Comme
tangw, = — , 0, = i/sî -h u:.
U, vii
sin ((3 H- bt) = sin(3cosZ>j h- cos(3 s'mbt, cos((3 -t- bt) — cos(3 cosbt — sin (3 s'mbt,
on pourra mettre les valeurs de s, u, s,, u, sous la forme suivante, qui est en quelque façon plus commode, tant que bt est un petit angle.
Pour Jupiter, s = 0,028127 — o, oo5344 cos(25", 337/) — o,oo38o2 sin(25", 337/), m= — 0,007180 h- o,oo38o2 cos(25", 337 i) — o,oo5344sin(25", 33^ t).
Pour Saturne, 5, = 0,028127 "+" 0,012557 cos(25",337*) + 0,008932 sin(25",337^), u, = — 0,007180 — 0,008932 cos(25",337<) -+- 0,012557 sin (25", 337/).
Il faut se souvenir que les années dont le nombre est marqué par t sont des années tropiques, dont la durée est de
et qu'elles doivent être comptées depuis le ier janvier 1760 à midi moyen, à cause que cette année est bissextile.
On doit remarquer de plus que les longitudes w et w, doivent toujours se compter depuis le lieu de l'équinoxe de 1760, en sorte que, pour avoir les vraies longitudes des nœuds des orbites de Jupiter et de Sa-
C80 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES turne sur l'écliptique pour un temps quelconque, il faudra ajouter aux longitudes données par les formules précédentes la précession des équinoxes 5o",33(3f.
44. Comme la valeur de A est plus grande que celle de B et que celle de B,, il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans le n° 35 que le lieu moyen des nœuds des orbites de Jupiter et de Saturne sera fixe , sa longitude comptée depuis l'équinoxe de 1760 étant a, c'est-à-dire, io4°i9'i4"; en sorte que les nœuds de ces deux planètes n'auront que des mouvements de libration autour de ce point de l'écliptique. La plus grande libration, ou excursion des nœuds, aura lieu lorsque
cos((3 — «4- bt) = — —
pour l'orbite de Jupiter, ou
cos((3 — « 4- bt) = — —
pour l'orbite de Saturne.
De là on trouvera pour Jupiter
1800 4- 2i° G' 21" — 25", 331; t — 180e dr 76° 56' 36" -i- 36o°f/.
(jjl étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif, ou zéro);
donc
25", 337/ — — 55°5o'i5' — 36o°f/., ou = g8°2'57" — 36o°f/.;
par conséquent, en négligeant les fractions,
l = — 7933 — 5ii5o^., ou = 1 3g3 1 — 5n5of/.,
ce qui donne les années de la plus grande et de la plus petite libration;
et l'on voit que la période entière d'une libration sera de 5i i5o ans, ou
plus exactement de ?,.- ans.
Si l'on substitue ces valeurs de t dans l'expression de la tangente de la longitude du nœud, on trouvera que les longitudes qui y répondent
sont, en négligeant les secondes, 9i°i6' et ii7°23'; de sorte que l'étendue de la libration du nœud de Jupiter sur l'écliptique sera de 26°7'. On trouvera de même pour Saturne
d'où l'on tire
25", 337 t = 1 8o° — 36° 49' 53" — 36o° [x, ou
par conséquent on aura
t = 20342 — 5ii5o^/., ou t = 368o6 — 5ii5o/j.
pour les années de la plus grande et plus petite libration, en sorte que la période d'une libration sera la même que ci-devant.
De là on trouvera, pour les longitudes correspondantes du nœud, 72°i6'et i36°24'; en sorte que l'étendue de la libration du nœud de Saturne sur l'écliptique sera de 640 8'.
