X . \uit -+- l' n' t -+- l 'n "t

i-\- ni — sin \

et par conséquent dans la valeur de a le terme iina? I sin

1 1 -+- m ) ( in -+- i' n' -4- i" «"-+-...) cos

int -j- i' n' t ■+- i" n" t -+- . . .

d'où l'on voit qu'il ne peut jamais en résulter des termes proportionnels à t, à moins que l'on ait

in -+- i' n' -h i" n" -4- . . . = o,

ce qui est à peu près impossible, vu l'incommensurabilité des coefficients n, n', n",..., dans notre Système planétaire.

C'est ainsi que j'avais démontré, dans mon Mémoire de 1776, ce Théorème important, que les grands axes des planètes ne peuvent être sujets qu'à des variations périodiques, et non à des variations croissant comme le temps (*). Mais ce Théorème ne pouvait encore être regardé comme exact qu'en se bornant à la première approximation, dans laquelle on fait abstraction des perturbations qui font varier tous les éléments a, b, c,/, g, h, a', b', c

(*) OE livre s de Lagrange, t. IV. p. 255.

Seconde approximation.

10. Dans cette seconde approximation, nous aurons égard à la variation des éléments qui entrent dans la fonction ù; et, comme ces variations sont fort petites parce qu'elles dépendent elles-mêmes des différences partielles des fonctions 0, Q',..., dont tous les termes sont multipliés par les masses m, m', m",. . . , qui sont des fractions très-petites, on simplifiera le calcul en décomposant chaque élément en une partie constante et une partie variable très-petite, qu'on pourra dénoter par la caractéristique A, et traiter comme on traite toutes les différences finies. De cette manière les éléments a, a', a",..., b, b', b",..., c, c' , c",... deviendront a-\- Aa, a' -h Aa', a" -h Aa" ,..., b 4- Ab, b'-h Ab' , b"-h Ab",..., c -+- Ac , c' -h Ac' , c"-\- Ac" ,..., où a, a', a",..., b, b', b",..., c, c', c",... seront dorénavant des quantités constantes, et Aa, Aa', Aa",..., Ab, Ab' , Ab",... seront les seules variables; par conséquent les différentielles des éléments da, dà , da" db, db' , db" ',... deviendront simplement dAa,

dAd , dAa",..., dAb, dAb', dAb"

En faisant ces substitutions, et développant ensuite par la méthode connue suivant les puissances et les produits des différences Aa, Aa' , Ab, Ab',..., la fonction Q deviendra Q -+- AQ -h\A'Hï +..., et l'on aura

dQ . dQ .. dQ , dû A „ dû . dQ

-j— Aa -+- -jr Ab -+- -=- Ac -t- -777- A/ ■+- -1— Ag ■+■ -rida db de df J dg ° dli

dQ. . , dQ .,, dQ. . . dQ .., dQ . , dQ .., -j-r Aa' -t- -jtj Ab' +T7iic,4--777A/'+T7 Ag-' -4- -jrj Ali' da' db' de' df •' dg' ° dli'

. „ d*Q . , d'Q . .. d'il . .

A2Û = -î — Aa- -t- 2 -, — 77 AaAb -t- 2 -. — r- AaAc da- da db da de

et. la formule de la variation du grand axe deviendra

2(a + Afl)'/rfû dAQ 1 dA>Q \ u

dAa= — - — r- H jr- ^ j— +.,. ndt.