Supposant donc, pour plus de commodité
4fxr 4p.r
Tr(r„r), T, r2(rt,r2),
Tr(r„ r), T, rt{r2, r,),
4fs'"2 4^2 r2
et ainsi de suite, on aura les équations suivantes
dt
-jj — (O, l)(* — *0 — (O, 2)(i — St)
ds,
dt
dits HT
ds,
+ (2,0) (M2 — W) + (2, 1)(U2— Us) Ul
du.
dt
Ci8 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES
C'est par l'intégration de ces équations qu'on pourra parvenir a une seule solution exacte du Problème qui concerne le mouvement des nœuds et la variation des inclinaisons des orbites de plusieurs planètes T, T(, T2,..., en vertu de leurs attractions mutuelles. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques qui serviront à jeter un plus grand jour sur cette matière.
Article III. — Remarques sur les équations qui donnent les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons des orbites planétaires.
17. Imaginons qu'il n'y ait que deux planètes T et T,, et que l'orbite de cette dernière soit fixe et immobile : on pourra alors regarder le plan de cette orbite comme celui de l'écliptique, et y rapporter l'orbite mobile de la planète T. De cette manière, 9 sera la tangente de l'inclinaison et w la longitude du nœud de l'orbite de T sur l'orbite de T,; la tangente 9, de l'inclinaison de cette dernière orbite sera nulle : par conséquent on aura s, = o, u, = o, et toutes les autres quantités s2, u2,... seront aussi nulles, parce qu'on ne considère que les seules planètes T et T,.
Donc, dans cette hypothèse, les équations du n° 16 se réduiront à ces
deux-ci
ds . . du
d'où l'on tire sur-le-champ celle-ci
-j- -+- (o, ifs — o,
laquelle donne et de là
dt
s = Asin[a — (o, i) t'], u = A cos[a — (o, i) /];
donc
tango = — = tang[a — (o, i) f],
c'est-à-dire,
:—{o,i)t, et 0 = \js2-Ç W = A,
où « et A sont deux constantes arbitraires.
On voit par là que l'inclinaison des deux orbites sera constante, et que le nœud de l'orbite mobile de la planète T aura, sur l'orbite fixe de la planète T(, un mouvement rétrograde dont la vitesse sera exprimée par la quantité
(o, i) = -.- -, ou bien = y-~ ■>
S à cause de p.= — ■> par les Théorèmes connus; c'est ce qui s'accorde avec
le résultat des méthodes ordinaires.
18. En appliquant le même raisonnement à toutes les orbites considérées successivement deux à deux, et supposées alternativement l'une mobile et l'autre fixe, on en conclura, en général, que les quantités (o, i), (o, 2), (o, 3)',... ne sont autre chose que les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète T sur les orbites des planètes T,, T2, T3,..., considérées comme fixes; que, de même, les quantités (1,0), (1, 2), (1, 3),. . . expriment les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète T, sur les orbites des planètes T, T2, T3, . . . considérées comme fixes; que les quantités (2, o), (2, 1), (2, 3),... expriment pareillement les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète T, sur celles des planètes T, T,, T3,..., et ainsi de suite.
D'où il s'ensuit qu'il suffit de connaître les mouvements particuliers
des nœuds de chaque orbite sur chacune des autres, regardée comme
fixe, pour pouvoir déterminer les véritables mouvements des nœuds et
les variations des inclinaisons des mêmes orbites, relativement à l'éclip-
