L(ÏS)3 (TT,)3 (TT2)3 JJ 'L(T,S)3 (TT,)3 KI+ 2|(T2S)3 (TT2)3J

\jJSf + jTTj3 + (TV + ' " J 3 +T|L(T7S7 ~~ (TT^VJ Z' +1"2 L(t7S? ~ (TT^J32 +-'' et par conséquent

Yz ~ z-r = T< [(îTsp - (TTT3] (r'z rZ|) + Tz [{îTs? (tt")3] tr,*-^) +■ ■ • ,

Xî ~~ Zj = Ti L(î7s? ~ (ttj3 J {x>z~xz,) + T2 [(TW (W3 J '

Lr, z — .rz,

12. On substituera donc les quanlilés précédentes dans les deux équations du n° 8; ensuite on mettra à la place de œ, y, z leurs valeurs

rcosq, rsinq, r(usiïiq — s cosq),

et à la place de x{, y,, s, les valeurs analogues

r, cosçr,, r, s'mqt, r,(«, sinq, — s, cosçr,),

et ainsi des autres, en supposant généralement que les mêmes lettres, sans indice, ou avec l'indice i, ou 2,..., représentent les mêmes quantités relativement à l'orbite du corps T, ou du corps T,, ou du

corps T2 On aura donc, en développant les produiCs des sinus et des

cosinus,

r,z — rz,= ^-i(u — Ul)[cOs(q — r/,) — COS(q-i-ql)]-t-7^-{s-i-.'!i)sm[q — ql)—-^{s — .<!l)sin[(J-hr/l),

x,z — .rz,= (s — st)[oos(q — q,)-t- 008(17 + 17,)] h ■ (« + «,) sin (17 — q{) -+- — ! (« — »,)sin(7 -t-</,),

et ainsi des autres quantités semblables. Ensuite on aura (10)

(T S) = r y/i -+- [u sin<7 — s cosq )2,

(T,S) — r,^i ( (M| sing, — s, cos<jr,)%

(TTi) = \lr2 — 2/r, cos{q — q,)-\- r; + (rusïnq — rs cosq — r,«, sin</, -+-r,s, cosq,)\ ( TT2) = y/''2 — 2 rr, cos [q t- qj -t- r] + ( ru sinq — rs cos q — r, «2 sin q2 -t- r-,s. cos q2)2,

13. On remarquera maintenant que, comme les orbites des planètes sont fort peu inclinées à l'écliptique, les quantités 6, Q,,..., et par conséquent aussi les quantités u, s, u,, *,,... (8) seront nécessairement des quantités très-petites; de sorte qu'on pourra, du moins dans le premier calcul, négliger les termes affectés de ces quantités dans les expressions des distances (TS), (T,S),...; l'erreur sera même d'autant moindre que les quantités à négliger sont très-petites du second ordre.

Les équations du n° 8 deviendront donc par toutes ces substitutions et réductions

n ds rfR T.rr

dt dt 2 1/

|>2 — in\ cos(y — q{) -+- r2]2 / x[(« — «,)cos(y — q[)-h(s-hsl)sin(q — y,) — (u — «,) cos(y + y,) —(*—*,) sm (y -t- g,)]

T2 rr2/i

[r2 — irr2 cos(y — y2) -+- r2]2 X[(u—u2)cos(q — q2)-i-(s-)-s2)sm(q — q2) — (u — u2)cos(q-i-g2) — (.1 — S2)sm(q + q2)']

„ du dK T, rr, / i

dt dt i I H

[r2 — 2/r, cos(y — 7,) + /-2]2 x[— (s — .f,)cos(y — y,) -H («-+-«,) sin(y — y,) — (s — s,) cos(r/+ (7,)-!- (;; — «,) sin(r/ + 7,)]

[r2 — 2/7-, cos(y — y2) -t- r2,]2 x [ — ( .t — .?2) cos (y — y2) + (« + k2) siu (y — y2) — (s — s2) cos (q -t- y2) -t- (m — ;«,) sin (y h- y,)]

14. De plus on pourra regarder, du moins dans la première approximation, les orbites comme circulaires, et par conséquent les rayons r, r{, /,,... comme constants, et les angles q, q,, q*,... comme proportionnels au temps, en sorte que l'on ait

q = p.t, qx = y.{t, q, = fx2t, ...,

a, p.,, fJt,2, • • • étant des constantes telles que \xt, \xKt, [j.2t, . . . soient les mouvements moyens des planètes T, T,, T2,... qui répondent au temps t.

Donc, comme (8) R = '—j^--> on aura, dans cette hypothèse, R = p./*2,

et de même R, = \>.tr\, R2 = /x2 r\,...\ de sorte que ces quantités seront aussi constantes.

Enfin on sait que la quantité rompue et radicale

3^ [r2 — in\cos,(q — q,) -+- r2] 2

peut se réduire à une expression de cette forme

(r, /•,) -h{r, r,), cos(<jr — g,) -I- (r, r,), cosz(q — g,) -l- (r, r,)3 cos3(g — 9,) -t- . . . ,

où les coefficients (r, r,), (r, r,),, (r, r,)2, (r, r, )„,... sont des fonctions de r et r,, qu'on peut trouver par différentes méthodes connues; de même la quantité

[r2 — 2rr2cos(q — gr2) + »•{] 2

se réduira à la série

(r. /•,) -l- (r, r2), cos(q — g2) -t- (r, r2)2 cos2(g — g,) -+- {r, r2)3 cos3(g — g2) -t-. . . ,

et ainsi des autres quantités semblables.

Donc, si l'on fait ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, et qu'on sépare les termes qui contiennent les variables s et u, sans aucun sinus ou cosinus, de ceux où ces mêmes variables sont multipliées par des sinus ou cosinus, on aura deux équations de cette forme

ds T,r,(r, r,), . , T2r2(r, r2), .

dt [\\j.r 4^''

du T, r,(r,.r,), . , Tar2(r, r2),, . llr

dt 4fjir 4,ar

dans lesquelles les quantités II et W dénotent la totalité des termes qui contiennent les variables u et s mêlées avec des sinus ou cosinus.

On aura des équations semblables pour chacun des autres corps T(, T2,...; il n'y aura pour cela qu'à marquer de l'indice 1, ou 2,... les lettres qui n'en ont aucun, et d'effacer en même temps ceux des lettres qui sont marquées à la fois de l'indice 1 ou 2,

15. Pour intégrer les équations précédentes, on commencera par négliger les quantités IT et W, et l'on aura des équations linéaires en u, s, u,, s,,..., qu'on pourra intégrer par les méthodes connues; ensuite on substituera, si l'on veut, ces premières valeurs de u, s, mm. .. dans les différents termes des quantités II et W, et l'on intégrera derechef, et ainsi de suite; or, comme dans les quantités II et W il n'y a aucun terme

qui ne soit multiplié parle sinus ouïe cosinus d'un de ces angles q, qK,

q ± q , il est clair que ces quantités ne pourront produire dans les

valeurs de s et de u que des inégalités dépendant des lieux des planètes dans leurs orbites; de sorte que, lorsqu'on voudra faire abstraction de ces sortes d'inégalités et chercher uniquement les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons en tant qu'ils sont indépendants des mouvements mêmes des planètes dans leurs orbites, on pourra rejeter d'abord les quantités dont il s'agit, ce qui rendra les équations différentielles en s, u, s,, u,,... très-simples et très-faciles à intégrer. C'est ainsi que nous en userons dans la suite de ces Recherches, dont l'objet n'est que de déterminer la loi des équations séculaires des mouvements des nœuds et des inclinaisons des orbites planétaires.