VI
donc, en intégrant,
Q,= »(<»» + ^>") ^..^1 ^ +fr,
Faisant toutes ces substitutions dans les équations (K), et divisant ensuite la seconde par m- et la troisième par ra2, elles deviendront celles-ci
rf'(r') A+C + B[i- (fxro + p.'WQm] Bro' /*/ /VA dt B/ff q
tf'ÇM B + C + A[i-t-(^ro + p.V)»] Aro" /"/ /VA rfif Ah" ^
2é^2 re3r re! J \ J r ) ''3 «'
lesquelles devront être identiques; de sorte qu'on aura ces conditions à remplir :
A + C -+- B[i — (u.js -+- |tx"ro")m]
A + B -+- C 1 1 — u.'vs' -+- p."ra" )
B -f- C -t- A [ I -+- ( fi BJ -t- fiV ) rt]
Bro Ara , . , ,
a° Lro= r = — > ou bien a = o et / = o;
ni1 ?i-
Ces deux dernières conditions peuvent toujours se remplir par le moyen des constantes indéterminées k, k' et k"; ainsi la difficulté ne consiste qu'à satisfaire à celles des groupes i° et 2°.
Or, si l'on fait, pour abréger,
â = fxfjt' + f/fi" + fi' p." = — i(i + m+«)(i + '« — « ) ( i — /n 4- « ) ( i — //( — n ),
on pourra réduire les deux équations du groupe i° à celles-ci, par des transformations analogues à celles de l'Article XXVII,
(e) (— Cnr-+- Bw'— Am")§ + ^"A = o, (Cra -+- Bn'- Acj") ô — n'I = o.
Ainsi il n'y aura qu'à combiner ces deux équations avec celles du
groupe 20, savoir
Bnj' A m' , . •.
Cro = = ? ou bien a = o el A = o;
nr n'
ce qui fait deux cas que nous allons examiner séparément.
Soit d'abord
Bro'
Aro"
m2 Cor --B-' et
ra2C
donc
mais on a (Article XXIX j
Td — Ta' — TS
Or il est visible que la quantité p -+- -=- -+- -r- ne saurait jamais devenir nulle, à cause que les masses A, B, C sont des quantités positives; ainsi il faudra que l'on ait sr = o, et par conséquent aussi zs'= o, sr"= o; or, dans ce cas, on aura X = o, et les deux équations (e) ci-dessus auront lieu d'elles-mêmes; de sorte que toutes les conditions se trouveront remplies, et le Problème des trois Corps sera résoluble exactement dans
l'hypothèse de
w = o, ro' = o, m" = o,
28i ESSAI SUR LE PROBLÈME
ce qui donnera
et par conséquent
c'est-à-dire, les distances entre les Corps égales entre elles, comme dans le cas de l'Article XIV; mais avec cette différence, que dans le cas présent elles peuvent être variables.
Pour connaître le mouvement des Corps dans ee cas, on reprendra les équations différentielles de l'Article XXIX, lesquelles, en faisant
se réduisent à cette équation unique
d'(r') A + B + C . ïdf r J
Multipliant par d(r'2), et intégrant ensuite, on aura
H étant une constante arbitraire; et de là . rdr
moyennant quoi on connaîtra t en r, et vice versa, r en t. Maintenant, puisque sr = o, ix'=o, sr"=o, on aura
donc (Article XXII)
De plus, ayant X = o, on aura
dp
dl
et cette constante a devra être déterminée en sorte qu'elle satisfasse à l'équation (N); on peut donner pour cela à t telle valeur qu'on voudra; mais, en ne faisant aucune supposition particulière, l'équation (N) devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de r, et leur comparaison donnera la valeur de a. En effet, à cause de r = r'= r", on aura
donc
4 ' et de même, à cause de u = u'= u", on aura
Su'
ensuite
v v, v» r' /2.rdr\' /rdr\2 , . „ „ / rdr\- „ .