45. Si l'on veut connaître les inégalités mêmes des mouvements des
nœuds de Jupiter et de Saturne, on pourra employer la série du n° 36;
il n'y aura pour cela qu'à y substituer io4°i9'i4" à la place de a, et
1800 -1- 2ï°6'2i"— 25", 337 z- à la place de Ç— a = j3 — a-i-bt, et
faire ensuite
pour Jupiter, ou
— O,225oi
pour Saturne; après quoi il faudra encore multiplier les coefficients des différents sinus par l'arc égal au rayon, lequel est de 206265", à trèspeu près.
De cette manière, si l'on fait, pour plus de simplicité,
<a — 210 6' 21" — 25", 337 t, VI. 86
on aura la longitude du nœud de Jupiter égale à
3S 1 4°i9' i4" — 46598" sino — 5260" sin 27 — 792" sin 3? — i34"sin4<? — 24"sin5y — 5"sin6y — 1" sin 7 y,
et celle du nœud de Saturne sera égale à
3si{° 1 9' 14"-+- 10949a" sin o — 29062" sin 2»-+- 10285" sin 3 <? — 4o95"sin4? -4-1739" sin 5 <f — 769" sin 60-+- 35o"sin7© — i62!'sin8f -+- 77"sin9? — 37"sin 107 -h 18" sin 11 cp — 9"sini2'j)-t-4"sini3tp — 2" sin 1.4? * i"sini5«p.
46. A l'égard de l'inclinaison, le maximum et le minimum auront lieu lorsque l'on aura (38)
cos(|3 — «-+-60— ,— '?
ce qui donne dans notre cas
180e -1- 2i°6'2i'' — 25",337? = 36o°p, ou = 1800 + 36o°p. ;
d'où l'on tire
t — aS5';4 — 5i i5op., ou =2999 — 5ii5o//..
Dans les années marquées par la première de ces deux valeurs de t, l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera la plus grande, et aura la tangente
à laquelle répond l'angle 20 2' 18"; et l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera la plus petite, et aura pour tangente
A -+- B, = o,oi36ig,
à laquelle répond l'angle 46' 49"- Au contraire, dans les années marquées par la seconde valeur de t, l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera la plus petite, ayant pour tangente
à laquelle répond l'angle i°i7'i5"; et l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera la plus grande, ayant pour tangente
à laquelle répond l'angle 2°32'/(i "•
D'où l'on voit que la variation totale de l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera de 45' 3", et que la variation de l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera de i°45'5i". Quant à la période de ces variations, elle sera aussi de 5n5o années.
47. Si l'on voulait déterminer les mouvements annuels des nœuds, ainsi que les variations des inclinaisons de Jupiter et de Saturne, il est clair que, à cause de ce que le coefficient de t est très-petit dans les expressions de s, u, s,, u,, il n'y aurait qu'à chercher, par la différentiation, les valeurs de du, efa, et dQ, ddlt et y supposer .dt = 1; mais, sans se donner cette peine, on pourra faire usage des formules trouvées dans le n° 23.
On aura donc pour Jupiter, en substituant la valeur du coefficient (o, 1) et négligeant les autres comme nuls, le mouvement annuel par l'apport aux étoiles fixes
0, COS(m — W|)~|
day = — 7", 564 '
et la variation annuelle de l'inclinaison
dd = 7", 564 0i sin (» — «i )■
On aura de même pour Saturne, en changeant w en &>',, 9 en 6,, (o, 1) en (1, o), et substituant pour cette dernière quantité sa valeur, le mouvement annuel des nœuds par rapport aux étoiles fixes
. „ ,[ 9cos(«, — w)"l dWl=- 17 ,773^1 ~- -J,
et la variation annuelle de l'inclinaison
d8, = 17", 773 6 sin(wi — m).
On n'aura donc plus qu'à substituer, dans ces expressions, les valeurs des quantités w, w,, 0, S,, correspondant au temps donné pour lequel on cherche les variations annuelles du nœud et de l'inclinaison.
