QUE LES COMÈTES PEUVENT ÉPROUVER PAR L'ACTION DES PLANÈTES

(Mémoires des Savants étrangers, t. X, 1785. Prix de l'Académie pour 1778.

Ces Recherches sont divisées en quatre Sections, que je vais parcourir sommairement.

Dans la première Section, je donne d'abord les équations générales du mouvement d'une comète autour du Soleil, en ayant égard aux perturbations qu'elle peut éprouver par l'action d'une ou de plusieurs planètes, et en rapportant les lieux tant de la comète que des planètes à des coordonnées rectangles. Je simplifie ensuite ces équations en partageant chacune d'elles en deux, dont l'une appartienne à l'orbite non altérée et dont l'autre renferme l'effet des perturbations, et je fais voir qu'en négligeant, à l'exemple des grands Géomètres qui ont déjà traité la Théorie des comètes, les carrés et les produits des forces perturbatrices, on peut considérer à part l'action de chaque planète, et prendre la somme des effets de leurs différentes actions pour l'effet total de leurs actions réunies. Enfin je montre comment on peut satisfaire aux équations différentielles des perturbations, dans le cas où la comète serait à

une distance du Soleil infiniment grande par rapport à la distance de la planète au Soleil : d'où résulte naturellement une transformation de ces mêmes équations, laquelle en facilite beaucoup l'intégration relativement à la partie supérieure de l'orbite de la comète. Cette transformation tient lieu des mélbodes synthétiques proposées jusqu'ici pour simplifier le calcul des perturbations dans les régions supérieures de l'orbite, et elle a en même temps l'avantage de conserver l'uniformité dans la marche du calcul.

La deuxième Section est destinée uniquement à l'intégration des équations différentielles de l'orbite non altérée, et contient une solution complète du fameux Problème que Newton a résolu le premier, et une foule d'Auteurs après lui. Je me flatte que mon analyse pourra paraître encore digne de l'attention des Géomètres par sa simplicité et par sa généralité; elle est d'ailleurs nécessaire pour les calculs de la Section suivante, et fournit différentes formules qui sont d'un grand usage dans tout le cours de cet Ouvrage.

Dans la troisième Section, je m'occupe de l'intégration des équations différentielles des perturbations. Je fais voir comment leurs intégrales se déduisent naturellement de celles des équations de l'orbite non altérée, en y faisant varier les constantes arbitraires qui représentent les éléments de l'orbite : ce qui conduit directement à exprimer l'effet des perturbations par la variation des éléments de l'orbite considérée comme elliptique; et ces variations se trouvent déterminées par des formules différentielles assez simples, dont chacune ne demande qu'une seule intégration. Je fais ensuite usage des transformations proposées dans la première Section pour les parties supérieures de l'orbite; les formules différentielles dont il s'agit deviennent par là composées d'une partie absolument intégrable et d'une partie non intégrable, mais qui est toujours d'autant plus petite que la comète est plus éloignée du Soleil, en sorte qu'elle devient insensible lorsque la comète est à une très-grande distance du Soleil. Je termine cette Section par les formules générales qui expriment l'altération de la durée des révolutions anomalistiques et périodiques de la comète.

La quatrième Section contient l'application des méthodes et des formules données dans les Sections précédentes aux perturbations des comètes, et en particulier à celles de la comète de i532 et de 1661. Toute la difficulté de cette application consiste dans l'intégration des formules différentielles qui déterminent les variations des éléments de l'orbite. Après avoir mis ces formules sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul, je montre les obstacles qui s'opposent à leur intégration générale, et qui obligent d'avoir recours aux quadratures des courbes mécaniques. Comme la méthode de ces quadratures est assez connue par les Ouvrages de Cotes et de Stirling, je n'entre là-dessus dans aucun détail; mais je remarque qu'il y a des cas où l'usage de cette méthode cesse d'être légitime : c'est lorsque la distance entre la comète et la planète perturbatrice est fort petite et approche de son minimum. Je donne pour ces sortes de cas une méthode particulière, qui réduit l'intégration aux logarithmes ou aux arcs de cercles, et ne peut jamais être sujette à aucun inconvénient. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la partie inférieure de l'orbite de la comète; car, pour la partie supérieure de cette orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil, je fais voir que la partie des formules différentielles qu'il reste à enregistrer se partage de nouveau en deux parties : l'une indépendante du lieu de la planète, et qui est absolument intégrable; l'autre qui contient les sinus ou cosinus de l'angle du moyen mouvement de la planète, et qui n'est intégrable par aucune méthode connue, mais dont je démontre que l'intégrale est nécessairement beaucoup plus petite que celle de la première partie, en sorte qu'on peut la négliger entièrement; et, au cas qu'on voulût pousser l'exactitude plus loin, je donne un moyen d'approcher de plus en plus de la vraie valeur de cette intégrale. D'où il s'ensuit que, dans les régions supérieures de l'orbite des comètes, on peut déterminer leurs perturbations par des formules analytiques, qui ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cherchés, comme dans le cas des planètes. Je considère enfin la comète des années i532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790, et je déduis des

éléments de cette comète toutes les données nécessaires pour le calcul de ses perturbations. Comme, dans le Programme de 1778, on n'exige pas que les concurrents donnent les résultats numériques de ce calcul, je m'abstiens d'entrer dans aucun détail à cet égard; mais je me Halte qu'il n'y aura point de calculateur tant soit peu intelligent qui ne soit en état d'appliquer à la comète dont il s'agit la Théorie exposée dans cet Ouvrage.

Tels sont les principaux objets du travail que je soumets au jugement de l'Académie; j'en serai suffisamment récompensé si cette illustre Compagnie daigne l'honorer de quelque attention.