i=I=2 =ihr) +rXdT) +' " =3' br) +'"^:
et l'équation (N) deviendra
9,.«M<6M'|3r^^fj -+- r'a'J -4- ^3 (^j + «2J=o, ou bien
d'où l'on tire
Or on a déjà trouvé
, af + B + C)
-fi
donc, substituant cette valeur et résolvant l'équation, il viendra
, rdr
\J — ~ +2(A + B + C)i'+/r; Comparant donc cette équation avec la précédente, on aura
et par conséquent
d'où l'on voit que H doit être nécessairement une quantité négative. On aura ensuite
U = W = II" = r*u> - (^
donc l'équation (P) deviendra
d'où l'on tire
Or, puisqu'on a déjà trouvé
et que
d'ailleurs on a
4 P = 3 r\ et u = u' = u" ;
donc on aura
4Pm'-2 = o, 4Pm'2-2' = o, 4Pm"2 — 2"=o;
et par conséquent
sin4' = o, sini^'=o,
c'est-à-dire,
4< == o, ty = o;
ce qui montre que les Corps B et C doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps A.
Maintenant, si l'on substitue dans les expressions de ~ et -S- les valeurs de 17, n', W, W, W" et de h trouvées ci-dessus, on aura
dt~~ dt ~ ,.2^3'
et par conséquent, en substituant la valeur ci-dessus de dt,
dr
qui est l'équation polaire d'une section conique rapportée au foyer, et
dans laquelle — — ^j. est le grand axe et . "^ — -,- le paramètre.
Ainsi les Corps B et C décriront dans ce cas autour du Corps A deux sections coniques semblables et égales, dont J'espèce et la forme dépendront des quantités arbitraires/et «, lesquelles pourront se déterminer par les équations
, dt en donnant à u, r et -j- les valeurs qui conviennent au premier instant.
Reste à examiner le cas où a = o et ). = o; or la supposition de ). = o réduit d'abord les équations (e) à celles-ci
— Cm -t- Bro' — A te" ) ô = o, (Cet -t- Bro' — An/') ô = o,
lesquelles donnent ou
ou bien
Cnr-l-Bnî' — Asj"=o, et Cro-t-Bro' — 'A.tb"=o,
c'est-à-dire,
Cgj = o et Bn' — A5j"=o.
Or j'observe d'abord que ces deux dernières équations sont inutiles; car on aurait d'abord zs = o, ensuite, à cause de nr"= zs — zs', on aurait zs"= — zs'; de sorte que l'équation Bsr'— As?"=o deviendrait (B-+-A)w'=o, ce qui donnerait zs'=o\ on aurait donc zs = ar'=sr"=o, ce qui rentre dans le cas que nous avons examiné ci-dessus.
Il faut donc faire 5 = o, de sorte que la solution du Problème sera renfermée dans ces trois équations
La première donnera (Article XXIX)
donc
i =fc m ± n = o,
et par conséquent
c'est-à-dire, que l'une des trois distances r, r', r" doit être égale à la somme des deux autres, et conséquemment que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.
Ce cas est donc analogue à celui de l'Article XXVI, mais il est plus
général, en ce que les distances entre les Corps peuvent être variables, pourvu que leurs rapports soient constants.