Si l'on adopte celles qui répondent à l'époque de 1760, on trouvera
du> = 6", 428, dd = — o",o-]5, chh = — 8", 665, d0,= o",og3,
et ces valeurs pourront être regardées comme exactes pendant tout le siècle courant.
Article VIL — ■ Des équations séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites de la Terre, de Vénus et de Mars.
48. Comme l'action de Mercure sur les autres planètes ne peut produire que des effets très-petits, ainsi qu'on le voit par la Table du n° 19, où les quantités qui renferment le chiffre 5 après la virgule sont toutes très-petites, nous n'aurons aucun égard à cette action, et nous regarderons, par conséquent, comme nuls tous les termes des équations différentielles du n° 16, qui seront multipliés par quelqu'une des quantités dont il s'agit. Or, ayant déjà examiné, dans l'Article précédent, les quatre premières de ces équations, il ne restera plus qu'à considérer les six suivantes
ds
- (2, 0) (u, — II) + (2, l)*(«s — II,) H- (2, 3)
du,.
~dt~
- (2,0) (s, — s) — (2, t)(s, — st) — (2, 3)
(4, o) {Ui - u) + (4, o (m4 - «,) + (4, 2)
dt
dsL dt
^ - (4, o) {s, -s)- (4, .) (Sl -,,.)- (4, 2;
*! — Si) — (2, 4) (*S — S,) = O,
iii — «,) -+- (3, 4) («3 — «<) == o, s.i — s>) — (3, 4) (s3 — St ) = o, u„ — m,) -1- (4, 3) («4 — «3) = o, St — s,) — (4, 3) [st — s3) = o.
Dans ces équations, les quantités s, u, st, h, sont déjà connues, ayant été déterminées dans l'Article précédent : ainsi ces équations suffiront pour déterminer les six inconnues s2, u2, s3, us, s,, uA, dont les premières se rapportent à l'orbite de la Terre, les deux suivantes à l'orbite de Vénus et les deux dernières à celle de Mars.
Si, pour intégrer ces équations, on voulait employer la méthode générale de l'Article IV, il faudrait les combiner avec les quatre de l'Article précédent, pour avoir autant d'équations que de variables s, u, s,,...; mais cela allongerait inutilement le calcul, puisque les quatre premières de ces variables sont déjà connues : c'est pourquoi il sera plus à propos de traiter ces équations à part.
On commencera donc par y substituer les valeurs de s, u, st, u,, déterminées dans l'Article précédent; ensuite on remarquera qu'on peut satisfaire à ces équations, en faisant
s, — - A sina h- B2 sin [bt -+- (3) -4- C2 sin(ci -h y), u.= Acosa -+- B2cos{bt -f- (3) h- C2cos(c£ -t- y), s3 = A sina -4- Bs sm(bt -4- (3) -)- C, sin (ci -4- y), u3= A cosa -t- B3 cos{bt -+- S) -f- C3cos(ct -f- y), Si = A sina -4- B, sin(ô< -4- (3) -t- C4 sin (ci 4- y), Ut = Acosa -i- B, cos(bt 4-(3)4-Ct cos{ct -+- y),
où B2, B3, B4; C2, C3, C4; c et y sont des quantités indéterminées.
Ces substitutions faites, on comparera les termes analogues, et, faisant, pour abréger,
on aura les équations de condition suivantes
[C-(2)]C2-(2,3)C3-(2,4)Ci = o, [c-4-(3)]C3-(3, a)C2- (3,4),Ç« = p,
Comme les quantités B, B, et b ont déjà été déterminées dans l'Article précédent, il est clair que les trois premières des équations précédentes serviront à déterminer les trois quantités B2, B3, B, ; à l'égard des trois dernières, il est visible qu'en éliminant deux des trois quantités C2, C3, C.,, la troisième s'en ira d'elle-même, et l'on aura une équation finale en c, qui sera de cette forme
Ainsi il faudra déterminer, par cette équation, la quantité c; ensuite on déterminera deux quelconques des trois quantités C2, C3, C4 par le moyen de deux des trois dernières équations ci-dessus, et la troisième de ces quantités demeurera indéterminée, ainsi que la quantité y.
