par les méthodes connues.
(*) OEuvres de Lagrange, t. II, p. 53g et 58 1 .
En effet il est clair, par les formules du n° 6, que le dénominateur de la fraction génératrice aura alors pour facteur les trinômes
i — 2 x cos a -+- x1, i — 2 x cos (3 4- x-, . . . ,
en sorte qu'on pourra, par les méthodes connues décomposer cette fraction en autant de fractions partielles, telles que
F + Ga7 B-hlx
I — 2XCOSCX-hX: I — 2^COS(3-)-X:i
Or on sait, et il est d'ailleurs très-facile de démontrer que toute fraction de la forme
I — 7.x COS a -+- x2
donne une série dont le terme général est sin(m + i)«
donc la fraction
F+ Gx
i — zx cosct.-\- x*
produira une série qui aura pour terme général la quantité
F sïn{m -+- 1) a -+- G sinma sina
mais
sin (m -l- i) « = sinma cos a -+- cos m a sina;
donc, si l'on fait
„ . . Fcosa-f-G
F = A sina, — — : = Acosa,
sina
et par conséquent
F sina J¥ 2 + 2FGcosa-+-G'
langa = T -^i A = -x :
Fcosa + G Sina
le terme géuéral de la série provenant de la fraction
i — ix cosa -f- x1
se réduira à la forme
A sin(a -+- ma) x'".
Ainsi l'on connaîtra les valeurs des constantes A et a, et l'on déterminera de même celles des constantes B et b, à l'aide des quantités H, I, et sinj3, cos|3; et ainsi des autres.
Deuxième Solution.
36. Puisque la question est de savoir si la suite proposée résulte d'une fraction génératrice, dont le dénominateur soit un polynôme réciproque d'un degré pair 2v, supposons que cela soit ainsi, et il est clair qu'on aura dans ce cas (n° 24)
P=II, n = 2v,
par conséquent
D'où il s'ensuit que chacune des séries transformées du n° 26 sera de l'ordre a(2v — v) = 2v, c'est-à-dire, du même ordre que la proposée; en sorte que, par la méthode de la Proposition IV, on pourra les transformer de nouveau en d'autres qui ne seront que de l'ordre v, et par conséquent d'un ordre moindre de la moitié de celui de la série proposée; moyennant quoi la recherche de la fraction génératrice deviendra beaucoup plus simple et plus facile.
Soit donc T un des termes du milieu de la suite proposée, et soient
les termes qui suivent celui-là,
T, WT, "T, . . .
ceux qui le précèdent. On formera, par les formules du n° 26, les deux
séries transformées (E) et (F), ou bien les deux autres (G) et (H), qu'on représentera, comme dans le numéro cité, de cette manière
t -h t' x + t" x2 -t- rx'-h tivx( + . . ., (/) 4- (t')x -+- (t")x2-h (t"')x*-h (t1")xi+...;
ensuite on transformera, par les formules du n° 27, ces deux séries dans ces deux-ci
(K) (d)-h (Q')r + (9")r> + {e'")y3+-{e^)ri-h...,
et l'on opérera sur l'une ou l'autre de ces deux dernières séries, suivant la méthode de la Proposition II, pour trouver sa fraction génératrice, si elle en a une. Cette fraction étant trouvée pour l'une des deux séries dont il s'agit, il sera facile d'avoir la fraction de l'autre série, puisque les deux fractions génératrices doivent avoir le même dénominateur (sur quoi voyez la Remarque I, au n° 38), car la difficulté ne consistera qu'à trouver le numérateur de la fraction inconnue; et pour cela il est clair qu'il n'y aura qu'à multiplier la série elle-même par le dénominateur déjà trouvé, et prendre pour numérateur autant des premiers termes de ce produit qu'il y en a dans le. dénominateur, moins un, les termes suivants devant d'ailleurs s'évanouir d'eux-mêmes, ce qui peut servir de confirmation à la bonté du calcul.
Connaissant ainsi les fractions génératrices des deux séries (I) et (K), il faudra examiner d'abord si leur dénominateur commun, étant égalé
à zéro, donne, en y faisant y = -, une équation en z de la même nature que celle du n° 35, c'est-à-dire, dont les racines soient toutes réelles inégales, et comprises entre les limites 2 et — 2, en sorte qu'on puisse les supposer égales à
2Cosa, 2cos(3, 2cosy,...,
auquel cas on pourrait décomposer les fractions dont il s'agit dans les VI. 73
fractions partielles
i-2jcos« i — 2/cosp i— 2/cosy
i — iy cos a i — 2 y cos (3 i — 2 j cos y
On mettra ensuite dans ces fractions j^—, a la Place de^' et on les di" visera par i + x2, ce qui les changera en celles-ci
i — 2^cosa + x2 i — 2 x nos (3 + a;2 i — 2.r cosy -H #2
i — 2a; cos «-i-^2 i — axcosp -t- a:2 i — ix cosy + a;2
qui seront par conséquent égales aux séries
t -4- l'as + t" x2 ■+■ t'"x3 ■+■ . . . ,
Il faut maintenant distinguer deux cas, suivant que ces séries répondent aux séries (E) et (F), ou aux séries (G) et (H) du n° 26.
Dans le premier cas, il n'est pas difficile de voir que si l'on multiplie
la série
par i — x, et la série
par ï -t- x, et qu'on les ajoute ensemble, il en résultera celle-ci
il ->r- iT X + 1.T' X2 + 2T"'*3-t-
On aura donc dans ce cas
T+T'*H-r*'+rv+T"*'+...= ,a a;BC08g^ h- "^co^lx, +-;
d'où l'on tirera aisément l'expression du terme général T(m), comme dans la solution précédente.
Dans le second cas, la série
t -h l' X -\- l" X* -t- t'" xz -h ... ,
étant multipliée par i — x- et ensuite ajoutée à la série
multipliée par x, donnera celle-ci
T -+- 2 T' x -+- i T'x2 -t- sT'"^-)-. . . , en sorte que l'on aura
2 1 — •ï.xcosa-^x2 2 1 — 2 .r COS p ■+- a;2
Or, si l'on fait dans cette équation x = o, on a T F G
Donc, ajoutant cette équation à celle-là, il viendra
T-hl'x-\-T"x2-h T"x*-h Tlvx' -(-...=
F-f-[>(F)-Fcosz].r G-h[i(G) — Gcos(3].r
I — ixcosa-h-x2 i — 2,zcOS(3-l-.r:'
d'où il est facile de trouver, pour le terme général T{m), l'expression
Fcosma H -T-?— sinma -+- G cosmS H : — ■= sin/nfi -4- . . . ,
asina asinp
qu'on réduira aisément à la forme
k sin(a -h me -t- R sin(b -t- m(3) -f-. . ., en faisant
2Fsina . /„ (F)2
tanga= — -=- — , A=l/li'+/,
(i) y 4sm a
4sin2(3
, 2Gsin(3 /r,
tang6=-(G) ' B = V
Troisième Solution.
