tang 3°23'2o", 9S = tang i°5i'o

s, = &. sinw3 = 0,057070, il-, = 6, COSM3 = o,oi58oi , s, = 9t sin w, = 0,023867, u> = $< cosm4 = 0,021731 .

Comme ces valeurs sont celles qui répondent à l'époque de 1760, depuis laquelle nous comptons les années marquées par t (Article précédent), il faudra donc les substituer dans les formules générales du numéro précédent, en y supposant en même temps t — o\ de cette

manière, après avoir fait aussi les autres substitutions du même numéro, et mis pour Asina, A.çosa, Bsin/3, Beos|3 leurs valeurs trouvées plus haut (42), on obtiendra les six équations suivantes

C2 siny -f- D2 sinô -+- o,oio5E4 sine -f- o,o3o8i2 = o,

C, cosy -+- D2 cosô -f- o,oio5E, cose — 0,009090 = o,

i ,3394c, siny — o,7935D2 sinô — o,o863E4 sine — 0,029171 = o,

1 ,2394c, cosy — 0,7935 D, cosô — o,o863E4 cose — 0,022819 = o,

o,3i8oC2 siny — o,26i3D2 sinô -+- E4 sine -+- o ,0 1 2984 = o,

o,3i8oC2 cosy — 0,261 3 D2 cosâ -+- E4 coss — o,o35i38 == o,

qui serviront à déterminer les six inconnues C2siny, C2eosy, D2sinô\..., et l'on aura

Cssiny = o, 0014840, C2cosy.= o,oi5857.

D2 sinô = — o ,o3ao68, D2 cosô = — 0,0070630, Essins = — 0,021 836, E4 coss = 0,028249,

d'où l'on tire (numéro précédent)

C3siny = 0,0018393, C3cosy = 0,019653,

C4siny = 0,00047191, C4cosy = o,oo5o425,

D3sinô = o, 025447 > D3cosô = o,oo56o44>

L)4sinô = o, oo837g5, D,cosô = 0,001 8455,

E2sine=: — 0,00022894, E2cose= 0,00029618,

E3sine= o,ooi8845, E3 cose = — 0,002.4379.

On peut déduire, si l'on veut, de ces valeurs celles des coefficients Ca, D,,... et des angles y, ô\..., mais on n'en aura pas besoin si l'on transforme, ainsi que nous en avons usé plus haut, les sinus et cosinus des angles bt 4- |3, et + 7,... en

sin|3 cosbt ■+■ cos(3 sinbt, . . . , cos(3 cosbt — sin(3sin6<, . . .,

ce qui est plus commode pour le calcul, lorsque bt et a sont de très-petits

angles.

51. Faisant donc toutes ces substitutions dans les formules gêné raies (49), on trouvera les expressions suivantes

Pour la Terre.

s, — i), 028127 "+" 0,002685 cos(25",337 t) -t- o.ooigio sin(a5", 337 /) -+- 0,001484 cos( 5",g8oi) — o,oi5857 sin( 5", 980?)

— o,o32.o68 cos( !9", 798 ^) -+- 0,007063 sin( 19", 798/)

— 0,000229 cos( 18 ", 3o8/) — 0,000296 sin( i8",3o8<),

u,= — 0,007180 — 0,001910 cos(25",337<) + 0,002685 sin(25",337 t) -+- o,oi5857 cos( 5", 980^)+ 0,001484 sin( 5",gSol)

— 0,007063 cos( 19", 798 1) — o,o32o68 sin( 19", 798 1 ) -t- 0,000296 cos( 18", 3o8/) — o ,00022g sin( i8",3o8/) ;

Pour Vénus.

s3 = 0,028127 — 0,000228 cos(25",337 0 — ' 0,000162 sin(2,5",337 1 -t- o,ooi839cos( 5", 980^) — 0,019653 sin( 5",g8oO -t- 0,025447 cos( 19", 798 1) — o,oo56o4 sin( 19", 798?) -1- 0,001884 cos(i8",3o8f) -t- o, 002438 sin(i 8", 3o8/),

u3 = — 0,007180 -t- 0,000162 cos(25",337/) — 0,000228 sin( a5", 337 1) -+- 0,019653 cos( 5", 980/) -t- 0,00 1 83g sin( 5",g8o<) -+- o,oo56o4 cos( 19", 798/) -t- 0,025447 sin(ig",7g8<)

— O,oo?438cos(i8",3o80 -!- 0,001884 sin(i8",3o80;

Pour Mars.

