m dil

de ' d-z i

,.3 J — (/f -i- m dQ.

r3 ~~ dz

Car, si l'on forme les différences partielles de la fonction ù suivant les variables x, y, z, on a les expressions des forces dues à l'attraction des planètes m', m", ..., décomposées suivant les coordonnées x, y, z.

On aura de pareilles équations pour la planète m', en changeant m en m', et x, y, z en os', y', z', et réciproquement; mais alors la fonction D. changera, et pourra être désignée par ù'; et ainsi pour les autres planètes. Je crois avoir employé le premier les équations des planètes sous cette forme très-simple, qui est maintenant généralement adoptée.

2. Comme l'effet de l'action des planètes perturbatrices est contenu dans la fonction ù, en rejetant les termes qui en dépendent, on a, pour le mouvement de la planète m, en tant qu'elle n'est attirée que par le Soleil, les trois équations

dP +

Les intégrales de ces équations sont assez connues, et donnent une ellipse décrite suivant les lois de Kepler; mais nous n'en avons pas besoin ici, et il suffit pour notre objet de faire les remarques suivantes :

i° Que les valeurs des coordonnées sont des fonctions du temps et des six constantes arbitraires introduites par les six intégrations, et que nous désignerons par a, b, c,f, g, h. Elles déterminent la grandeur et la position de l'ellipse sur le plan de projection, ainsi que le lieu de la planète dans un instant donné, et on les nomme en Astronomie éléments de la planète;

2° Que, si l'on dénote par ia le grand axe de l'orbite elliptique de la planète m, en sorte que a soit la distance moyenne, son mouvement moyen, qui est proportionnel au temps, sera exprimé par nt, en faisant

et que les coordonnées x, y, z pourront être exprimées en séries de sinus et cosinus d'angles multiples de nt, dont les coefficients seront des fonctions données des éléments a, b,

3. Considérons maintenant les perturbations dues à l'action des autres planètes, qui introduit dans les équations les termes dépendant de la fonction û. Pour avoir égard à ces termes, la méthode la plus simple est celle de la variation des constantes arbitraires que j'ai employée depuis longtemps; suivant les principes de cette méthode, que j'ai exposée d'une manière générale dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de 1775, page 190C), comme les équations différentielles auxquelles il s'agit de satisfaire sont du second ordre, on conservera les expressions elliptiques des coordonnées x, y, z, ainsi que celles des différentielles

-—■> 77' ^7' niais en y regardant les constantes a, b, <?,... comme variables, et l'on vérifiera les équations par la variation de ces constantes dans les différentielles secondes.

Désignons pour un moment par la caractéristique â les différentielles provenant de la variation des constantes, tandis que la caractéristique ordinaire d se rapporte à la variation de t. La différence première de x aura pour valeur complète, en faisant tout varier, dx -+- 8x; donc, supposant Sx = o, elle sera simplement dx; ainsi la valeur complète de la différence seconde de x sera ddx -+- ddx; mais la partie ddx satisfait

à l'équation en x sans le terme -3— qui en forme le second membre ,

quelles que soient les valeurs des constantes, puisque l'équation se vérifie identiquement; donc l'autre partie doit vérifier le reste de l'équation. Ainsi l'on aura

è dx dQ.

dt2 dx

de sorte que, relativement à l'équation en x, on aura par la variation

(*) OEuvres de Lagrange, t. IV. p. 1 5g et suiv.

des constantes arbitraires les deux équations

» è dx dQ

dx = o, — — — — - .

dt2 dx

On aura de même, relativement à l'équation en 7, les deux équations

» èdr dQ.

J dt- dy

et, relativement à l'équation en z, les deux équations

» è dz dQ.

oz = o, — , — = -=— .

dt- dz

Ainsi l'on aura en tout six équations différentielles du premier ordre entre les six constantes arbitraires a, b, c,f, g, h, devenues variables.