49. Je remarque maintenant que l'équation précédente en c, étant du troisième degré, donnera trois valeurs différentes de c, qui satisferont également aux équations différentielles proposées; d'où, et de ce que ces équations sont simplement linéaires, il est facile de conclure que, si l'on désigne par c, d, e les trois racines de l'équation dont il s'agit, et qu'on prenne six autres constantes D2, D3, D4 etE2, E3, E., telles qu'il y ait entre les trois premières et la quantité d, ainsi qu'entre les trois dernières et la quantité e, la même relation que nous avons trouvée entre les constantes C2, C3, C4 et la quantité c; qu'enfin on prenne encore deux autres indéterminées 5, e, on en conclura, dis-je, que les valeurs complètes de s2, u2; s3, u3 ; s4, u,, seront de la forme suivante
s2 — A sina-t-B2 sin(6/ + P) + C.! sin(ci + y)4-Da s\ia(dt -P é) '■+- E2 sin(e<-t-s), m, = A cosa-t-B, cos(bl -h fi) -h C, cos (et -hy) -+- D2 cos (dl ■+- è) -t-Ea cos(et-he),
*3 = A sina + Bj sin(6< + (3) + C3 sin(c< + y) + D3 sin (dt -h §)-\- E3 sin(e/-t-e), us = A cos a + B3 cos (bt -+- 8) -+• C3 cos(ct + y ) -+■ D3 cos (dt ~h S) ■+■ E3 cos (et-he), Si = A sina-t-Bi sin(6fH-8)4-C4 sin(ci-t-y)-i-D4 sin(c//-f-ô)-i-E4 sin(ef-t-e),
«4 = A cosa-f-B4cos(&f-i-8)-t-C4 cos(ct-hy)~hDi cos(dt-+-§)-i-'Ei cos(ei-f-e).
En effet il est facile de voir que ces expressions doivent satisfaire aux équations différentielles; et, comme elles contiennent d'ailleurs six constantes arbitraires, il s'ensuit qu'elles sont aussi générales que la nature du problème l'exige, puisqu'on peut, par le moyen de ces constantes, donner aux six quantités s2, u2, ss,... des valeurs initiales quelconques.
Il ne reste donc plus qu'à faire les substitutions numériques; et d'abord on trouve, d'après les valeurs de la Table du n° 19,
(2) = i4",386, (3) = ii", 5ai, (4) = i8",i79;
de sorte que, mettant ces valeurs, ainsi que celles de b= — 2.5", 337, B, = — 2,3497]} (Article précédent), dans les trois premières équations de condition (48), elles deviendront
io,g5i B, -t- 6,646B., + o,532 B4 -1- 6,0898 = o ,
7,i58Bs -t- i,773B,h- i.joiB, h- 1 2,544 B = °;
d'où l'on tire
B2= — o,5o235B, B3 = o,o426ooB, B4 =-. — i,63SoB,
et par conséquent, en substituant les valeurs de Bsin/3 et Bcos/3 de l'Article précédent,
B2sinS= 0,0026845, B2cos8 = — 0,0019097, B3sin6= — 0,00022766, B3cos6~- 0,00016195, B4sin6 = 0,0087535, B4 cos 8 = — 0,0062269;
ensuite l'équation en c (48) deviendra, en y changeant c en x,
laquelle, en faisant
pour en faire disparaître le second terme, se transforme en
(y — 0,309) (j— 3>!74)(j "+- 3,484) — 0,876(7- o,3og)
c'est-à-dire, en développant les termes,
Cette équation étant comparée avec celle-ci
j'3 — 3r'y — ar3 COS9 = o,
dont les racines sont, comme l'on sait,
'.r cos %i — arcos
6o°), — 2rcos (| -f- 6o°j ,
on trouve
/■ = 4)3787, cos 9 = 0,9568,
d'où
de sorte qu'on aura pour les trois valeurs dey
8,715, — 5,io3, — 3,6i 3 ;
par conséquent celles de x seront
de sorte qu'on aura
c = — 5", 980, cl — : — ig",7g8, e— — i8",3o8.