On déterminera ces rapports par l'équation X = o, et pour cela on pourra supposer, comme dans l'Article cité, que les trois Corps A, B, C soient disposés de suite dans une même ligne droite, en sorte que r"=r' — r, ce qui donnera n = m — i; on substituera donc cette valeur de n dans l'expression de X de l'Article XXIX, et l'on aura une équation en m qui sera la même que l'équation (d) de l'Article XXVI. Mais il faut voir encore si la condition de a = o peut avoir lieu; et comme la constante a doit être déterminée par l'équation (N), tout se réduit à savoir si cette équation peut subsister en y faisant a = o, c'est-à-dire,
(-%- = o, à cause de -£ = a — X | — (Article XXIX) et de X = o. dt dt J r
Or, en supposant -j- = o, et substituant pour r', r" et p, p', p" leurs valeurs (Article cité), on aura
P = ( fifi' 4- fifi" 4- fi' y." ) r\
2 = ( ii -+- p- f- ' ■+■ V- y- 2) r2 \-jj-
2' = {ft' m' 4- fifi"2 4- u" p2) r2 ( -jj-
jirdr
1"= (fi"re« + fi'fi2 4- fifi 2) /'2 l ~^-
dpdp'-hdpdp"+dp'dp"-hdp1 „ , (zrdr\2
mais, par la nature des quantités p., \jJ, p.", on a
fi' 4- ^" = i , p -f- fi" = m2, fi 4- f.' = /i2 ; de plus, on a, en vertu de l'équation § = o,
fift' -f- f.fi" 4- fi' !>■" = o ;
donc on aura aussi
p. 4- y! fi"2 4- fi" f.'2 = o, p.' m4 4- fifi"2 4- fi" fi2 = o, fi"»' 4- fi' fi2 4- fifi'2 = o ; VI. 37
de sorte que toutes les quantités précédentes P, I, . . . seront nulles, et conséquemment l'équation (N) se trouvera vérifiée d'elle-même.
Maintenant il est clair qu'à cause de a — o et X = o les trois équations différentielles de l'Article XXIX se réduiront à celle-ci
idt* en faisant, pour abréger,
f=Ck = ^. = ^.
Cette équation étant donc multipliée par d(r2), et ensuite intégrée, donnera
dt H étant une constante arbitraire; d'où l'on tire
, rdr
yH-t-aFr-t-//"
moyennant quoi on déterminera t en r, et par conséquent r en t.
De plus, si dans les équations (J) de l'Article XXII on substitue les valeurs de Q, Q', Q" de l'Article XXIX, on aura, en vertu des équations du groupe i° du même Ai'ticle,
donc
2|"-F „ , 2f/F j. 2fJ."F .
De là on trouvera
W=m<[zYr+fr>-^)'] = -Jlm>,
n"=-H/js
V = (S [aFr +/>2 - (^y] = - Hf,.' = - Hm'tf,
*F' = -Hf/2=-Hn2, r=-Hu'"=-Hm!,
à cause de
et par conséquent
fj.7 = m2n2, |y.'2 = rt2, fi"2 = /n2.
Donc, si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (P), elle deviendra
d'où
h= r + TT + T R>
d'où l'on voit que H doit être une quantité négative.
Or, à cause de P = o et de I = o, I'= o, Z"= o, on aura
sinij/ = o et simj/ = o,
ce qui montre que les deux Corps B et C doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps A, et l'on trouvera ensuite pour les angles de rotation
c/cp d(f' — H / i m2 n2\ \/— H
Tt ~ ~dï ~ ~h^ \C "*" "B + A
Et, si l'on substitue la valeur de dt, trouvée ci-dessus, on aura
dr
dy =
équation polaire d'une section conique, rapportée au foyer, dans laquelle -^- sera le grand axe et — ~ le paramètre.
Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les distances entre les trois Corps soient constantes, ou qu'elles gardent seulement entre elles des rapports constants, et cela dans deux cas, savoir : lorsque les trois distances sont égales entre elles, en sorte que les trois Corps forment toujours un triangle équilatère, et lorsque l'une des distances est égale à la somme ou à la différence des deux autres, en sorte que les trois Corps se trouvent toujours rangés en ligne droite.
Or, si l'on suppose que les distances r, r', r" soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s'écartent que très-peu de celles qu'elles devraient avoir pour que l'un des cas précédents eût lieu, il est clair que le Problème sera résoluble à très-peu près, et par les méthodes connues d'approximation; mais nous n'entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal.
J'avoue, au reste, qu'on pourrait résoudre les Problèmes précédents d'une manière plus simple par les formules ordinaires du Problème des trois Corps entre les rayons vecteurs et les angles décrits par ces rayons, si l'on voulait se borner d'abord à l'hypothèse que les Corps se meuvent dans un même plan fixe; mais il ne serait pas aisé, ce me semble, d'en venir à bout par les mêmes formules, si l'on supposait, comme nous l'avons fait, que les Corps pussent se mouvoir dans des plans différents.
