II = 11= 11"=: /'M

m = ¥' = ¥" = pv + -r = —. 1 >— = r-W ;

donc, à cause de ty = o et i|/== o, on aura

dtp d<s>' / 1 i

Jt ~ ~dt ~ l C + À

i \ u2 B/ Ti'

mais l'équation (P) donnera

— \C2 K2 A' AB AC BC, ou bien

A2=(ïï + î + ï)2rJM2'

par conséquent

donc

dy dw' u I k -t- R -+- C

~dt ~ ~~dt ~~~ r — y 73

Ainsi les Corps B et C ne feront que tourner autour du Corps A avec une vitesse angulaire constante et égale à y ——,

Examinons maintenant l'autre cas, où (-j- = o sans que q, q', q" soient

nuls, et substituons d'abord dans les équations (J) les valeurs de CQ, BQ' et AQ" tirées des équations (a) ci-dessus; on aura

■L(pq —p q U

d'où l'on voit que les vitesses relatives des Corps seront aussi constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédent.

Or, puisqu'il faut que -j- =o, on aura donc aussi -*£ =o, et l'équation (H) deviendra

( c) Cpq — Bp'q' — kp"q" = o.

Ensuite l'équation (N) deviendra (à cause de dr = o, dr' = o, dr" = o,

et dp = o, dp' = o, dp" — o, dp = o)

i6PU = o,

savoir

P = o, ou U = o ;

ainsi, en combinant l'une ou l'autre de ces équations avec l'équation précédente (c), on pourra, par leur moyen, déterminer deux quelconques des trois indéterminées r, r', r", et le Problème sera résolu. Supposons d'abord P = o, on aura

donc, puisque r, r', r" sont supposées positives, on aura ces équations

/•-+-r' — r"=o, ou r — r'+r"=o, ou r — /•' — r"=o,

d'où l'on tire

/■"= /--t- /•', ou r'— r-t- r", ou r = ;■'+/'";

c'est-à-dire, que l'une des trois distances doit être égale à la somme des deux autres, ce qui montre que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Imaginons que les trois Corps A, B, C soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l'on ait

et, faisant pour plus de simplicité r'= mr, il n'y aura qu'à substituer dans l'équation (c) mr à la place de r', et (m — i) r à la place de r"; l'inconnue /- s'en ira, et l'on aura une équation qui servira à déterminer m. On trouvera donc

i -t- m2 — (m — i)2 p = r2 = mr-,

li i 1 i 3 m2 — 3 m -+- 1 i

C{ ~ \ m2 (m — i)sJ "P ~ ms(m — i)3 r»'

, i 1 i ffi'-3m!+3m i

et, ces substitutions étant faites dans l'équation (c), elle deviendra, après avoir été multipliée par m'2 (m — i)2r,

(d) C(— 3m2 +3m-i) + Bm':m!-3fl! + 3)-A(»i-i)'(i- m3) = o,

laquelle étant ordonnée par rapport à m montera au cinquième degré, et aura par conséquent toujours une racine réelle.

Il est bon de remarquer ici que, quoique nous ayons supposé r"—r'—r, la solution n'en renfermera pas moins tous les cas possibles, à cause que les distances r, r', r", étant prises sur une même ligne droite, peuvent être positives ou négatives, suivant la différente position des Corps.

Maintenant, à cause de

dr = o, dr' = o, dr" =: o, dp = o,

on aura

de sorte que, comme on a déjà P = o, on aura sinijj:=o, sinvj/=o, ce qui montre que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe.

