NO |F-N

— nf3XiT,{a3, a, )z, cos (fi, — f*,) «

— nf3x2T,(a3, a,) z2 cos (fi, — p3) t

— re/3 Xi T, ( a3, a4 ) z4 cos ( fi, — fi3) f = o,

(NO S1 + Nï*

— ra/i Xrr. (a*, a, ) z, cos(fi, — - fx4) t

— «/, %2r, (a„ «2)2, cos( fi, — fi4) t

— nfiXiTiicii, «s) z3cos(fi3 — fi4) i = o

§ III. — Où l'on donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes.

Je fais

d'où je tire

x2 cos (fi2 — fi, ) t = P, x2 sin ( fi2 — fx, ) * = />,

x3cos(f/.3 — fi,) t = Q, x3sin(fi3 — fi,) t = q, x, cos ( [â, — fi, ) t = R, x4 sin ( fi, — fi, ) £ = r,

sln(fi2-fi,)^=^-(^-fi,)P,

dx3 . dq .

-^- sin (m,— p,)t=-^ — (fi3 — fi,)Q,

«x4 . , . dr ,

^Fsin(fi4-fi,)/ = s--(fi4-fi,)R.

Je substitue ces valeurs dans l'équation (M,), ce qui la change en celle-ci

dx, m»,

~- -t-M x, dt2 '

- nf,7j [t,(a„ «,) - (^ - f,,)n,(«„ a,)] P-b/x. *•(«.. «*) %

-nf,x, [*,(fl„a,)- (f, -f*.)nl(a1,o,)jR-n/.X.n1(«„ a,)^=o.

C'est l'équation qu'il s'agit maintenant d'intégrer, en regardant les quantités P, Q, R, p, q, r, chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m'y prends.

Je reprends les formules

dx, . , dp

dx3 . . \t dq .

dx, . , dr

et je trouve de même

dx2 , dP ,

-^-cos(^2 — pC)t=-jj + (p, — p,) p,

dx3 , dQ

^fcos{(l,-iM)t=-ST+{lH-^)q,

dx( '■■«/*■

(N.) ^+NÏ,.

— nf3x,t,{a3, a, ).z, cos(>, — (i3) t

— nf3 X2 f , (a3, a») z* cos(fx2 — p,) if

— »/3X«r,(a3, a4)z4cos(f*i — (*,) f = o,

(NO ?F + NÏ*

— re/4 %,r, (a4, a, )z, cos(/u, — /*4) <

— w/«X2ri(«4, «2) ^îCOs(fii — /*4) <

— «/*Zsf'l(«4» «3) 23COS(f/.3— f/.4) < = o.

§ III. — C7« /'o« donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes.

Je fais

d'où je tire

x2cos((U2 — fit) * = P, x2sin(^2 — f*i) < = /», XsCOsCp., — ;x,) t =Q, x3sin(fx3 — ^,) l = q, x4cos(j^4 — «,) < = R, x4 sin(fA4 — /a,) <= r,

— sin(p2— f*,)f = jt — (^ — M')p»

e?x3 . . dq , . n

-jj sm{u.a — !j.l)t=-^ — (fj.3 — fj.,)Q,

dXi . , , dr .

■37- sin (p«- **')'•= as- — (^4 — p,)R.

Je substitue ces valeurs dans l'équation (M,), ce qui la change en celle-ci

d'il ,„, dC-

- »/z, [*,(«„ «,) - (^ - Mn,(a„ a,)] P- n/z» *,(«„ a,) ^

-»/%» [*'(«•» a»)-(f*.-MÛ.(«..«.)]Q-n/x.fi.(«.>a»)3?

o o o dr

-;»/* [*.(«.. a.)- (^-^.)n,(a„a,)jK-n/1x«n,(a„ a4)^=o.

C'est l'équation qu'il s'agit maintenant d'intégrer, en regardant les quantités P, Q, R, />, ^, r, chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m'y prends.