Maintenant, comme x, y, z sont des fonctions supposées connues de t, a, b, c,..., il est facile de voir que l'on a

a~ dx , dx dx , dx ,„ dx , dx ,,

àx = -r- da h- -JJ- db -t- -j- de + —. df -+- -y- dg -4- -jy dh, da db de df J dg & dh

et, comme dx—~ dt, on aura pareillement

ddx d2x d2x d2x , d2x 7„ d-x , d2x ,.

dt dtda dtdb dtde dtdj J dtdg b dtdh

ainsi les deux équations §x = o et -r- = ~-tdt donneront ces deux-ci

dx 7 dx ,, dx , dx ,„ dx , c/.r ,,

—j-da-\- -lT db -± -y- de -^ -jr- df -\ — .— dg + -^ dh = o, a« «6 «c «/ -/ rfg- ° c//i

-r— — da -+- -,—jj db + -3—7- ac h- -y—— rf/-+- . , de' -+- -j— rr e?A — -p- efa, «7fto t«f/6 rtic/c (/<<// ^ dtdg b f/ïc/A cte

et l'on aura de pareilles équations en y et en z, en changeant seulement x en y et en z.

Ces six équations donneront les six différentielles da, db,... par l'élimination ordinaire; mais on aurait de cette manière des formules très-

72i MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS

compliquées. Heureusement j'ai trouvé une combinaison de ces équations qui conduit à des résultats simples et très-remarquables, et que je vais exposer.

4. Je retranche la première équation multipliée par -j—,- de la seconde multipliée par -3— ; j'ai

^ ?f. dt=.kdb + Bdc + Cdf-h Ddg^r Ed/i, dx da

en faisant, pour abréger,

dx d-x dv d2x

da dtdb db dtda

dx d2x dx d-x

~ da dtdc de dtda

dx d-x dx d-x ~â7i dTdf ~ ~dj dtda

dx d'x dx d2x ~~ da dtdg dg dtda

dx d-x dx d3x da dtdh dli dtda

Mais, pour mieux conserver la signification de ces formules, nous emploierons à la place des lettres A, B, C,... les symboles (x, a, b), (x, a, c), (x, a,/),... ; ainsi l'expression

dx d'x dr d2x db dtda da dtdb

sera représentée par [x, b, a), parce qu'elle ne diffère de celle de A que par l'échange des lettres a, b; et, comme elle est égale à — A, il s'ensuit que l'on aura

Donc, en général, l'échange des lettres qui suivent la lettre x ne fera que rendre la quantité négative; et l'on voit aussi que (x, a, a) = o.

De cette manière j'aurai

dQ dx

-j- -=- dt = {x, a, b) db ■+- (x, a, c) de + (x, a, f) df 4- [x, a, g) dg -+- (x, a, h) dh.

Les mêmes équations étant multipliées, la seconde par -rr et la pre-

d'x mière par -7777-' et ensuite retranchées l'une de l'autre, donneront

diï dx

—, .-.- dt = — (x, a, b) da ■+- {x, b, c) de -+- (x, b,f) df-+ {x, b, g) dg-h (x, b, h) dh,

équation qu'on peut déduire immédiatement de la précédente par l'échange des lettres a et b entre elles, et en se souvenant que

Par le même procédé, mais prenant -j- et -j-j- pour multiplicateurs,

dil dx

-j— —j-- dl = — (x, a, c) da — (x, b, c) db -y- (x, c,f) df-\- (x, c, g) dg -+- (x, c, h) dh,

ce qui se déduit aussi de la première en y changeant a en c et c en a.

Continuant ainsi, on aura encore trois autres équations qu'on pourra déduire successivement de la première, en y échangeant a en/, en g, en h, et vice versa.

dil dx

—r- —rr- dt = — (x, a,f) da — (x, b, f) db — (x, c,f) de -+- [x,f, g) dg -h (x, /', h) dh,

diï dx

-j— —r-. dt— — (x, a, g) da — (x, b, g) db — (x, c, g) de — (x,f, g) df -t- (x, g, h) dh,

-y— -jr dt = — {x, a, h) da — {x, b, h)db — {x, c, h) de — [x, f, h) df — (x, g, h) dg.

~ 1 .,, , .. 111 dQ, dr dQ, dy

On aura de pareilles équations pour les valeurs de -5 —-, -r- -jri---i

r 1 r dy da dy db

et pour cela il ne faudra que changer dans les précédentes x en y, et l'on

, .,, , , , dQ dz dQ dz

en aura encore de pareilles pour les valeurs de —. — r-) -j- -rri-- ■■> en r r dz da dz do

changeant simplement x en z dans celles qu'on vient de trouver.

