M =-7TT
Or, comme pq est une quantité très-petite de l'ordre de i2, etquep'q',
p"q" sont des quantités fort grandes de l'ordre de -■> il est clair qu'en
substituant les valeurs de ces quantités dans l'équation (H) les termes Cpq, Rp'q', A/>"<7" ne pourront être homogènes, à moins que la masse C
ne soit infiniment erande de l'ordre -, vis-à-vis des deux autres.
Supposons donc C = -^> et l'équation (H) de l'Article XXII deviendra, après les substitutions,
<Pp i[~(A-l-fi)R 3D~| B D(9z2— 3/-;) ;D(20za — iizr* ) JF+J\ ? RJJZ~r âT^ ïR* °:
d'où l'on voit que la quantité -X est de l'ordre de -■> de sorte que la quantité -j- sera aussi du même ordre.
Donc, si l'on fait, pour abréger, ~dv r~(A-f-B)R 3DT SB 3D(3z'— r1)! .SD(ioz3—6zr2)\
^3f=L— p— -- fJ'-It-4- aR» J-'L — r^ — J— ■•
dp a dt i
et il faudra prendre la valeur de a telle, qu'elle soit nulle lorsque t= o.
6z'2z f/R t'[(i5za — 3r')rfR- 3z</(Rz)] R3"- R' '"■'
d(Bz) idr i7d(Bz) z3[3zr/(Rz) — Bd( r')] "TT3"- + r2 + Rs + IV
i>[(i5z'— 3r')d{Bz) — 6Rz</(f')]
2R5 ;5[(35z3 — i5zr') rf(Rz) — (i5z2 — 3 r2)R </(#•')]
qdp = q' dp1 = —
rf(Rz) i'2</(Rz)
De sorte que les valeurs de dQ, dQ' et dQ" deviendront
dQ
idr .r d(r2) 3z[</(Rz) — a dt]l ~7~ + V \ R3 + R<
.r 3zd(r2) (i5z2 — 3/-2)r</(Rzi — o^Tl
+îL-"^~+" A? J
.5 1" (i5z;— 3r!)rf(r!) (35z3 — i5zr2) [rf(Bz) — g</;] [
+ 'L" Tr1 2R6 j + ---i
i rrf(Rz)-t-<7</n . r— 6zJR + rf(Rz) + o-^ I
rfQ=7L -73— -J-Tr-'![- -rt- -]+•••■
Donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations (K), elles deviendront
rf»(r») A + B ^fSz2 — f /*/ f/O2) 3z[rf(Rz) — g<fr]\ I TdP ~ [ R3 JV R3 R' ,/J
. r,5z3 — qr2z C( 3z«?(r2) (i5z2 — 3/-2) [d( Rz) — cr rf/ ]\~|
r35z'-3oz2 2R5
"35z4 — 3oz2/-2 -+- 3/*'
+ Çf ii5z2-3r2U/(;-2ï | (35z'-i5zi"j[rf(Rz)-<rrft]\-| __consU>
2(R2) D RTRz rd{Kz)-hadn /(A-4-B^ FdP ~FR + 711^ ^J r3 J R
const.,
dHW) </2(Rz) (/2[r2ï D iOdt2 ~ idt2 idf i'2R
irDi+A^+Ar^Rz)r^rl
D(3z^^)A.rD(5z3-3z,2)+A±Bl =cQnst;
2R3 r l zR* R J
dont les deux dernières se réduisent à celles-ci
. ,, d>(R>, D .„ rîîz rd(1\z) + <rdt-~\ /3(A-f-B)
{h) ' - +«B|- ! — h — 4-...= const.,
r> rRz fe
/e?2(Rz) Dz , , r, . TRz rd(Rz)-hedl
■ |-B [ D(3z'-H) , p /•/ d(r») t 3z[rf(Rz)-errff]\-| f5z3— 3zr' H 3zJ(r-) (i5z2- 3r2) [(/(Rz) — crrff]
Ainsi l'on aura, à la place des équations (K) de l'Article XXII, les trois équations (g), (A) et (i), dans lesquelles on n'a négligé que les quantités très-petites de l'ordre de i3 et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de r, R et z en t\ moyennant quoi le Problème sera résolu dans toute sa généralité, puisqu'il ne s'agira plus ensuite que de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des Corps B et C (Article XXII). Or, comme la supposition de i très-petit simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s'agit, nous allons donner encore les valeurs de sin <i>, sin<J/ et
de -j-: -j-i exprimées en r, R et z; mais nous ne pousserons pas la précision au delà des quantités de l'ordre de i.
Pour cela nous commencerons par chercher les valeurs des vitesses u, u' , u"; or, si dans les équations (J) on substitue, à la place des quantités CQ, BQ', AQ", leurs valeurs tirées des équations (K), on a, en général,
('{pq -p q),
B{pq+p"q"),
^T + p- -A(-pq-p'q').