Je reprends les formules

û?xs dp

dx3 . , dq

^x4 : . , dr

-arain{p<-rl)t=-3F-{fr-iil)lL,

et je trouve de même

^rcos(P,-^)-'=-S-+(f*.-f*.)î,

De là je tire, par la différentiation, les formules suivantes

d2x, . , d2p dP

~dF sm(f*2 -^t=-df-2(^~ f*0 ~jf - (f*« - f*<)2/>,

^2x, tf'P dp ,

■^-cos(ft,-(*1)*=-3ir + 3(^-^0 ^ -((li-^P,

e?2x3 rf20 do

-^r c°s(p-3 - f*0 *= -^ ri- 2(^3 ~^)-ft~ (p-3 - f*.)'Q,

d'x4 . . ,td'r , ,dRr

¥sin('"-'i'1/=* -a(^-f*.)^--(f*.-H.)'r,

</2x4 , e?'R , tfr

Cela posé, je multiplie d'abord l'équation (M2) par sin ( /x2 — /*,)«, j'ai

-5— sin(u2 — ^jt, ) * —i— M, x2sin(^j — p.,) t

- -/»Xi^'i(a5,a1)x1sin2(^ — p,)* -f/jXiÛiC^ai)-^1 [— n-cos2(fia — fi,)f]

- ~ /' 7.3 ^1 («2» «3) x3 [sin ( ,u3 — p, ) < — sin ( ^3 — 2 p., + /x, ) î]

- -/^H^a,, «3)-^ [— cosip.3— a, )/ -H cos(p3 — 2fx3 + p.,)-/] /2 30 *'("*> a<)x« [sin (^4 — y.,) t — sin(p4 — 2fx2 -+- y.,) t~\

- -fi x> n,(a„ «0-^- [— cos(fi, — fx, ) t* -+- cos(p.4 — 2p.2 + ^ ) t] = o.

Je ne conserve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l'équation (M,), c'est-à-dire, les termes qui, en faisant pour x,, x2,... les substitutions de l'Article LXXXVII, en donneraient d'autres où le coef-

ficient de t serait presque égal à p.,, et qui sont les seuls auxquels nous devions avoir égard dans l'intégration de l'équation de l'Article XC11. J'aurai donc simplement

d2x- h o dx,

-Sp-sm{pt — iLl)t + M\x,sin(to-pl)t+. -/.x.n,(«,, a,)-~

~ -/»Z31ïr«.(«2,«3)x3sin(^3— /*,)* + ^f,x3îli(a„ a,) -£■ cos(^3 — //,) /

dt

dx^ dt

~ -fi 30 ^'(«» «4 ) x* sin(^ - p.) *"+ */> fr n,(o„ a,) ~ cos(^ — p.) t — o. Je substitue au lieu de

~sin(ij.2 — fj.,) t, x2cos(p.2 — /*,)*,...

leurs valeurs en P, /?,...; j'ai

^Sy / ! dP r»i. , \,n w j- À , v ^X,

rf-ra^-M-3r[Mï--(f*.-^)']p+-/ïx.H,(fl,,«1)-aj:

- \f*ïA$-A<**, a3)-(^3 — fi,)n,(a2,a,).Jg+ "/>fcft.-(a»,a») rfl

- ^/>Z4[^f>(a»«0 — (f*« -fti)Âi(a„ a4)J r + ^/.fr ïî,(a2, ««)-^ = o.

Je multiplie en second lieu la même équation (M2j par cos(p.2 — [i,)t; 'ai

-TJ- cos([j-, — p, ) t -t- M; x2 cos(p2 — p,) t

— -/»Zi^i(«»» à,)Xi[n- cosa(fi, — ft,)f] ■+■ ~/»X< n,(a2,«,)-^- sni2(p.2 — p.,)*

fi- Xs^i(«^ «3)x3 [eos(p.3 — p., ) f-t- cos(p3 — 2p-2 -(-fi,) <]

— -'/>&> H, (a,, at)-^ [sin (u3 - p.,) t -+- sin(p.3 — a'p, + p.,) *] VI. 23

/»X<*| (a=> a0 x4 [C0S(jU4 — pi)l-i- COS{(J.t — 2fJ,2 + f*,) /]

- "/, X4 H, (a2, a4) -^ [sin (fx4 - ix,)t + sin(f/.4 — 2^ + y.,) /] = o,

équation que je réduis, par la raison que j'ai dite tantôt, à celle-ci

d-x, ~dl

cos(^;— p.,) t -t- M, XîCosiju.o— [/.,) t ^Xiî.K a<)x'

-^/=Z31F,(aJ)a3)x3Côs(^3 — M*- "fixiÛAa,, a3)--^-3sin(p.3-fx,) /

■ -/=X4^',a:" rt0x4 cos(f/,, — f/.,) « /?xifii(a„ a4j -77sinl P-4 — n,)t = o,

laquelle me donne, après les substitutions,

^ + a(p,-^)^ + [Mî-(^-f*,),]P-J/»x« *.<*.«.)«.