Maintenant, si l'on ajoute ensemble les valeurs de -j j-î -j- -j-j

J a.r a« ay a«

j— -5-) et qu'on se rappelle que 0 n'est fonction que de x, y, z, x', y',

z' ,..., et que les constantes a, b, c,f, g, h ne sont contenues que dans x, y, z, il est visible qu'on aura

et par conséquent

dQ, , -r-dt = da

dQ dx ___ dQ dr

dQ dz

dx da ' dy da

dz da

[O, a, b) + (y, a, b) -h (z, a, b)]db [{x, a, c) 4- {y, a, c) -+- (z, a, c)] de [(x,a,f) + (y,a,f) + (z,a,f)]df [{x, a, g) + {y, a, g) + {z, a, g)] dg [(x, a, h) -+- {y,- a, h) -t- (z, a, /»)] dh.

5. Pour avoir les valeurs des coefficients de db, de, df,... dans cette équation, il faudrait substituer dans les expressions de (x, a, b), (y, a, b), (z, a, b), {x, a, c),... les valeurs elliptiques de x, y, z en t et a, b, c, f, g, h, et exécuter les différentiations partielles relatives à ces quantités; et il est facile de voir qu'on aura pour les coefficients dont il s'agit les mêmes fonctions des quantités t, a, b, c, f, g, h, soit que les six dernières soient supposées variables ou constantes. En les supposant constantes, les valeurs de x, y, z satisfont aux équations

dl'

diz

~~dV

quelles que soient ces constantes, puisqu'elles sont arbitraires. Donc les mêmes équations seront encore satisfaites si l'on donne à une de ces constantes, comme a, l'accroissement infiniment petit et constant da. Or il est clair que les accroissements correspondants de oc, y, £ seront

« . dx dr , » dz

àx = j— oa, àr = -— ta, oz = -,- àa, da J da da

et ces valeurs devront par conséquent satisfaire aux équations précédentes différentiées suivant la caractéristique §. Pour simplifier ces différentiations, je mets les équations dont il s'agit sous cette forme plus simple et équivalente

~dF ~

d-y ~dT

dl-

et, différentiant suivant â, j'ai, à cause que les caractéristiques d et S sont censées indépendantes entre elles, et que par conséquent dd2 est la même chose que d2 â,

d-àx ^ I r r

dt- ~ ' \dx"- dxdy

dxdy """ ' c//2

rf ,

ëz

rf'A

cfy* c/s

dz2

èz

d oz . ( /• r <

— tv- = ( 1 -h m ) \ -= — î- oa; -f- -, — 7- c c^2 v '\dxdz dydz

et ces équations seront satisfaites également par les valeurs

dx=~§a, ôv=^Sa, èz=~§a, da J da da

et par celles-ci

ox = -rr- §b, dy=-jr àb, dz = -77- àb, db J db do

ou par

, dx . , rir , dz ,

o\r = — r- oc, or = -y- de, ôz = -=- oc, ac ^ de de

et ainsi de suite, en prenant pour da, db, 8c,... des constantes infiniment petites.

Substituons les deux premiers systèmes de valeurs de dx, dy, dz dans la première équation; elle donnera, en divisant par da et db,

d3x l r dx r dr r dz

dt2da \dx2 da dxdy- da dxdz da

d3x , A r dx r dr r dz

dt-db \dx2 db dxdy db dxdz db

Soustrayons la première multipliée par -rr de la seconde multipliée par -j— ; on aura

dx d3x dx d3x

da dfdb db dl-da

r (dx dr dx dy\ r /dx dz dx dz\ I

dxdy\da db db da) dxdz\da db db da) J

Les mêmes systèmes de valeurs de dx, dy, dz étant substitués dans la seconde équation, il en résultera deux autres, dont la première, multipliée par -jj- et retranchée de la seconde multipliée par j-> donnera

dr d3y dr d'y , %

da dt-db db dl-da x

' dx dr dx dr\ f f dr dz dr dz

dxdy \db da da db J dydz \da db db da

Enfin la troisième équation, traitée de la même manière, donnera celle-ci

dz d3z dz d3 z

dâ IFdb ~ db dFdâ ~ '1 + mJ I 7/w7 \ wtT 7T, ~ IH 7/Â

r Idxdz dx dz\ r (dy dz dy dz\ I

dxdz \db da da db) dydz \db da da db) J

Qu'on ajoute maintenant ces trois équations ensemble, le second membre s'évanouit, et l'on a simplement

