SECTION PREMIERE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT D'UNE COMÈTE AUTOUR DU SOLEIL, EN AVANT ÉGARD AUX PERTURBATIONS QU'ELLE PEUT ÉPROUVER PAR L'ACTION DES PLANÈTES.

1 . Je prends la masse du Soleil pour l'unité, et je nomme m la masse de la comète, u, jjl',... les masses des planètes perturbatrices. 11 est clair que ces quantités m, a, p.', . . . doivent être des fractions très-petites, puisqu'elles expriment les rapports des masses de la comète et des planètes à la masse du Soleil; en effet on sait que Jupiter, la plus grosse de loutes les planètes, a environ mille fois moins de masse que le Soleil; et quant aux masses des comètes, quoiqu'elles soient inconnues, on ne peut guère les supposer plus grandes que celle de Jupiter, autrement il pourrait résulter de leur attraction des dérangements sensibles dans les orbites des planètes; ce que les observations n'ont pas encore fait connaître, et ce qu'on ne suppose pas d'ailleurs qui arrive clans le Problème des comètes, tel qu'on l'a envisagé jusqu'à présent.

Nous regarderons donc dans la suite et nous traiterons les quantités m, a, [x ,... comme des quantités très-petites, dont il sera permis de né-

gliger les puissances et les produits de deux ou de plusieurs dimensions. Cette supposition est conforme à ce que les Géomètres ont pratiqué jusqu'ici dans la Théorie des planètes principales et dans celle des comètes, et une plus grande exactitude ne serait peut-être d'aucune utilité.

2. Je rapporte les orbites que la comète et les planètes décrivent autour du Soleil à des coordonnées rectangles, prises du centre de cet astre, et parallèles à trois droites fixes et perpendiculaires entre elles.

Et je nomme ces coordonnées x, y, z pour l'orbite de la comète; H, vj, Ç pour l'orbite de la planète p.; £', ri' , Ç' pour l'orbite de la planète p', etc.

Je nomme de plus r la distance de la comète au Soleil, ou le rayon vecteur de son orbite; p le rayon vecteur de l'orbite de la planète p.; p' le rayon vecteur de l'orbite de la planète p/, etc.

Enfin je désigne par R la distance de la planète p à la comète; par R' la distance de la planète p' à la comète, etc.

Il est clair qu'on aura

• = v/^2 + j2+z% p = <Jl2 + ■/)'-!- ç2, p'— v/£'2 + -//2+CJ.

3. Cela posé, si l'on décompose, suivant les directions des trois coordonnées rectangles x, y, z, toutes les forces qui agissent sur la comète pour lui faire décrire son orbite autour du Soleil, savoir : les attractions

-;> £' in;» • ■ ■ exercées par le Soleil et par les planètes sur la comète, et

les attractions — > 4' 4î>"' exercées par la comète et par les planètes r2 p p

sur le Soleil, et qui doivent être transportées à la comète en sens contraire; et qu'on égale la somme de toutes les forces qui agissent suivant

la ligne x et qui tendent à diminuer cette ligne à — "jTT' la somme de toutes les forces qui agissent suivant y à — j^-. et la somme de toutes les forces qui agissent suivant z à — -r^t dt étant les éléments du temps

supposés constants, on aura ces trois équations

df r3 ' ' V R3

dt2

iv-;.

lesquelles, d'après les principes connus de la Dynamique, serviront à déterminer le mouvement de la comète par rapport au Soleil regardé comme immobile.

4. On aura des équations semblables pour le mouvement de la planète fx autour du Soleil , en tant qu'elle est dérangée par l'action de la comète et des autres planètes; pour cela, il n'y aura qu'a changer, dans les équations précédentes, les quantités m, x, y, z, r, appartenant à l'orbite de la comète, dans les quantités analogues p., !•, y;, Ç, p, appartenant à l'orbite de la planète, et vice versa, celles-ci en celles-là.

Mais il faut considérer que pour notre objet il n'est pas nécessaire de tenir compte des termes affectés des quantités très-petites m, \x, fi',... dans les équations de la planète, parce que les quantités %, vj, Ç dépendant de ces équations ne se trouvent dans les équations de la comète que dans des termes déjà affectés de la quantité très-petite p..

On peut donc réduire les équations de la planète (j. aux deux premiers termes, savoir

<n (i + pu =

de p3 '

d'-n (i4-fi)-/i de p3

dK | ('-+-eK=0.

de p3

et l'on réduira, par des raisons semblables, les équations du mouvement

de la planète p.' à celles-ci

dt*

~dF

et ainsi pour les autres planètes perturbatrices.