- ^/»5& [*".(«., «k) — (f^ — /*,)*!(«., «1)] Q — £ /.O.ft.(««» a»)""^

dt

- -/»%. [*.(*» «4) - (f*. - ft.)â.(Oi, o,)]R - £/.fcft.(a>f àt)-f=o.

En troisième lieu, je multiplie l'équation (M3) par sin(p., — [x,)t; j'aurai, après les réductions et les substitutions,

— j/sfcP^iCa»»»»') — (^ — f».)Û.(a». «0]f» + j/»X=n,(«3, «»)-^-

En quatrième lieu, je multiplie la même équation par cos(jl».3 — p.,) t, et je trouve

- J/.» [f .(«a, a.)- (^ - (*,)&(«„ a,)] P - ^/,x, ft,(a3, a,) & -^/3xJ^(«3,«0-(^-^)Û,(«3, «,)]R- ^/,x«n,(a„ «4)^ = 0. En cinquième lieu, je multiplie l'équation (M/,) par sin(p.4— |x,)ï; j'ai

(5°) __2(F4^,) + [M^-(^-.,.,rjr + -/x1n,(«4)«,)^r

- 7/4X3 [^1 («4, a») - (^3 - f*.)Û,(a„ «s)] 9 + "/4X3 Â.(««, «3.) -fc- =0.

En sixième et dernier lieu, je multiplie la même équation par

cos(p,4 — (jlh) ï, et je trouve

^ + 2(F4 - fx,)§ + [M, + (f*, - ^)2]R - £/.**.(■*> «-)x,

--/•Z.['îrl(fl..fl.)-(ft>-(tl)n.(fl.. a,)]P- J/.Z.fi.ffl,, a,

tf7

-/« X3 [*.(«., «3) - (f*. - im) fi,(«4, «,)] Q - -Jt x3n,(a4 «3) 5=o.

• Voilà, comme on voit, six équations différentielles de la même nature que l'équation de l'Article XCII, et qui, étant combinées avec cette dernière équation, suffiront pour déterminer les sept variables x,, P, p, Q, q, R.r.

Pour cet effet, je multiplie l'équation de l'Article XCII par ev'', l'équation (i°) de l'Article précédent par a,ey''dt, l'équation (20) par A,ey'tdt, l'équation (3°) par fi,e'l'dt, l'équation (4°) par B,ev''dt, l'équation (5°) par 7, ey''dt, l'équation (6°) par C,ev,'dt (oc, |3,, y,, A,, B,, C, et V, sont des constantes indéterminées), et après en avoir fait une somme, j'en prends l'intégrale; j'ai

Cf'l-x, cPp . çPV , ePq „ (PQ d2R d2/-\ v,< .

/ —rr ■+- «, -rr •+■ A, -rw -t- S, -r-f -+■ B, •— -t- 7, -=-=- +C, -tt e ' dt J \ rit1 ' dt' ' dû ' ' dt2 ' dt1 " dt' ' dt2 J

-/i/1z5nl(fl1,flj)H-aAl(pï-Fl)-jBl/3z,n1(fl3,fli)-ïc1/4Xan1(«„fl2)) J

-w/;-/,n. («,,«,)- -A. /ly,n.(a„a,)-)-2B,((jt,— fi,)— -C./iy,n,(rt..a,) ) -^

"'" ll " " 2 3 ' 3 2 l,"A-3 " " àl J dt

<*Jçu% («,, bs) - 20, (p3- p,) + ^ Vt/iZa^i (-«4. Ci )) ^r -«/;/., fi,(«1,«J-^Al/2z1nl(fl2,aJ-^B,/1x1n,(«J,fl1)+2C,(f/,1-a1)^'

+ (^,/;x1n,K>«l) + ^S1/3Z,n,K«,) + 27,(p,-(,,))'J]ev^(

/'[(Mï-ïV,*,*.i«..«.)-ïB1y;z1*1(«i,«.)-Jc1/<Zl*,K,«1))x1

+ U, [M?— (f*2— f*,)2] - ^ p,/s& [*", («,, «2) - ( f*,— ft)n, («,,«,)]

-^7,/.z.[*,(^«0-(ft-f*,)n, K,«,)] V

+ Al[M?-(f,2-^)J]-^B,/3Z2[Y1(«3Ia.2)-([/.2-(,1)n,K,«2)]

-JC./.x, [*,(«,, aj-(p,-it1)n,(«;,a1)3)p

+ (-j«,./;X3[1*f,(«2,«3)-('f*3-P,)n,(a2,a3)J + pi[M?-(ft3-p,)ï]

-t-(-»/x,[,?,(«i.«s)-(ft,-K)nlK,«.)]