— ^x c^x d3x dy d\y dy d'y dz dàz dz d3 z

da dt- db db dV-da da dfdb ~~ db df'da + da dTdb ~~ db df'da ~~ °"

Comme il n'y a proprement que le t de variable dans cette équation, elle est évidemment intégrable, et son intégrale est

dx d2x dx d-x dy d2y dy d2y dz d2z dz d'z da dtdb db dtda daJLtdb db dtda da dtdb db dtda

K étant une constante qui pourra être fonction des constantes a, b, c, A g, ^

Or il est visible que le premier membre de cette équation n'est autre chose que ce que nous avons représenté par

ainsi la valeur de cette expression qui forme le coefficient de db, dans

la valeur de t— dt donnée ci-dessus (4), sera indépendante de t et ne

sera que fonction des sis éléments a, b, c,f, g, h\ et, pour avoir cette

fonction, il n'y aura qu'à rejeter tous les termes dépendants de t dans

dx d? x l'expression dont il s'agit, après la substitution des valeurs de y-, . , ,

-^t-vi déduites des valeurs elliptiques de ce, y, z.

On trouvera par une analyse semblable, en faisant varier successivement les autres constantes c,f, g, h des différences infiniment petites et constantes de, 8/,..., et employant des réductions analogues, que la valeur de l'expression

sera indépendante de t, ainsi que celle des autres expressions analogues qui forment les coefficients de de, df,... dans la valeur de -r- dt. VI. 92

73a MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS

6. Dénotons par les symboles [a, b), (a, c), (a, /),... les valeurs des expressions

dx d2 x dy

d2 y dz

dy d2y

da dtdb da

dt db da

dtdb ~

"db

dtda

db dtda

~db

dtda

dx d'x dy da dtdc da

d'y dz dt de da

d'z dt de

dx ~7ïc~

d'x dt da

dy d2y de dtda

dz de

d2z dt da

dx d-x dy da dtdf da

d'y ^ dz dtdf + da

d'z dtdf "

d-x dtda

dy d2y ~"clf dtda

dz df

d'z dt da

lorsqu'on y fait disparaître tous les termes qui contiennent t, après les substitutions des différences partielles des valeurs de x, y, z; on aura cette formule très-remarquable

~ dt = (a, b) db +\a, c) de -t- {a, f) df-+- (a, g) dg + {a, h) d/i.

En procédant de la même manière, après avoir ajouté ensemble les

trois quantités

dû d^ ^fJLri àù dz

dx db dy db ' dz db '

dont la somme est égale à -jj-dt, et fait des opérations analogues, on aura la formule

—jf-dt=— (a, b)da+ (b, c) de -+- (b, f) df -+- {b, g) dg -f- (b, h) d/i,

dans laquelle les symboles (b, c), (b,f), (b, g),... dénotent les valeurs des expressions

dx d2 x dy d2y dz d'z dx d2x dy d'y dz d'z db dtdc db dtdc db dtdc de dtdb de dtdb de dtdb'

dx d2x dy d'y dz d'z dx d2x dy d'y dz d2z ~db dtdf + db dtdf + db dtdf ~~ ~df dtdb ~ ~dj dtdb ~~ df dTdb'

dx d2x dy d'y dz d'z dx d2x dy d'y dz d'z db dtdg db dtdg db dtdg dg dtdb dg dtdb dg dtdb

lorsqu'on en fait disparaître le temps t après les substitutions.

Et l'on voit que cette formule peut se déduire de la précédente en y changeant entre elles les quantités a et b, et observant que

comme cela se voit par les valeurs des symboles (a, b) et {b, a); et cela a lieu, en général, pour tous ces symboles.

On aura donc ainsi les quatre formules correspondantes

-r1 dt = — (a, c) da — \b, c) db + {c, f) df -+- ( c, g) dg + (c, h) dh,

dQ, df

-j- dt = — {a, g) da : — ( 6, g) db — ( c, g) de — (/, g) df -f- (g, h) dh,

dû dh

dt = — {a,f)da— {b, f) db — (c,f) de + (/, g) dg ■+- (/, h) dh,

dt = — (a, h) da — {b,h) db — {c, h) de — {f, h) df — {g, h) dg.