Sj= 0,028127 -i- 0,008754 cos(25",337/) -1- 0,006227 sin(25",33,7^) -(-.0,000472 cos( 5",g8o?) — o,oo5o43sin( 5",g8oi) -1- o,oo838o cos(ig",7g8/) — 0,001846 sin( 19", 798 ï)

— o,o2i836cos( i8",3o80 — 0,028249 sin( >8",3o8f),

ut— — 0,007180 — 0,006227 cos(25",337<) -t- o, 008754 sin(25",337<) -I- o,oo5o43 cos( 5", g8o<) -f- 0,000472 sin( 5",g8oi) h- 0,001846 cos( 1 g", 798 0 -4- o,oo838osin(ig",7g8<) + o, 028249 cos( 18", 3o80 — o,o2i836sin( 18", 3o80-

Ainsi, prenant i pour le nombre des années tropiques écoulées depuis le ier janvier 1760 à midi moyen, ou bien pour le nombre des années qui précèdent cette époque, en faisant mégatif, il n'y aura qu'à calculer par les formules précédentes les valeurs correspondantes des quantités s2, m3, s3,.'.., et l'on en pourra déduire sur-le-champ les longitudes w2, u3,... des nœuds des orbites des planètes dont il s'agit, par rapport au plan de l'écliptique de 1760, regardé comme fixe, ainsi que les inclinaisons des mêmes orbites par rapport à ce plan, dont 62, 03,... sont les tangentes; car on a . ...

tanew, = — -, tangco3= — ?•• ■»

02 = y/sj -1- u; , 93= ijs]-!- ul,. . . .

Au reste, à cause de ce que les expressions des quantités s2, s3, s, contiennent plusieurs termes, il sera assez difficile de déterminer si les angles w2, co3, w4 ont des limites ou non, et d'en trouver les valeurs moyennes, ainsi que nous l'avons fait à l'égard de Jupiter et de Saturne dans l'Article précédent; c'est pourquoi nous n'entrerons pas dans cette discussion qui pourrait nous mener trop loin.

52. Nous terminerons donc cet Article par donner les formules des mouvements annuels des nœuds et des variations annuelles des inclinaisons des orbites de la Terre, de Vénus et de Mars, formules qui se déduisent facilement de celles du n° 23, en y faisant les substitutions convenables, et supposant dt = i.

Ayant donc égard à l'action mutuelle de toutes les planètes, excepté

Mercure, ainsi que nous en avons usé dans les recherches précédentes,

on trouvera

Pour la Terre.

1 c« 0 / T ecosfw, — <a)~| „ ,,, f 0,COS(tO2— M,) I d',H = — 6", 874 1 g — o ,334 1 — e- —

„,,,r 0,cos(w2 — oh) 1 „.-:» T. 04COS(«2-co<)1 - 6",646|j q2 J-o,532^ g-— |

d02 = 6", 874 0 sin (w2— m) -4- o", 334 0, sin (w2— w,) -t- 6", 646 03 sin (w2— &j3)

+ o", 532 0, sin (6)2 — w4);

Pour Vénus.

i ,„ Y 9 cos(coa— m H „ [" 9,COS(>W3— &>,)~| d(H3=— 4",ioo I — K- — - — o",2o3 I ^

a„ ,r 92cos(co3 — w2) I „ e e\ 94cos(&j3 — (ù,)'\ - b'7o3[.- -g- J-o',5.5|i --

efô3 =4". i oo 9 sin (w3— w) -+- o", 2o3 9, sin (<a3 — w, ) 4-6", 703 92 sin (co3 — w2 )

-)- o", 5 1 5 94 sin (w3 — co4 ) ;

Pour Mars.

