LXXX1X
Il est donc nécessaire d'avoir une méthode particulière pour intégrer les équations (G), (K); on verra dans le paragraphe suivant comment je m'y suis pris pour arriver à ce but; mais il faut commencer ici par voir quels sont les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard.
Pour peu qu'on examine l'équation (G), on reconnaîtra aisément que
les termes dont il s'agit viennent uniquement des termes qui renferment
#2COS(^s — ^i )t, X3COS([J.3 — p.\)t, X4COS(p.4 — (J-i)t,
j2sin(f*s — ix,) t, j3sin((L/.3 — £,) t, j4 sin(p.4 — p.,) t, I XtSinifjL, — fj.,)tdt, ! x3sin(ij.3 — y.,)tdt, / ,r4 sin^ — p,)ldt, j y\ cos (p, — [jL,)t dt, I y3 cos ( p.3 — fjti ) t dt, I y\ cos (fi, — fx, ) t dt,
en tant qu'on y substitue x2, x3, x4 ; y2, y3, y4, à la place de x2, x3, xk; J2.J3. J«; de sorte qu'on pourra réduire cette équation à celle-ci
IF
— nf,x2^ri{al, a2)x2cos(f/-j — y,
— n/tx^iia,, a3)x3 cos(fx3 — y.,
— nfn^i («i, «0x4 cos(/x4 — fi) ' + '|/iX'f'(»'l a2)y2sin(fx2-p, + «/iX3f,(a„ a3)y3sin(fx3 — p.4 -t-n/, Xi f,<a„ a4)y4sin(p.4 — f/,
+ 2«/; ^1,^, ^F,(a„ a2) / x2sin(^ — y.,) <</< -+- an/i^xa^ilan «3) I x3 sin(^3 — y.,)tdt -+- inf, fx,X/F,(a,, a4) / x4sin(//4 — y.,) <(/< -(- 2/i/î y., x,2r,(rt,, a2) / y2cos(p.2 — yt) tdt -+■ 1 nf{ y, x» T, ( a,", a,) / y3 cos ( |U3 — y, ) < ofa -I- a'n/î./X|.X4ri(«i, «4) / y4cos(fx4 — f*,) tdt = a.
A l'égard de l'équation (K), on trouvera qu'elle se réduit de "même à celle-ci
— nf, /,r2(a,, «,) z2cos(p.2 — ;*,)*
— «/, x3r, (a,,a3) z3cos{fj.3 — jj.,)t
— nf, Xi fi («i, «4) zt cos(p., — p., ) ; = 0.
Comme notre dessein n'est pas d'avoir égard dans les valeurs de x, y et z aux termes de l'ordre n, mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations (L) et (N) tous les termes qui se trouveront affectés de n2, parce que ces termes seront encore de l'ordre n après l'intégration.
Or les équations (G) et (H) donnent, en rejetant les termes affectés
de n,
-+- af/., Xi = o ;
d Xi
dt-
dv,
dt
d'où l'on tire
dy, 2fjt,
~dt ~ M]
d-x, ~UF~
et, intégrant,
dx,
dt
il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules; on trouvera de même
ap2 dxi 2jj.3 dx3 2fz4 dxA
Mf Ut ~ °' J'3 ~~ Mf Ut ~ °' Ji ~ M] UT
donc, substituant ces valeurs de y2, y3, y4 dans l'équation (L) de l'Article précédent, on changera les termes
«/ X' r.(«., a,)y2 sin(f/.2 — (*,) t
■ nf, X3 f ,(«„ a,) y3 sin(p.3 — p., ) ?
■ «/, x* ï, (a„ a4) y4 sin(p4 — #,) *
en ceux-ci
et les termes
en ceux-ci
-/jus; , dx-, . ,
2 »/ X' ^5 T, ( a„ a2) -^ sin (p2 — p., ) /
aB/jC« ^ r,(a„ o»)-^ sin(p3 - f/.,) «
2W/<X« jjjl r,(a„a4)-^sin(p4-p,)',
2«/, p, ^2ri(a„ «2) I yscos(p: — fx,) f df -t- 2»/, fjt,^3r,(a,, «3) /y3cos(tt3 — [J.,)tdt + 2"/. F" X*!'' («" «0 / y4 cos (p,, — p., ) t dt
4»/ip->%2 ^r,(a„a2)J ^ cos(p.2 — p,)*tf* ■4n/fti3C» jjpT^a»a*) ~Jf cosi^ — fj^tdt ■ 4»/.f*ifc "^1 r,(a„ «OJ ^ COs(p4 - p,)*<fr>
que l'on peut encore changer en ceux-ci
^nf^-'te jjjp î.(ai,o»)xjcos(ps — fi,)f
+ 4«/!|^.5C3 Tp- r,(a,, a.,)x3 cosffji, — f/,)/
+ 4 nf, y., x> -jjjjr T, ( a, , a« ) x4 cos ( f/4 — ,u, ) <
+ 4re/ÎHi& ^"^t-^- r,(a„as) I x2sin(fi, — /*,)*</*
+ 4»/MiX3 ^ ^7— r,(«i,a3) jx3sin(F.3-[j.x)tdt
+ ^nf,fxlXA '"' mT ^ îi («■,<*«) I x4 sin(^.4 — fx, )/(/<.