7. Il est bien remarquable que les différences partielles de la fonction Q,, relatives aux constantes arbitraires, puissent s'exprimer ainsi par des fonctions différentielles de ces mêmes constantes sans que le temps ty entre. Il s'ensuit qu'on pourra également exprimer les différentielles -r-î -;-> -?-'■•■ par les différences partielles de la fonction il dt dt dt l r

relatives aux éléments a, b, c,..., multipliées par de simples fonctions de ces quantités sans t; car il n'y aura qu'à déduire les valeurs de ces différentielles des six équations précédentes par les méthodes ordinaires de l'élimination, et il est visible qu'elles seront toutes de la forme

V da db de df dg dh)

dans laquelle les coefficients A, B, C, F,... ne seront donnés que par les coefficients (a, b), {a, c), (b, c),..., et ne seront par conséquent que de simples fonctions des éléments sans t; ce qui fournit un Théorème trèsimportant et très-utile dans la Théorie des perturbations des planètes.

Il est bon de remarquer encore que la même analyse servirait également si l'attraction, au lieu d'agir en raison inverse du carré des distances, suivait la loi d'une autre fonction quelconque de la distance. Car soit, en général, r la distance, et supposons que l'attraction, au lieu

d'être proportionnelle à — ■> soit proportionnelle à <p (r.; il n'y aura qu'à mettre dans les équations différentielles les termes — - — ■ * -• sous la

forme

dx dy dz

et remplacer ensuite - par — / <p(r) dr. De même, dans la fonction ù, il faudra mettre

d I o(r')dr' d /<p(i'' )dr' d fcp(r')dr' dx' dy' dz'

à la place de — ■> —• — > et — j (p(p')dp' à la place de —■> en supposant,

pour abréger,

et ainsi pour les quantités affectées de deux traits, —

Enfin, si l'on voulait aussi avoir égard à la figure des planètes perturbatrices, il n'y aurait qu'à substituer pour la planète m', à la

place de m' j cp(r')dr', m' I o(p')dp', les quantités ^dm' j cp(r')dr',

Wm' / (p(p')dp', en supposant que les rayons r', p' soient dirigés à

chaque élément dm' de la planète m', et que l'intégrale dénotée par la

caractéristique "S soit prise pour toute la masse m', en ne faisant varier

que les coordonnées qui déterminent la position de dm' relativement au centre de la planète, et regardant comme constantes les coordonnées x', y' , s' de ce centre; et ainsi pour les autres planètes. Cela suit du Théorème

que j'ai donné en 1774. dans l'Article XII de la Pièce Sur l'équation séculaire de la Lune. [Voyez le tome VII des Savants étrangers (*)].

8. Nous venons de montrer comment on peut obtenir les valeurs des différentielles de tous les éléments par les différences partielles de la fonction Q. relatives à ces éléments. Mais, pour le grand axe, j'ai trouvé, il y a longtemps, que sa différentielle peut s'exprimer par la différence partielle de Q. relative au temps t, en tant qu'il entre dans les valeurs elliptiques de x, y, z. On parvient à ce résultat par la considération suivante.

Soit $ = o une des intégrales des trois équations en x, y, z dans les cas où les termes dépendant de O sont nuls; la quantité $ sera fonction

de x, y, z, ~j-, -j-, -r-, et de a, b, c, . . . , ou de quelques-unes de ces

quantités seulement. En regardant a, b, c,... comme constantes, l'équation d<$ = o devient identique par la substitution des valeurs de x, y, z en t et en a, b, c,...; mais en les regardant comme variables et dénotant par la caractéristique § les différentielles relatives à ces variables, tandis que la caractéristique ordinaire d se rapporte à la variable t, la différentiation complète de $ donnera l'équation d<& -)- <M> = o; et comme rf$ est identiquement nul par l'hypothèse, on aura simplement ô$=o. Or il est facile de voir que l'on a

d$ eŒ> d$ d$ ôdx rf$ §dy d$ dth

dx dr dz ,dx dt . dy dt , dz dt

dt dt dt

d$ , d$ ,, d® , -t- -;— da H — n- do h — =- de -t- . . . . da do de

Mais on a vu au commencement (3) que les conditions de la variation des éléments sont

èx = o, èy =0, èz = o,

ôdx dû . èdy dû d( Sdz __ dQ d( . dt dx ' dt dy ' dt dz '

(*) OEuvres de Lagrange, t. VI, p. 348.

donc on aura l'équation

d<$ dQ d<i> dQ d$> dQ\ , c/$ , d$ „

— j 1 1 t j •" — r~ -j— \ dt H r- da-i — tj- do -i- . . .— o.