j ,,, a T 9 COS(&)4 — ta )"| ,1 cet 9, OOS ( W4 — M, J~|

efe)4 = — i4",o6o i— — i^— - — o',645 i — g—

,T 9-.cos(<a4 — û)j)1 „ T 9, cos( to4— w3)T

ddi == i4", 060 9 sin o>4 — m) 4- o", 645 9, sin (w, — w,) + 1 ",7 73 93 sin (wt — as )

+ i",7oi 93sin(co4 — w3);

où c?w2, û?w3, dMi sont les mouvements annuels des nœuds par rapport aux étoiles fixes, et dQ2, dQ3, dO,, peuvent être prises sans erreur sensible pour les variations annuelles des inclinaisons des orbites à l'écliptique; mais, pour pouvoir faire usage de ces formules, il faudra déterminer auparavant les valeurs des quantités w, w,,..., 6, d,,..-., qui conviennent à l'année donnée, d'après les formules générales de cet Article et du précédent. Si l'on emploie celles qui répondent à l'époque de 1760, on aura pour l'orbite de Vénus

du>3 = — 9", 692, d63= — o ,o35,

et pour celle de Mars

dû, = — 8" , 664, dB, — — o", 3a 1 .

Quant à l'orbite de la Terre, nous remarquerons que, puisque 6,= o pour 1760 ( hypothèse J, il faudra que, dans l'expression de du>2, tous les termes divisés par 02 soient aussi égaux à zéro, ce qui donne l'équation

t>",874 5cos(w., — w)-i-o",334&1cos(w, — w,)-)-6",64'>^3côs(w2 — w3)-j-o",532 64cos(w2 — «^ = 0;

d'où l'on tire, pour la valeur de la tangente de w2, l'expression

6",8748rosoi+o",3346,cosM|+6",64693cosM,-)-o",53a8<cos<ri< ^ 6",874»-t-o". 334 k, +6", 646^,-1-0". 53:2», 6",874SsinwH-o",3349, sinw,-i-6",64693 sinw3-i-o",53a6j sinw4 — 6",874 s -t-o",334 *,-t-6",646 s3 +o",532 st

Substituant donc à la place de s, u, s,,... les valeurs qui répondent au commencement de l'année 17H0, et qui ont déjà été déterminées cidessus d'après les Tables, on aura

0,08707 rnm

tangWi= ,, .'•" = — o,i5b48,

d'où

c'est le lieu où l'orbite de la Terre doit couper le plan de l'ecliptique

de 1760, au premier instant ou elle abandonne ce plan.

Employant maintenant cette valeur de w2 dans l'expression de dd2i

on trouvera

ce qui donne l'augmentation annuelle de l'inclinaison de l'orbite de la Terre, par rapport au plan dont il s'agit.

On aurait les mêmes résultats si l'on cherchait les valeurs de tangw2 et de ô„, d'après les formules générales du numéro précédent; car, faisant t = 1 dans les expressions de s2 et de u.lt et mettant à la place des sinus des arcs très-petits 25", 337, 5", 980,... ces arcs mêmes, et à la place de leurs cosinus l'unité, on trouve

s, — o", 08797, Wj — — o", 562 19,

d'où

langWî^ .,'• '-, Q,= o",5bq;

ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé ci-dessus, et pourrait servir, s'il en était besoin, à confirmer la justesse de nos calculs.

Article VIII. — Des équations séculaires du nœud et de V inclinais ou de l'orbite de Mercure.

53. Pour achever nos Recherches sur les dérangements causés dans les plans des orbites des planètes par leur action mutuelle, il ne reste plus qu'à examiner ceux qui doivent avoir lieu dans le plan de l'orbite de Mercure. Or, suivant nos dénominations, co5 sera la longitude du nœud de cette orbite, et$5 sera la tangente de son inclinaison; de sorte que la question se réduira à déterminer les valeurs des quantités ss = 6S sinw5, w3 ;= ?5 cosco5, par l'intégration des équations différentielles d'où elles dépendent, et qui, selon l'ordre des équations (16), doivent être la neuvième et la dixième.