Ces réductions sont fondées, comme l'on voit, sur la supposition que, dans le calcul des perturbations des comètes, on néglige les perturbations des planètes perturbatrices. Si cette supposition n'est pas rigoureusement exacte, elle est du moins permise dans la première approximation, à laquelle nous nous contenterons ici de borner nos Recherches, à l'exemple des grands Géomètres qui ont traité avant nous le Problème des comètes.

5. En considérant les expressions des quantités r, p, p',..., R, R',..., il est aisé de voir qu'on peut mettre les équations précédentes sous une forme plus simple que voici :

Pour la comète,

d1x Ht7

d2y IF

dr\

rfÇ'

di)'

dz ' <" dC

Pour la planète jj.,

dÇ

Pour la planète [l' ,

d-T j, , d — , ci —

et ainsi des autres.

Dans ces formules, les expressions -r-> -!-;■>••■ dénotent, suivant la notation reçue parmi les Géomètres, les coefficients de dx, dy,... dans la différentielle de -; et ainsi des autres expressions semblables.

6. Si l'on suppose que dans le mouvement de la comète on fasse abstraction des forces perturbatrices, il faudra rejeter, dans les équations de la comète, les termes affectés de p, p', ... ; on aura ainsi

Pour l'orbite non altérée de la comète,

dt2 dx dt1 dy dt2 dz

Nous pouvons supposer que les quantités x, y, z se rapportent à l'orbite non altérée, et sont par conséquent déterminées par les équations précédentes; dans cette supposition, il est clair que les vraies valeurs des quantités x, y, z, dans l'orbite troublée, ne peuvent différer des précédentes que par des quantités très-petites de l'ordre de p, p.',..., qu'on peut désigner, pour plus de simplicité, par la caractéristique o, à la manière des différences ordinaires; et la recherche des perturbations de la comète se réduira à déterminer les valeurs des différences dx, ây, dz.

7. Dorénavant donc les quantités x, y, z, r appartiendront toujours à l'orbite non altérée de la comète, et devront par conséquent se déterminer par les équations du numéro précédent. Dans l'orbite troublée,

ces quantités deviendront x-hiïx, y-h&y, z-hdz, r + 5r, et devront être déterminées par les équations du n° 5, en mettant dans ces équations ces nouvelles quantités à la place des premières x, y, z, r. Or, comme les différences âx, ây, 5s sont très-petites de l'ordre p., \j.',..., il suffira de conserver, dans cette substitution, les premières dimensions de ces différences (par l'hypothèse du n° 1), dans les termes non affectés de fx, \x' ,...; et, dans les termes affectés de ces quantités, on pourra négliger tout à fait les différences dont il s'agit.

Ainsi donc le terme —r— de la première équation du n° 5 deviendra

d2x cP dx ~dF dt2

d7 le terme (ih-wî) -t- de la même équation deviendra

• dLr (d'T *£ d27-

{S + m)di + U + m) \d^ ÔX + dxlh- ijr + dxîïz~

et les autres termes demeureront les mêmes.

On transformera de même la deuxième et la troisième équation du mouvement de la comète, et, effaçant ensuite les termes qui se détruisent en vertu des équations du n° 6, on aura ces trois-ci, qui serviront à déterminei* les valeurs des quantités iïx, 8y, dz, dues aux perturbations de la comète :

Pour les perturbations de la comète,

={1+m\dr^àx+drdr+dy^ôz/+F- "~Âr~T'À ~h

C'est donc de l'intégration de ces équations que dépend la solution du Problème des perturbations des comètes. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques générales sur la nature de ces équations.

8. J'observe d'abord que, comme ces équations ne renferment que les premières dimensions des variables Sx, ày, dz, on peut chercher à part les valeurs de ces variables pour les différents ternies affectés des quantités p., p.',..., et qui viennent de l'action des différentes planètes dont ces quantités sont les masses; car il est visible que, si l'on réunit ensuite ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des variables Sx, Sy, Bz, qui satisfont aux équations proposées.

En général, il est facile de concevoir que, lorsqu'on néglige, ainsi que nous l'avons fait, les carrés et les produits des forces perturbatrices, l'effet total de ces forces doit être égal à la somme des effets que chacune en particulier produirait si elle était seule.

