VI

dt'

dt2

Donc, faisant ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et supposant, pour abréger,

idf r R3

c/2(Rz) (A+B)Rz Dz - dC- r3 R2 '

/D(i5z3 — gr'z)

M BRz

!2 II'3

„ M i / BR2

Or on a

p—pp+ pp + p'p = p>-' +pp — — ]-2 — -■>

donc

, LR2(/-2— z2) D(r2 — z2)(i5z3 — gr'z)

„ , MR2(r= — zJ) BR'z(/'-z2)

MR2(r'-z2) BR'z(r2 — z2) NR2(r2-z2)

De plus, en faisant, pour abréger,

n R'[d'(r2)]2 + r2[(/(Rz)]2-2Rzc?(Rz)t/(r2) 2g[Rgçy)-/-'t/tRzjJ , ., . 1 - d~F~ + dt + ' J '

A R2[J(Rz)]2 + r2[c/(R2)]2-2Rzc?(Rz)f/(R2) 3cr[R'rf(Rt) -Rzt/(K2)j .,

A - dP + ^ '

Rzr(/(R2)rf(r2) + [rf(Rz)]2]-J(Rz)rf(R2/-2) rr[R*d(r')-r'd(lV)\ „ ,

donc, substituant ces valeurs dans les expressions de sinif et sint|/ (Article XX1Ï), et faisant encore

i ■>,/ , ,1 /», • BRz\ A X= R'(r*-i')(M + i— )-■£,

fi= R»(r2 z»)N+ -,

on aura, aux quantités de l'ordre i2 près,

ou bien

. , AJl + BJl — iu.

. , , ï'B iA — iu Sin*=*(A+B)R'

sin ^ =z ~

f>r 2/V(A-+-B)rv/)i

Sin+=/V(ÂTB)R'

la quantité /£ étant une constante qu'on déterminera par l'équation (P'), comme on le verra ci-dessous.

Ainsi l'on connaîtra par ces formules les latitudes d> et d/ des Corps B et C par rapport à un plan fixe passant par A.

On voit par là qu'on aura à très-peu près

gin d/ 'Br Br

sind; (A-l-B)R (A-l-B)r'

ce qui donne un rapport bien simple et très-remarquable entre les latitudes des Corps B et C.

On trouvera ensuite

n = Lr*- (dir2)Y 'D^5z'-9r'z)r' \ arff ) 2R4

n' = Hm'-(S)']--

n-= ■ fmp- (mi)'] + !■(**! -nr.-2mr,+ ■"*'> f R"

;' [ \ 2û/ / J (3 \ r3 al-

et, à cause de

M i /BRz N\

„ N B 3D(3z' — r2) ■2.1 ir 4 "

ou aura de même (Article XXII)

T.= .rgB»(<iy)y +;u-(JL"(»';r^\B,+.,..

i2 1 2 \ 2a/ / 4J i \ar 4B3 /

Donc, si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de -S et —f-

et que l'on fasse, pour abréger,

NRz /f/(Rz)V cr=

N;-2 d(Ri)d(r') y = — LRz — 1-

idt1

2 2 aï2

kr2 cos2^

j'B /BR3z

c/f /rR'cos'd/

Voyons maintenant comment on doit déterminer la constante k et les autres constantes du Problème. Pour cela, on supposera, comme dans l'Article XXII, que, lorsque £ = o, on ait

dr dr'

dt ' dt ' '

par conséquent

dr dR dz

dt ' dt ' ' dt '

à cause de z = r eosÇ"; et l'équation (P') de l'Article cité donnera

•„ /R3 aMRr-+-NR2\

d'où l'on tirera aisément la valeur de k, en ayant soin de rapporter les valeurs de R, r et de M, N au point où t = o.

De plus on se souviendra que la valeur de a doit être prise en sorte qu'elle soit nulle lorsque t = o.

Au reste il est bon de remarquer que, dès que l'on aura trouvé les latitudes <J* et il/', on pourra avoir aisément les valeurs des vitesses en longitude -r- et -3J- par le moyen des vitesses réelles u et u .

En effet, nommant dô l'angle décrit par le rayon r dans le temps dt, on aura, comme nous l'avons vu dans l'Article XIX,

u1 dt2 — r1 dô1 -+- dr';

or il est facile de voir que

dô2 = cos* A dy2 -+- d<]>' ;

donc

u" dt2 = r2 cos2 <\i dy' -+- r'1 d<\>2 ■+■ dr2,

donc

t cos 4/

donc, en substituant les valeurs de u2 et u'1, on aura

lu2

[rdtj

et de même

cos^

[r'dtj

c?cp

d<\>2 t dr y ?'D(i5z3 — gr2z) dt2 \rdt) 2RV2

COSijj

do'

Vw-

dy2 (dKV 'Bz

dt2 \Kdi) + r7^

eostV

Ces formules peuvent quelquefois être plus commodes que les précédentes, surtout lorsque les quantités r, R varient très-peu, et que les latitudes <}, <b' sont fort petites.