Supposons maintenant l'autre facteur U égal à zéro, on aura

U = ce' -t- w" -h </</'= u?u'1 — v"- = o. Or les équations (b) donnent

- — — — (A + B + C)ï"- f,(p q —p q ) + yr2 pq+p q ).

d'où, en multipliant par r2/-'3, et mettant à la place de r- et r'2 leurs valeurs p' + p" et p + p", on aura, à cause de q" = q — q',

r'UC— r2u" = (— Cqi -t- Bg' — Aq")V + (C/jç — B//ijf' — Ap"q")p";

mais

Cpq — Bp'q' — A.p"q" = o

par l'équation (c) ; donc on aura simplement

r"u" — r2u" = (— Cq -+- B</' — A</")P,

et l'on trouvera de même par analogie

/■"'m2 — r2u"-= (Cq -+- Bq' — A</")P, r"*u'2—r'su"*= {Cq + Bq' + Aç")P,

d'où il est facile de tirer

/>" u2 — r2 v" = — Cq P, /> " u'1 — r'2v" = — Bq' P,

et par conséquent

„ __ p" u2 -hCq? p" u" -+- Bq' P " - ,,, —p-i ■■>

donc

„s p"'u2u'2 -h p"P(Bq' u2 -i- Cqu") -+- BCgy'P'

et de là, à cause de P = r2/'- —p"'2,

U = u2u'2 — (/'2 = -^— - [m2«'-' — p"[Bq' u2 -h Cqu'2) — BCqq'P]

— Tr~77[(aS~ Cqp")(u'2 — Bq'p") — BCrVqrqr'

Mais les mêmes équations (b) donnent

B'--B9'/> = 1^^— +jr'*;

donc, en substituant ces valeurs aussi bien que celles de q et q', on aura

ou bien

O AR / j j\ AC l\ T\ ^ IM] (j

D'où l'on voit que l'équation U = o ne peut donner que celle-ci P = o, l'autre facteur de U ne pouvant jamais devenir nul, à cause que les rayons r, r', r" et les masses A, B, C sont des quantités positives.

L'équation P = o étant donc la seule qui puisse satisfaire au cas que nous examinons, ce cas n'aura lieu, comme nous l'avons vu plus haut, que lorsque les trois Corps seront rangés dans une même ligne droite, et que leurs distances seront dans le rapport exprimé par l'équation (d).

Or nous avons déjà trouvé que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe; de sorte que, connaissant la vitesse u du Corps B autour de A, il n'y aura qu'à la diviser par r pour avoir la vitesse angulaire des Corps B et C; mais, si l'on veut faire usage des formules générales de l'Article XXII, on remarquera qu'à cause de P = o on a

(Article XXVII)

mais les équations (b) donnent

donc, substituant les valeurs précédentes de u'- et u"2, et faisant, pour abréger,

donc aussi

v = kp, v' = kp', v" = kp".

Ainsi on aura (Article XXII)

Tlz=kri, n'=/rr'S W=kr"i, W = kp\ ¥'= kp'\ W"= kp"' ;

mais, à cause de P = o, on a

p'=r'''r"2, p'*=rir"2, p":' = r2r'-;

donc

W = kr"r"', W'=kr'r">, V"=kr'r'>;

donc l'équation (P) deviendra

d'où

ensuite, à cause de ^ = o et i|/ = o,

Nous avons supposé ci-dessus que les rayons r, r', r" étaient constants, et nous avons vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir : lorsque ces trois rayons sont égaux entre eux, et lorsque l'un d'eux est égal à la somme des deux autres. Supposons maintenant que ces trois rayons soient seulement dans un rapport constant entre eux, et voyons dans quel cas cette condition pourra avoir lieu. Soit donc

r = mr, r

met «étant des quantités constantes, et l'on aura d'abord (Article XXII)

p=u.r2, p'=(ïr', p"=p!'r\ 55 , m1 „ us"

en taisant, pour abréger,

m1 -f- n2 — i i4- n2 — ni2 i-f-.m* — ra!

Donc l'équation (H) deviendra

d2p Cura — Bw'cj' — Au." m"

ou bien, en faisant

A = Cfl5J — Bf/.'cj' — Au."m",

pour abréger,

c/2p X dt2 r

et intégrant

rfp , f dt

<z étant une constante arbitraire égale à la valeur de -£ lorsque t = o. Ensuite on aura

«O = 2 ( « ro — fi oj ) — — eï la — A | ~7 ) ~ ' ,/ » dr , f , TJA ofr

rtQ = 2 ( U.TS -+- f/. CJ )— +H l« — A | 1 — [■>

, „ dr „( , /VA rf*

f/Q"=a(— fxro— u'ro) — -f-ro la— A» — 1— ;