9. Je remarque ensuite que les termes multipliés par les masses p., p.',... des planètes perturbatrices deviennent d'autant plus petits que les quantités x,y, z sont plus petites, c'est-à-dire, que la comète est plus près du Soleil. En effet, en supposant x, y, z des quantités très-petites vis-à-vis de |, vj, Ç, on a à très-peu près (n° 2)

R ~ p ~~~d[ X dr> T dl Z ;

d'où l'on voit que la quantité - — 4> ainsi que ses différences divisées

par d\, et), dÇ, seront du même ordre de petitesse que les quantités x, y, z. Par conséquent, si l'on suppose que ces quantités soient devenues de l'ordre des quantités p., p.',..., il est clair que les termes dont il s'agit seront pour lors de l'ordre de p.2, \j.[j.' , ... ; de sorte qu'on pourra les négliger, d'autant plus que, dans ce cas, la quantité - devient d'autant

plus grande. Ces termes disparaissant, il est visible qu'on pourra satisfaire aux équations proposées par la supposition de dx = o, §y = o, §z = o. Ainsi l'on peut regarder ces valeurs comme les limites des variables &r, ty, dz, du côté du Soleil.

10. Voyons maintenant quelles sont les limites des mêmes variables du côté opposé.

Supposons donc les quantités 3?, j, z infiniment grandes vis-à-vis de £, ïj, Ç; on aura ici (n° 2)

R r dx dy dz i. d.

2 dy2

dx dy

J'ai poussé ici l'approximation jusqu'à la seconde dimension des quantités |, ïj, Ç, parce que la différentiation par dB, dt), dÇ fait disparaître une dimension de ces quantités.

On aura donc

dÇ

dx2

dx dy

dx dz

dy2 d*1-

dy dz

dx dz

dydz

dz2

Qu'on substitue ces valeurs dans les équations du n° 7, en n'ayant égard qu'aux termes affectés de pi, par la remarque ci-dessus (n° 8), on aura les équations suivantes

d'Sx dt2

Jd?{

Sx C|

dx dy

Yî-t-m

dxd.

ïi'l

dydx \ i-t-m

dy~ \ \-\-m

dydz

Sz-

\rf/! rfi

-iw 7 rfzrfr

^(«-ïMI + pU

rf- ri-

~^dz~

Or on a, par les équations de la planète p. (n° 5)

i a'Yi p

1% i-h H dt2 dn i-f- p. dt7 dl \ -+- a c?r '

faisant ces substitutions dans les pénultièmes termes des équations précédentes, on verra incontinent que, si les derniers termes

>U^' i*dj' *dï

n'existaient pas, et que l'on eût u = m, on satisferait exactement à ces équations, en faisant

Supposons donc

i -I- fJt

fl + P,

si l'on substitue ces valeurs, et qu'on rejette les termes qui auraient

pour coefficient

a (m — ju. )

i -+- jj. i -+- m (i -\- p)(j -h m)

d'après l'hypothèse éta-

DES PERTURBATIONS DES COMÈTES. i15

blie dans le n° 1, on aura ces nouvelles équations

d'- cPl- tf'i \ d-

,,. / rf'- d'- d*- \ d-

. d2- rf2- J2- \ d-

J'observe qu'on peut satisfaire à ces équations en faisant a = K#, p = Kj, 7 = Kz, K étant un coefficient constant; car elles deviennent par là

tf2.r 1 r r r ) v r

dt2 \ dx2 " dx dy " dx dz / dx

dt2 ~ \dydx dy2 * dydz / " dy '

df \dz dx ' c?2 d[r ' dz2 / "■' dz

Mais les équations de l'orbite non altérée (n° 6) donnent

a72 a.r ai «7~ a72 efe

Ensuite je remarque que la quantité - est une fonction homogène de x,

dT- dT- dTy, z de la dimension — i, qu'ainsi les quantités t— , -r-, y- sont aussi

des fonctions homogènes de oc, y, z, mais de la dimension — 2. Donc

par le Théorème connu concernant ces sortes de fonctions, on aura

dx2 dx dy " dx dz " dx

dy dx dy2 dydz dy

d*1- rf>- r/'i rf±

dz dx dz dy J dz2 ' dz

C'est de quoi on peut d'ailleurs s'assurer par la différentiation actuelle. Ces substitutions faites, on verra d'abord que, pour satisfaire aux trois équations dont il s'agit, il suffit de satisfaire à celle-ci

K(i -t- m) = — 2(1 + m) K -t- fx, laquelle donne

3(i-(- m) Donc enfin on aura

àx =

èz=-ï-ï

Ce sont les limites cherchées, dont les quantités &r, dy, d*z s'approchent d'autant plus que la comète s'éloigne davantage du Soleil.