-ïAl/,x,[T1K,aJ-('(S-ft)ni(«1,flj]+B1[Mï-(ft-ft)']

-^C1/ixjM'1(«1,«3)-(,.3 F,)n,K,«,)]N)Q

— «/Xk («„«,) —

-•(ft-fl)Ô1(flî,«t)]

ft—fi,)n, («„««)]

-(ft-.aJU.Kaj]

- ( p, — f*,) n, (a,, a,)] -+- C, [MJ— (p< — a, )2] ) R ev' '<& = const.

Cela fait, je transforme les expressions intégrales

| -=— e dt, I -=-v e dt,. . . J dt2 ' J dP

en leurs équivalentes

- V,x,) /'' + V> Cx^dt, & - Vtp\ eY''+ V, fpey"dt,.

dx, dï

CVj-Rja./^n,^, «,) 4- \ jtyix.fi. («•. a,) - 2y,(F4 - a,)lv,

-*/x« [*■(«., «OM^-MÎtia,,*,)] '

- " A./,*, [f ,(o„ «,) - (^ - ^jÔ.Cfl.ifl,)]

- j-B,/3x1[1îr,(«3,a4)-(^-^)n1(à3,aJ)]+C1[M;-(fx4^^)2] = o. Ensuite j'ai l'équation intégrale

'dx, dp rfP rfo r/Q rfr c/R

' [^dt ' dt ' dt n dt ' dt " dl ' dt

— V,+ - zJiXÂ («,, fir,) -t- - 3,/3 y.n, («,,«,) + -7,/,Zi n, (a„ «,) ) x,

1 2 uiAl iv .' 1/ 2 rwi/u iv ji 1/ 2<i.'4/v.i 11 < i/y 1

-a,V,— «/,x2n,(fl1,a2)-l-2A,(p2— [*,)— -B/.^n^fl,,^,)— 2ç,/,x,n1(a„ «,)}/> — A,V,— 2a, (p,— étx,) h- 2 ft/j&n, («,,«,} -H — 7,/iXa^i Kaz) ) p

— s.v,— «/, X3n((<7, ,«,)— -A/j&n,^,, «3)4-28,(1*3— (*,)— -C,/Jx3ni(»i>°J))'/ -B,V, + j a,/2X:)n, (a,, «3) - 2(5, ( ft - p,) + 2 7l./; /3n, (a,, «,)) Q ■7,V,-/?/,/..ll\(«n^)-2Al/,xin,(«1,a<)-2B,/3xin,K,«1)-t-2C,(f*,--fxl)V

-+- (-C,v, + 2 »,/,& n, («,, «,) + 2 p./jx.n, («„ a.) + «y, (c -p,)) r]*v,i = const.

Qu'on multiplie l'équation (20) par ±\J— 1, et qu'on y ajoute l'équation (3°), on aura

-«/;X![t,(«„«2)-(^-p.±v,s/::rT)n,(«„a2)]

- J/4*[*«('«i. *)-(f*.- f*t±Vn/=7)fi,(a4, a.)] (C,±y^/=T)=o.

De même, en multipliant l'équation (4°) par ± y/— 1, et y ajoutant l'équation (5°), on aura

(R) [M; - fo - fx, ±V, ,/=ï)'] (B,± (3. /=ï)

-»/x.[lMa..aiK(^-^±vV^)ftii«i»«.)]

-;/.X.[4r,(a»«>)-((«,-/t1±VnPr)Ô,(fl1) a,)](A,±«1*/=7) -^/1x3['*i(a4,as)-(^-^±VlVC7)nl(«4,a3)]'(C,±y1V:rT)=o.

Enfin, multipliant l'équation (6°) par ± y/— 1, et y ajoutant l'équation (70), on aura

(S) [M] - [fi, - u, ± V, y/~i)2} (C,±y, v/=7)

-B/«x«[1!riK«.-)-(f*-ft.±v.^=I)fi,(fli,«,)]

-^/2Z,[t,(a2,a4)-(^-^±VlV/^7)n,(«2, a,)](A,±«,^=T)

-J/=x.[1îf.(«3,«l)-(^-p-i±v,^)n1(«,-«1)](B.±^^)=0'

Chacune de ces trois équations en vaut deux, comme on voit, à cause

de l'ambiguïté du signe de y/ — 1.