Ces équations seront donc

—, — h(5, o)(ms— m)+(5,i)(«5 — u,)-\-(5, 2) (m5— h,)+(5,3)(hs— M3)-f-(5,4)(«s— «<)=o,

-yy— (5,o)(ss— s)— (5,i)(*5— s,)— (5,2)(*s — s,)— (5, 3) (*s— '*,)— (5,4) («s — s^—o,

lesquelles, en y substituant les valeurs des quantités*, s,,..., u, m,,... déjà trouvées dans les deux Articles précédents, et faisant, pour plus de simplicité,

se changent en celles-ci

-T- J\ui—A.cosoc)—Mcos{bt-t-fi)—'Ncos(ct-hy)—l>cos{dt-i-d)—Qcos(et-ht)=o,

-^+/(«5— Asina)+Msin(6<+(3)+Nsin(cf+y)+Psin(<//+<$)+Qsin(e/-f-e)=o.

Telles sont les équations qu'il s'agit maintenant d'intégrer; et il est facile de voir que pour cela il n'y a qu'à supposer

,v5 = A sina -+- B5 sin (bt H- 3) -t-C5 sin (et -+- 7) -t- D5 sin (dt -t- S) -t- E5 sm(et + £)-+- F5 sin (ft -h f) , «5=Acosa-i-B5cos(6; + p)+C5cos(rt + 7)-i-D5cos(rff-(-5)-(-Escos(ef-(-s)-i-Fscos(/ï-+-<p);

car, faisant ces substitutions et égalant à zéro les termes homogènes, on n'aura que ces quatre équations de condition

(b— /)B..==MJ (c-/)C5 = N, (d— /)D. = P, (e-/)Es=Q,

lesquelles donnent

B5 = ^ t; 1 Ls = 7T D5 = -J 7T 5 E5 = 7; ^

de sorte qu'il y aura encore deux indéterminées F5 et çp, qui dépendront des valeurs initiales de s5 et de «5 données par les observations; ainsi les valeurs supposées de s5 et de w5 sont exactes et complètes.

Pour déterminer les deux inconnues F5 et <p, je tire des Tables les éléments suivants

Longitude du nœud de Mercure pour 1760 isi5°28'45"

Inclinaison de son orbite 70 o' o"

Donc

«:, = 45° 28' 45", 05=tang7°;

de là on trouvera

«;= 65 sine>)5 == 0,087543, «5 = 06 cosws = 0,086092;

ce qui (en supposant, comme on a fait jusqu'ici, que t soit égal à zéro au commencement de 1760) donnera les deux équations

A sina -t- B5 sin (3 -l- C5 siny -f- D5 sinô -+- E5 sine -+- F5 sin<p = 0,087543, A cosa+ B5cos(3 4- C5cosy-4- Dscos<3 + E5cose -+- F, costp = o,og

par lesquelles on pourra déterminer F5 et cp.

Maintenant je trouve, d'après la Table du n° 19,

et ensuite, en employant les valeurs de B si n j3 , B, sin jS déterminées dans les deux Articles précédents,

B;,sin|3= 0,00028612, B5cos(3 = 0,00020354,

C5siny= 0,024795, C5cosy= 0,264940,

D5 sin è = — o , oo5o52o, D5 cos ô = — o , 00 1 1 1 26,

E5siti£ = — 0,00047975, Escose = — 0,00062066;

enfin, substituant ces valeurs dans les deux équations ci-dessus, on aura

Fs sin 9 = 0,039867, F5 cos 9 = — 0,170972.

54. Si donc on substitue ces valeurs dans les expressions ci-dessus de *5 et de u5, après y avoir changé les sinus et cosinus de bt -+- (î, et -h y,... en

sin (3 cos bt -+- cos (3 sin bt,. . ., cos (3 cos bl — sin (3 sin 6/,. . .,

on aura les formules suivantes :

Pour Mercure.

Si = 0,028127 -i- 0,000286 cos (25", 337 1) -f- 0,000204 sin (25", 337/) -+- 0,024795 cos ( 5",<)8ot) — o,264g4osin( 5",98oO

— o,oo5o52 cos( i9",798<) -+- 0,001 n3 sin( 19", 798 O

— 0,000480 cos( i8",3o8<) — 0,000621 sin(i8",3o8i) -+- 0,039867 cos ( 6", 3i 1 t) -t- o, 170972 sin( 6",3iW)

Us = — 0,007180 — 0,000204 cos (25", 337/) -1- 0,000286 sin (25", 337 t) -t- o, 264g4o cos( 5", 980/) -t- 0,024795 sin( 5", 980/)

— 0,0011 13 cos (19", 798O — o,oo5o52 sin( 19", 798 O -+- 0,000621 cos( i8",3o80 — 0,000480 sin( 18", 3o8t )

— o,i70972Cos( 6", 3n t) -+- 0,039867 sin( 6",3nt).

Dans ces formules, / représente, comme dans les Articles précédents, le nombre des années tropiques écoulées depuis le 1e1' janvier 1760 a midi

moyen, ou de celles qui ont précédé cette époque, si l'on fait t négatif; ainsi l'on pourra par leur moyen calculer pour un temps quelconque les valeurs des quantités s, et us ; et, d'après ces valeurs, on trouvera le lieu du nœud ascendant de l'orbite de Mercure, ainsi que l'inclinaison de son orbite, par les formules

w5 étant la longitude du nœud comptée depuis le lieu de l'équinoxe de 1760, et Qs la tangente de l'inclinaison.

55. A l'égard du mouvement annuel des nœuds et de la variation annuelle de, l'inclinaison, quoiqu'on puisse les déduire aisément des formules précédentes, il sera cependant plus commode de les déterminer par le moyen des formules différentielles (23), en y faisant dt=i.

De cette manière, on trouvera pour le mouvement annuel des nœuds de Mercure, par rapport aux étoiles fixes,

7 „ i-r / T 6 C0S(W, CON~] „ 0 T 0, COS(to5 — «,) I

flCOs = — I . 564 I — -^-T '- — O' , OOO I —

,, or I Sjcos(6),i — w2) 1 ,„ . r 03cos(<a5 — «sn '

o ,86,^1- —g- -j — 3,749 Lr- — BT S

-o",o5r[,-giCOS(^-M<)],

et pour la variation annuelle de l'inclinaison

d05 = i',5640sin(coi— 6>) -1- o",o8o0, sin(&J5 — &>,) -t-o",867Ô2sin(w5 — w,) -+- 3",74903sin(&)5 — w3) -t-o",o5i 0iSin(w5— &>,).

Ainsi il n'y aura qu'à substituer dans ces expressions les valeurs des quantités &, 0,,..., w, w,,..., qui répondent au temps donné, et qui résultent des formules générales données ci-dessus. Si l'on emploie celles qui répondent à l'époque de 1 760, et que nous avons déduites des Tables, on trouvera, pour le siècle présent,

Article IX. — Sur les changements de latitude et de longitude des étoiles fixes, causés par le déplacement de l'orbite de la Terre.

56. Nous avons donné, dans l'Article VII, les formules nécessaires pour déterminer à chaque instant la position du plan de l'orbite de la Terre, par rapport au plan dans lequel cette orbite s'est trouvée au commencement de l'année 1760, que nous avons prise pour époque; ainsi, connaissant la position des étoiles fixes à l'égard de ce dernier plan, c'est-à-dire, leurs longitude et latitude pour le commencement de 1760, il sera facile de trouver les longitudes et les latitudes pour un autre temps quelconque.

