De ces trois équations je tire celles-ci

xd'y — rd2x ,. ,r xd2z — zd2x . „ yd2z — zd2y ,,

J— j-: = Xy — Yx, f- = Xz — Zx, • t- ,— =Yz — Zr,

dt2 J dt2 dt'

lesquelles, étant multipliées par dt et ensuite intégrées, donnent, en faisant, pour abréger,

P=f(Yz — Zy)dt, Q=f(X2 — Zx)dt, R=f(Xj — Yx)

dt,

ces trois autres-ci

x dy — y dx x dz — z dx y dz — z dy

^~dt ' ~~dt U' dï~ ~ - ;

d'où je tire sur-le-champ cette équation finie

Vx — Qj-t-Rs = o.

3. Si les quantités P, Q, R étaient constantes, ou du moins dans des rapports constants entre elles, il est visible que cette équation serait celle d'un plan fixe passant par le point qui est l'origine des coordonnées x, y, z, et dont la position dépendrait des mêmes quantités P, Q, R. Et il est très-aisé de démontrer que, dans ce cas, l'intersection du plan dont il s'agit avec celui des coordonnées x et y, c'est-à-dire, la ligne des nœuds de ces deux plans, fera, avec l'axe des abscisses x, un angle dont

la tangente serait j=p et que l'inclinaison mutuelle des mêmes plans

serait égale à l'angle qui a pour tangente - — n — -•

4. Or les quantités P, Q, R ne peuvent être constantes qu'en taisant leurs différentielles nulles, ce qui donne

Yz — Zy=o, Xz — Zx = o, Xy — Yx = o;

d'où l'on tire

X = II.r, Y = Uy, Z = Ilz,

II étant une quantité quelconque; ce qui fait voir que les trois forces X, Y, Z se réduisent a une seule égale à

II s/x2+y2-h z2,

et toujours dirigée au point fixe qui est l'origine des coordonnées.

Mais, si l'on veut seulement que les rapports de ces quantités soient constants, en sorte que l'on ait

P = mR, Q = «R

(m et n étant des coefficients quelconques), alors il faudra que l'on- ait ces deux équations

Yz — Zy=m(Xy — Yx), Xz — Zz = ra(Xj — Y*}.

Or, si dans l'équation

Px — Qj-t- R? = o

on met à la place de P et Q leurs valeurs ci-dessus, elle devient

mx — ny -+- z = o,

et si ensuite on substitue dans les deux équations précédentes ny — mx au lieu de z, on trouve qu'elles se réduisent à celte équation unique

mX — n¥ + Z = o.

On aura donc, entre les forces X, Y, Z, une équation semblable à celle qui doit être entre les coordonnées x, y, z, et de là on conclura aisément que ces forces doivent être telles que leur résultante soit toujours dirigée dans le même plan qui est représenté par les coordonnées dont il s'agit : c'est ce qui est d'ailleurs de soi-même évident; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile de le déduire aussi de nos formules.

5. Voilà donc les seuls cas dans lesquels un corps puisse se mouvoir dans un plan fixe; dans tout autre cas, c'est-à-dire, lorsque l'équation

raX-«Y + Z = o

n'aura pas lieu, le corps sollicité par les forces X, Y, Z décrira nécessairement une courbe à double courbure.

Cependant, si l'on fait attention que les trois équations différentielles du n° 2, d'où l'on a tiré celle-ci

Px — Q >■•-+- Rz = o,

donnent également cette autre-ci

Pdx — Qdy + Kdz = o,

qui n'est autre chose, comme l'on voit, que la différentielle de celle-là, dans la supposition où les quantités P, Q, R seraient constantes, ou au moins dans des rapports constants, on verra que, quoique les rapports

de ces mêmes quantités ne soient pas justement constants, ils pourront

néanmoins être regardés comme tels pendant que le corps parcourt les

espaces infiniment petits dx, dy, dz; d'où il suit que le plan représenté

par l'équation

Px — Q7-I- Rz = o

sera celui dans lequel le corps se meut dans l'instant où il décrit ces

espaces infiniment petits; mais la position de ce plan, au lieu d'être

fixe, changera d'un instant à l'autre, à cause de la variabilité des quan-

,v P Q t.tes r r

6. Nommant donc w l'angle de la ligne des nœuds avec l'axe des abscisses x, et Q la tangente de l'inclinaison du plan de l'orbite avec celui des coordonnées x et y, on aura, d'après les déterminations du n° 3, ces formules fondamentales