. dx dx dy dy dz dz I da db

C dt ' 777 (77 /

Il s'ensuit de là que, si la fonction 0 ne contient qu'une seule des constantes arbitraires a, b,..., on aura sur-le-champ par cette équation la valeur de sa différentielle dégagée de toutes les autres.

Ainsi, en prenant l'intégrale connue

dx- + dy2 -t- dz2 , ( i i \

o.dt2 \r iaj

laquelle résulte immédiatement des trois équations fondamentales

dt2

dt-

d2z ~dF

multipliées respectivement par dx, dy, dz, et ensuite ajoutées ensemble, et dans laquelle on démontre facilement que la constante arbitraire aa représente le grand axe de l'ellipse, la formule précédente donne tout

de suite

dil , dQ , dil , s , i

j— dx -\ — ;— dy -+- -r- dz -+- ( t -+- m ) d — = o ;

dx dy dz ia

et, comme ici les différentielles dx, dy, dz se rapportent uniquement à t, il est clair que cetfe équation peut être représentée plus simplement par

dû s , i

— =- n dt -+- ( t -l- ni) d — = o, ndt ia

de sorte qu'on aura

, 2 a2 dil , da = — r n dt.

i ■+■ m il dt

J'écris ndt dans la différentiation partielle de 0 pour qu'on ne fasse varier le t qu'autant qu'il sera contenu dans x, y, z, où il est multiplié par n.

Telles sont les formules les plus simples pour la variation des éléments des planètes. Nous allons les employer d'abord pour la variation du grand axe.

Variation du grand axe.

Première approximation.

9. La variation du grand axe ia est la plus importante, parce que celle du moyen mouvement m'en dépend à cause de n = i/ — f—U et le

point principal est de déterminer si la différentielle da peut contenir un terme constant, tel que Kdt; car ce terme donnerait K^ dans l'expression de a : d'où résulterait un terme proportionnel à l2 dans celle du mouvement moyen, lequel donnerait une équation séculaire croissant comme le carré du temps.

Comme les variations des éléments dépendent toutes des différentielles partielles de la quantité £1, qui est une fonction algébrique des coordonnées x, y, z, x', y', z', x", y", z",... des planètes m, m' , m",..., il faut commencer par substituer, ou du moins supposer qu'on ait substitué dans cette fonction les valeurs elliptiques connues de ces coordonnées, lesquelles sont fonctions de ém{nt, cos nt et des éléments a, b, c,f, g, h pour la planète m, et fonctions semblables de s'inn't, coin' t et des éléments a', b', c',f, g', h' pour la planète m', en faisant n'— i/ — - — > et ainsi pour les autres planètes.

De cette manière la quantité ù deviendra fonction de sin nt, cos nt,

sinri t, cos rit et de a, b, c,f, g, h, a', b', c',f', g', h',...; et, comme

les valeurs des coordonnées peuvent être réduites en séries de sinus et cosinus d'angles multiples de nt, ou rit, ou ri't,..., il est facile de voir que la fonction Q pourra être réduite en une série de sinus ou cosinus d'angles tels que int -+- i ri t -t- i" ri' t +..., en dénotant par i, i', i",... des

nombres entiers; ces sinus ou cosinus ayant pour coefficients des fonctions des éléments a, b, c, f, g, h, a', b', c',

La première approximation consiste à regarder dans la fonction il tous ces éléments comme constants; alors un terme quelconque de cette fonction sera de la forme

i sir. / . ., , .„ „ \

1 X int -+- l' n t -4- i" n l -4- . . . ) ,

cos \ )

le coefficient /étant une quantité constante.

Comme dans la différence partielle — -f, il ne faut différentiel' que par

rapport au terme nt, où t est affecté de n, on voit que le terme dont il s'agit donnera dans la valeur de da le terme

ia' lin -+- cos / . ., , ... „ \