Pour cet effet, on commencera par calculer, pour le temps donné, les valeurs des quantités s» et u2 (51), et l'on en tirera celles de w2 longitude du nœud de l'orbite de la Terre et de y inclinaison de cette orbite, au moyen des formules

laneojj = — j taner = 9, = Jsï -t- u'i ; D u2 J \ - 2

on ajoutera à la longitude w2 la précession des équinoxes 5o",?>t, pour avoir la longitude du nœud de l'orbite de la Terre, comptée à l'ordinaire, depuis le premier point d'Anes, c'est-à-dire, depuis l'intersection de l'écliptique et de l'équateur, et l'on nommera cette longitude x. Cela posé, comme l'inclinaison y est toujours très-petite, on trouvera aisément, par les formules différentielles connues, que l'obliquité de l'écliptique sera sujette à une variation égale à jcosa?, et que les points

equinoxiaux auront un mouvement en longitude ésral à tt-t- et un

^ 00 tanga3°|

mouvement en ascension droite é^al à -? — 5—; •

0 sin 23° j

Ensuite, nommant / la longitude d'une étoile quelconque et X sa latitude, calculées en ayant égard à la précession des équinoxes, on trou-

vera que la variation de cette étoile en longitude sera

n <. -, rsina?

ycos(l — x) tang/-

tang23°J-1 et que sa variation en -latitude sera

— ys\x\ (/ — x).

57. Pour faciliter le calcul de ces formules, on remarquera que, à cause de la petitesse de l'angle y, on aura, sans aucune erreur sensible, y = 60 ; donc, puisque

on aura

sin x = sin&>2cos< 5o",3<) -f cosw2sin(5o",3<),

cosx = cos&>2cos(5o",3z) — sinw2sin(5o",3<);

par conséquent on aura

y sin x = s, cos(5o",3£) + M2sin(5o",3^), ycosx = «2cos(5o", 3t)— s2 sin(5o",3<).

De là il s'ensuit que, si l'on fait, pour abréger,

o- = s2 cos(5o", 3<) -+- w2sin(5o", 3t), v = u, cos(5o",3<) — s2sin(5o",3t),

on aura u pour la variation de l'obliquité de l'écliptique, et

tang23°{ sin33°-i

pour le mouvement en longitude ou en ascension droite des points équinoxiaux.

De plus, à cause de

sin 1 l — x) = sin/cosar — cos/sinx, cos(/ — x) = coslcosx -f- sin/ sin x,

on aura, pour la variation en longitude d'une étoile quelconque,

(cr sin long. -4- u coslong.) tanglatit.

lang23°| et pour sa variation en latitude

ct coslong. — u sin long.

58. Toute la difficulté se réduit donc à calculer, pour le temps donné, les valeurs de s0 et u2 d'après les deux formules du n° 51 , et en déduire ensuite celles des quantités cr et a par les formules du numéro précédent.

Pour épargner ce travail aux astronomes qui voudront faire usage de notre Théorie, j'ai pris la peine de calculer les quantités dont il s'agit, de siècle en siècle, pour vingt siècles, tant avant qu'après 1760, en faisant successivement t = — 100, — 200, — 3oo,... jusqu'à — 2000, et ensuite i!= 100, 200, 3oo,... jusqu'à 2000; et, afin de pouvoir mettre une plus grande exactitude dans les calculs, j'ai d'abord changé dans les expressions de s2 et de u2 du numéro cité les cosinus en 1 — 2(sinus)2, et j'ai ensuite réduit les coefficients en secondes en les multipliant par 206265.

De cette manière, j'ai transformé les expressions dont il s'agit dans celles-ci, qui sont à la fois plus simples et plus commodes pour le calcul.

s2 = 393", 9 sin (25", 337 0 — 1 io7",5sin2(i2",668*)

— 3270", 8sin ( 5", 980*) — 6i2",2sin2( 2", 990/) + i456", 9sin(i9", 798O +13229", 4sin2( ç)",8ggt)

— 61", 1 sin(i8",3o8<) -t- 94", 4 sin2 ( 9", i5^l)

.7.,= 553", 7 sin (25", 337 0 -t- 787", 8 sin2 (1 2", 668 1) -4- 3o6",rsin( 5",ç)8ot)— 654i",6 sin2( 2",yc)ot)

— 66i4",7 sin(i9",7g8<) -+- 29i3",8sin2( 9", 899?)

— 47", 2 sin(i8",3o8<) — r22",2 sin2( 9", iS^t).

Ensuite j'ai construit d'après ces formules les deux Tables suivantes,

dont la première est pour les siècles qui précèdent l'année 1760, et dont la seconde est pour ceux qui la suivent.