On prendra maintenant deux des trois dernières équations de condition (48), et, y substituant la valeur de c, on en tirera les rapports des trois quantités C2, C3, G,; ensuite, changeant successivement c en c? et en e, on en tirera de même les rapports des quantités D2, D3, D4, et ceux des quantités E2, E3, E4.
Or quoique, à la rigueur, il soit indifférent lesquelles de ces équations de condition on choisisse pour ces déterminations, il y a cependant une observation importante à faire, laquelle peut être appliquée à tous les cas semblables : c'est qu'il peut arriver que les équations qu'on emploie pour l'élimination des inconnues donnent pour les valeurs de ces inconnues des fractions dont le numérateur et le dénominateur soient à la fois des nombres très-petits, auquel cas une erreur très-petite dans ces nombres en produirait une beaucoup plus grande dans la valeur de leur rapport, et rendrait par conséquent fautive la valeur de l'inconnue cherchée. Cet inconvénient aura lieu dans la question présente si, parmi les trois équations de condition dont il s'agit, on prend les deux premières pour déterminer les rapports des quantités C2, C3, C4, ainsi que ceux des quantités D2, D3, D^, et une des deux premières avec la troisième pour déterminer ceux de E2, E3, E4, comme il est facile de s'en convaincre par le calcul. Il conviendra donc de combiner, dans le premier cas, une des deux premières équations avec la troisième, et, dans le second cas, la première avec la deuxième; de cette manière, les équations à résoudre seront les suivantes
5,4i2.D2 -1- 6,646 D3 -+- o,53aD4 = o,
d'où 1
l'on tire
C3 = 1,2394c, C4 = o,3i8oC2, D3 = — o,7935D2, D4=— o,26i3D2, E,-= o,oio5E4, E3 = — 0,0863 e! ;
et les trois quantités C2, D2, E., resteront indéterminées.
50. Pour les déterminer, ainsi que les autres quantités 7, o\ s, il faut connaître les lieux des noeuds et les inclinaisons des orbites de la Terre, VI. 8t
de Vénus et de Mars, pour la même époque que nous avons employée dans l'Article précédent pour Jupiter et Saturne, c'est-à-dire, pour le commencement de l'année 1760, afin de pouvoir en déduire les valeurs
correspondantes des quantités s2< «*> *3<
A l'égard de l'orbite de la Terre, il est clair qu'on doit la supposer dans le plan même que nous prenons pour l'écliptique; mais, comme nous regardons ce plan comme fixe, tandis que celui de l'orbite de la Terre esl réellement mobile, il s'ensuit que la supposition dont il s'agil ne peut avoir lieu que pour un instant, qui sera donc celui de l'époque en question; de sorte que le plan de notre écliptique fixe sera celui de l'écliptique réelle et mobile, au commencement de l'année 1760; ainsi l'inclinaison de l'orbite de la Terre sera nulle pour cette époque : par conséquent la quantité ô2 qui en exprime la tangente sera nulle aussi; ce qui donnera
s, = 62 sin w. = o, iij == Q., cos &>D = o.
Quant aux orbites de Vénus et de Mars, on trouve, par les dernières Tables de M. de la Lande, les éléments suivants
Longitude du nœud de Vénus, pour 1760 2. i4-3i .28,
» de Mars, » 1.17.43. 8,
Inclinaison de l'orbite de Vénus, » 3.23.20,
» de Mars, » 1 .5i . o.
Donc
co-, = 74°3i'28", ou = 47°43'8",