Par ce moyen, l'équation (L) ne contiendra plus que des termes de la forme de
x2cos(f*2 — ix,)t, -y- sin(/^2 — [Ât)t et | x2sin(/ji2 — ^)tdt.
Je reprends maintenant l'équation
^2x, ... -j— -+- Mfx, = o,
laquelle, étant rapportée au second satellite, devient
-j-2. + M2x2 = o; dt1
je multiplie cette dernière par sin(|i2 — p.t)t'dt; je l'intègre, j'ai
I —j—- sin( /jl2 — ij.t)tdt -+- M2 I x2sin(fji2 — (j.,)tdt = o;
je change l'expression
frfix> • , j
en son équivalente
^ sin (p., — p., ) t ,— (p2 — p., )x2 cos (p2 — p., ) t — ( p2 — p., )2 / x, sin ( p2 - p., ) < dt ,
et il me vient l'équation
dx C
^sin(p.2-p.,)/-(p2— p.,)x2cos(p.2— p.,)M-[M* — (p2-p.,)J]J x2sin(p.2— fJ.l)tdt=o;
d'où je tire
tfx,
(p.2- p.,)x2cos(p2- ^)t—-jf sin(p.2 -//,)<
/ X, sin(u.2 — u,)tdt= sr: ; û
Je trouve, de la même manière,
dx, (p.3 — p.,)x3cos(fX3 — p,)t— -jj sin(p., — p.,)*
J *3sin(f,3-P.,)^= - mi[p^F[f -
tfx, . ,
(p., — p.,)x, cos(p., — p.,)* — "^-sin(P< — f*')*
Jx4sin(^-^)*rfl=- M; (fJt< ,,,), —
On fera toutes ces substitutions dans l'équation (L), moyennant quoi elle n'aura plus que des termes de la forme de
dx2
x2cos(p.2 — p.,)/ et -t- sin(pz— p.,)*.
Donc si l'on fait, pour abréger,
*,K,fl,)=?,(«,,«,)-4ffir,(«,^
f,K,^=f,(«c,«j-4^f,(«,1«j-[2?,K,«J + 4^f^f,(«l,«j]ji^
(ft-ft)2
et de plus
n,K, «,) = ^P r,(fl„ «,) + [>?,(«,.«,) + 4 ^f^ r,(«„ ^)]M, J .y
n, («„ «,) = =gp r, (a„ «3) + [*?,(«„ «,} + 4 ^j^ ?,(«„ «3)] M,(^;^>
ft, («,; «,) = =|p f,(a„ «,) + [*?,(«„ «,) + 4 ft,(^7't') ?. (V, ^)]m^-(p|- ;.,)''
on aura, pour le premier satellite, l'équation
(MO^-J-Mïx,
— «/^.(«..ajx^cos^— F')' — '*/iX-in,(«,,aJ)-^sin(fx2— /*,)*
= = rfx
— re/1 XsYi^ai, «3)x3 cos ( fxa— [J-i)t — nfîxi fl, (a,, as) — sin ( p.3— ^,) /
3 o dX
-«/,X4Xîrc(aii«<)'X4 cos(j^4— ^.,)< — n/ix<n,(a,,a4)-^ sin ( /x<— ^,) * = o ;
et de même pour les trois autres satellites
(M^ + Mî*
"tfiX'^ 1 («2, «,)Xi cos(fx,— fj-i)t — nfiJs n,(«2, a>)—/T sin{ fj.t— fj.,) t
— nfix^* («j» «3)x3 cos (/^,.— /x,) < — «/2X3 fi[(aj, a3) -i-3 sin (/a3— ^,) *
dx4
'B/'X<*'(fl!i a<)Xi cos(p, — y-î)t— n/2^, flitaj, a4) 37 sin ( |V— f*a) < = o,
= dx
— «/33C.^.(«s,ffli)Xi cos (p.,— (J.3)t — M/8x,n,(a3,ai)-^sin(/x, — /x3)*
— ra/a^.^.a^cos^,— /Jt-s)^ — »/3X2n,(a3, o.^-— sin(p2— [i,)t
dxi
— nfil> y< («3, «4)x4 cos(p4— f*.) f — n/>x< n,(a„ a4) -^- sin ( fx4— ^3) f = o,
(MO^r + Mjx,
— »/«x>^rila«'«i)x' cos(fJi,-— /*4)f-^râ//x,n, (a4,ffli) -W sin((jii— fi4)<
— »/4 xs ïi («4 , «s) x, cos (f*s— f*4) < — n/4 Xs D, (a4, «2) tt sin (p2 — ^4) *
dxs
— nft x* ^1 («4, «3) xs cos (f/.3— ^4) « — w/< x-, II, («< , a3) -j- sin ( fx3— f/.4) t = o.
Pareillement on aura, par rapport aux variables z, ces quatre équations (Article LXXXIX)
— «^i X2 T, («1, th) Z2C0S(^2 — [Ai) t
— nftXiT^a,, a3)z3c.os(fj.3 — p,) t
— nf,Xi T,{a„ a.t) zt cos(u4 — /a,.) f = o,
— «/j^i r\(«i> «1) 2, COS(f/., — jn2) t
— 7if,X',Y{{a„ a,) z, cos{fx, — fj.2) t = o,
17i RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS
