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quation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII); si l'on voulait avoir le terme suivant, c'est-à-dire celui qui contient le carré de l'excentricité, il n'y aurait qu'à mettre au lieu de x, dans les termes — n(6p., — 3/,) a?, et — 3nix,x1 des équations (G), (H), la valeur de x, qu'on vient de trouver.
On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,
—7— - -t- M?X, — 71(6 a? — 3/1) — C0S2(Mi'- -+- M,) = o, r/y, e2
La première de ces équations donne (Article XXXIV)
i\ cos2(M, t -h 03,)
x, = E, cos(M, t -+- w,) — n{6y.2 — 3/,)
c'est-à-dire, en mettant au lieu de/, et de M* leurs valeurs approchées p» (Article XLV),
x, = e, cos(M, t + &),) — n— C0S2(M, t -h a,).
Donc, substituant cette valeur de x, dans la seconde, et l'intégrant ensuite, on aura
y, = — -rÇ- e, sin(M, J -t- &),) -t- n~r- e. sin2(M, t h- eu,). J M, 4M>
Ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs; mais nous verrons plus bas qu'il y a dans l'équation (G) d'autres termes qui influent considérablement sur l'équation du centre, et qui empêchent qu'on ne puisse regarder l'expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l'on néglige les quantités de l'ordre n.
Il en faut dire autant de l'expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL); mais avant que d'entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de M et de N (Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.
§ I. — Premières valeurs du mouvement des apsides et des nœuds des satellites.
Nous avons trouvé (Article LXXVI)
M" = 3f*ï — if, — nf, [xiïl{a„ a,) -4- x3n(«,, a3) -+- ^,n(a„ a,) ■+- jK, -4- jv.,] ; or, on a généralement (Article XXIX)
£ d'où
et par conséquent
f = y.\{i -t-ngi);
donc, négligeant les termes affectés de n, on aura
Mj = /x* [i — 2«g-, — «X2ll(ai, a,) — ra^,II(a,, a3) — w^H(a,, a,) — |K, — {«*,]. Maintenant on a par l'équation L, =g, — . . . de l'Article LXXVI
donc
M= = /x| )^i — »^3 [n(«,, a,)-+-2Ï («,, a,)] — rex3[n(a,,a3)H-2r(fl,, a,)]
— re^j [lî(a,, «))+2r(a„ «<)] — |«Ki— j«k,— 2/1L1 — 4reiu-iHi J,
les quantités L(, H, devant être déterminées par la condition que les équations (G), (H) ne renferment aucun terme constant.
Pour remplir ces deux conditions, on supposera que (x\) soit la quantité constante qui entre dans la valeur de x\; car la valeur de x, étant composée de sinus et de cosinus, il est évident que le carré x\ contiendra nécessairement des termes constants, quoique x, n'en contienne point; de même, soient (z\), (Y*) les quantités constantes qui entreront dans les valeurs de z\, \\\ on aura donc
./; L - n(6fj.] — 3/,) [x\ ) — \nfl{z\) — nf](Y]) = o, — /, H, - 3npt [x\ ) = o;
d'où l'on tirera L, et H,, qui seront de l'ordre de n;. c'est pourquoi on peut négliger dans la valeur de M^ les quantités 2nL, et 4 n p. , H , , qui seraient de l'ordre n2.
Donc, si l'on fait, pour abréger,
ë, = yi,[U(a„ a,) + af(a,, a,)] +Xs[n(a,, as) -+- zf (a„ a3)'\ -+- Xi [H (a,, «4 ) -+- 2r(a,,«4)] -4- }K, -+- fx,,
el de même (Article IX)
S, = X,[n(a„ a,) 4-ar(fflj,a,)] + 5Cs[H(aJ, a,) + ar(a2, «,)] -t- X4 [n(a2> a4) + 2f(flî, a4)] + |K, + fx2,
ê, = x< [fi(ffl5, «,) -i- 2r(a3, «,)] + x^ [n(a3, a») + ar(«3, «,)] + X4[n(a3, «s) -+- 2jf(a3, a„)] +|K3-(- f-x3,
ë4 = ^ [n(a«, a,) + ar(a4, a,)] H- ^2 [ft(a4, a2) + 2r(a4, «2)] + X3[H(«4, «3) +2T(a4, a.,)] -+- f K, -4-fx,,
on aura
Mî = /x|(i — «§,)> M, = //,(l — jrtë,),
M^ = fx=(i — nê2), Mj = f*i(i — i»6,);
et ainsi des autres.
Or le mouvement de la ligne des apsides étant au mouvement moyen
comme p. — M à \j. (Article XXXVII), cette ligne avancera pendant une
„ g révolution de — 36o°, d'où l'on connaîtra le mouvement des apsides
de tous les satellites.
Pour évaluer en nombres les quantités 6, il faut commencer par chercher les valeurs des quantités U(a,, as) lesquelles dépendent des
quantités A(at, a2),..., c'est-à-dire des coefficients de la série qui repré-
sente la quantité radicale (i— sqô -+- q2) 2 (Articles XX et suivants). Soit donc, comme dans cet Article,
{i — 2qcosd + q2) 2 = (A) + (B) cos9 -+- (G) cos2 0 -+- . . ., on aura, en faisant q = — et 6 = <p2 — y, ,
[a2 — 2û!,ajC0S-(<pj— <p,)-t-a2] 2=a75[(A)-t-(B)cos(cpa— <p,)-4-(C) cos 2(^2—9, )+... |; donc (Article XXI)
A(al,a,) = a-6(A), A{al,a2) = a-i{B),
De même, en taisant q = — » = —,..., on aura
A (a,, as) = a7s(A), A, (a,, a,) = a~5(B),. . .,
et ainsi de suite; où l'on remarquera que les quantités réciproques
A(a2, at), A(a3, a,), . . . sont les mêmes que les quantités A(at, a2), A(a,,a3),... (Article XLIII).
Cela posé, on trouvera (Article XXII), q étant égal à —
Hfa,, a,) = 3 r3 ■>
ia\
iw« a, g(D)-ag'(C) + g(B)
et de là, en faisant, pour abréger,
Il 5
on aura par l'Article XXIV
n(a„a,) = 3g2Pl-298P-g»A,
fr / \ ,g2P*-2g3P,-t-2g2P
On trouvera des expressions semblables pour les fonctions 11 de (a, , a3)
(a2, a3), . . . , en faisant y = — ■> = — » —
De la même manière on trouvera que l'on a, g étant encore égal à —,
„, , çr(B) — 2(A)
Et {a„ a,) = i-5— ! — i-u !, 2a,
n,(fl,>a,)=g(C)-2(B) + a^A), n,(fl,,a,) = ^i))-a(C) + ^B)>
d'où, en faisant
on tire
n,(a„a,) = 3?Q'-aQl + agQ-B,
nî(aa>a,) = 3ga-2Q^gQ1-C>
expressions qui serviront aussi pour les quantités Û (a3 , a, ) , U(a3,a2),'..., en faisant successivement q= ',« = —, —
Ayant donc l'ait le calcul de ces différentes quantités, j'ai trouvé les valeurs suivantes :
4,og5
— io,335
— i,5io
(«n ai)
(fl4, a,)
(aÂ, a.)
ïï
A l'égard des valeurs de T(a, , aa), ... , nous les avons données cidessus (Article XL VII), aussi bien que celles de «K,, nK2, ■ ■ ■ (Ar-
ticle XLIX); et pour ce qui est des quantités nx = v — (Article XXIX)
on aura, en faisant A, demi-diamètre de Jupiter, égal à i, et mettant pour a(, alt... leurs valeurs (Article XLVI), on aura, dis-je,
nx, = o,o3i iov, nv., = o,oia34v, mx3 =: o,oo484v, tik> = o,ooi56i/,
la quantité v dépendant de la figure et de la constitution intérieure de Jupiter, comme on l'a vu (Article XVI).