P 0 \/P2 + Q2 tangw=Q' 9= g ,

qu'on peut réduire à celles-ci

0sin&>=:=-> 9 cos « = =- • a. H

7. Puisque, dans l'Astronomie, on a coutume de représenter le mouvement des planètes par les longitudes et les latitudes, nous supposerons que le plan des coordonnées x, y soit celui de l'écliptique, en regardant l'écliptique non pas comme l'orbite réelle de la Terre, mais comme un plan fixe qui passe toujours par les mêmes étoiles, et nous prendrons l'axe des a? pour la ligne des équinoxes, ou plutôt pour la ligne qui passe par le premier point d'Anes supposé fixe, duquel nous compterons les longitudes; nous nommerons ensuite q la longitude du corps, p la tangente de sa latitude, et r le rayon vecteur projeté sur l'écliptique; il est visible qu'on aura

x=rcosq, y=rs\nq, z = rp,

ce qui, étant substitué dans l'équation

Px — Qy + Rz = o,

donnera celle-ci

P cosq — Q sinq -t- Rp = o,

laquelle servira à déterminer/?.

Si, de plus, on met dans cette équation pour P et Q leurs valeurs RO sincù, R9 cosoo (6), on aura, en divisant par R et réduisant,

p = 6 sin(q — w),

équation qu'on peut aussi tirer immédiatement de la Trigonométrie sphérique.

8. Pour rendre nos formules plus simples et plus commodes pour le

calcul, nous ferons

5=5sin&3, h = 6 cosgù,

ce qui donnera (numéro précédent)

p = usinq — s cosq,

et les deux équations du n° 6 deviendront

Rs=P, R2< = Q,

lesquelles étant différentiées pour faire disparaître les intégrations des quantités P et Q deviendront celles-ci

ds dR KTi+Ws = Yz-Zr>

du. dR

R —. — — =— u = Xz — lx, dt dt

équations qui serviront à déterminer les deux variables s et u, d'où dépend la solution du Problème. En effet, ces deux quantités étant connues, on aura sur-le-champ le lieu du nœud et l'inclinaison par les formules

tangw=-> 8 = )/s*-+- u2.

Pour faire usage des équations précédentes, il n'y aura qu'à y substituer à la place des quantités x, y, z leurs valeurs

rcosq, rsinq, rusinq — rscosq;

et, comme dans la recherche du mouvement des nœuds et de la variation de l'inclinaison on peut regarder l'orbite projetée sur l'écliptique comme déjà connue, du moins à très-peu près, les quantités r et q seront données en t, et il ne restera d'inconnues que s et u.

Il est bon de remarquer encore; à l'égard de la quantité R, qu'elle est

égale à —jj-> qui est ce que devient la quantité x y ~7r x ■> en y substituant, pour a? et y, leurs valeurs ci-dessus, de sorte qu'on pourra regarder aussi cette quantité R comme déjà connue.

9. Tous les Géomètres qui se sont occupés, jusqu'à présent, de la recherche du mouvement des nœuds et des variations de l'inclinaison des orbites planétaires, ont cherché immédiatement les valeurs de la tangente 6 et de l'angle eo; leurs formules sont faciles à déduire des précédentes, mais nous ne nous y arrêterons pas, parce que d'un côté elles sont très-connues, et que de l'autre elles sont peu propres à la recherche dont il s'agit lorsqu'il est question de déterminer à la fois les mouvements des nœuds et des variations des inclinaisons de plusieurs planètes qui s'attirent mutuellement. [Voir plus bas (23).] C'est par cette raison que, dans les essais que j'ai donnés ailleurs sur la Théorie des satellites de Jupiter et de Saturne, j'ai fait abstraction des nœuds et des inclinaisons des orbites, et je n'ai considéré que les tangentes de la latitude (*); mais la méthode que nous proposons ici est préférable, parce qu'elle conduit à des équations beaucoup plus simples et plus faciles à résoudre.

(*) OEuvres de Lagrange, t. I, p. 609, et t. VI, p. 67.

Article II. — Application des formules précédentes a la recherche du mouvement des nœuds et des 'variations des inclinaisons des orbites des planètes.

10. Il faut commencer par chercher les valeurs des forces X, Y, Z, qui agissent sur une planète quelconque T, en vertu de l'attraction du

Soleil S, et des autres planètes T,, T2, Pour cela nous regarderons le

Soleil comme immobile, et nous le prendrons pour l'origine des coordonnées qui déterminent la position de chaque planète par rapport à l'écliptique; nous nommerons ces coordonnées x, y, s pour la planète T; x,, y,, z, pour la planète T, ; #2, y2, z2 pour la planète T2, et ainsi des autres, et nous désignerons, pour plus de simplicité, les distances de ces planètes au Soleil par (TS), (T,S), (T2S)„..., et celles des mêmes planètes entre elles par (TT, ), (TT2),..., (T,T2),..., de sorte que l'on aura