DES PLANÈTES
d'où
a = ce
fin ,
c'est-à
-dire,
et ces valeurs sont aussi plus conformes à la vérité que celles qu'on a trouvées dans l'Exemple II, comme on le verra ci-après.
Remarque II.
44. Pour pouvoir maintenant juger de l'exactitude des résultats précédents, il faut réduire en formule la Table de l'équation du temps d'où la série proposée est tirée.
Pour cela je remarque que l'équation du temps n'est autre chose que la différence entre la longitude moyenne du Soleil et son ascension droite, convertie en temps à raison de i5 degrés par heure. Or soient <p la longitude vraie du Soleil, t la longitude moyenne, x l'ascension droite vraie, a le lieu de l'apogée, e l'excentricité du Soleil et w l'angle de l'obliquité de l'écliptique; on aura d'abord, comme l'on sait,
ecos(9 — a)]2
et ensuite
tangx = cosw tangep ;
ainsi il n'y aura qu'à déduire de ces formules les valeurs de t et a? en <p, et la différence #—£ (laquelle ne contiendra plus que des cosinus d'angles multiples de <p), étant multipliée par l'arc égal au rayon, lequel est 570 1 7'44"> et divisée ensuite par 1 5 degrés, donnera la valeur de l'équation du temps en heures, pour la longitude 9 du Soleil; par conséquent,
si l'on multiplie la valeur de x — t par — 1~^> dont le logarithme est
4, 1 383338, on aura l'équation du temps en secondes de temps, comme nous l'avons employée dans les Exemples ci-dessus.
Je commence par chercher la valeur de t, et, pour y parvenir d'une manière générale, je remarque que l'on a
dy , I n sin y \ (i — ra2 ) dy
i — n cos y \i — ticosyj (i — n cosy)2 '
d'où il s'ensuit que
Ç {i-TûYdy ÇJi-n J (i — recosj)2 ~J i — «c<
dy ny/i — ri1 sinr cos y i — n cosy
Or on sait que la fraction ^'~ — se réduit en une série de la forme 1 i — ncosy
i -i- 2 K cos y -+- i K.2 cos iy + 2 K3 cos 3 y -t- . . . ,
en faisant, pour abréger,
K i — y/i— n\ n ainsi l'on aura :
i° En multipliant par dy, et intégrant,
Ji—n2dy rr . îK' . 2K1 . , — y -+■ 2 K sin y -1 sin iy -i — sin 3 y
1 — n cos j 2 - 3
20 En multipliant par nsiny,
wi/i — «2sinr , „., , . „ . „ . „
— ï =- = w(i — K2) (sinr 4- h. sin 2 r -t- K2sin3r-t- . .);
1 — n cosy J ' J
donc, réunissant ces deux séries, on aura '
/ + [2K + «(i- K2)] siirr -h ~ + n{i— K2) Ksin2j+ ~ 4-/2(1— K2) K2 sin 3j -<- . . .
pour la valeur de l'intée;rale 1 7^ — - — ~^-- 1 J {i — ncosy}2
Maintenant il est visible que l'on aura la valeur de la longitude
moyenne t, si l'on met dans la série précédente e à la place de n, et ç, — a à 1 a place de y, et qu'ensuite on y ajoute la constante a, qui est la longitude de l'apogée; on aura donc, en faisant
e i -i- \ji — e-
et observant que
on aura, dis-je, cette formule
/ = cp-i-2esin(cp— a) + 2 I e ) Ksiii2(cp— a) -1-2 1 e— -=- ) R2sin3(cp — a)-h....
Il ne reste donc plus qu'à trouver la valeur de l'angle x exprimée par une formule semblable; or l'équation
tangx = cosw tangcp donne celle-ci
, cosco rftangcp coswcfy 2COswrfq>
" 1 -h cos'c.) tang-cp cos2<p + cos2cosin2<p 1 -t- cos'w -1- sin'2&.> cos2cp'
de sorte qu'en faisant, pour abréger, A =
