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rt/' . di/i — f - sinucos.u

sir: m

■is/i—f 2 I— /COSM

G= — ?(COSM — /"),

H a\/l—J' C0SU

2 I — /COSM

K= - (cosw— /),

— — sinw.

Telles sont les valeurs complètes des quantités 8x, 8y, 8z, en tant qu'elles résultent des trois équations différentielles du n° 23 ; et les quantités 8a, 8b, âc, 8f, 8g, 8i sont les six constantes arbitraires que ces valeurs doivent contenir à raison des six intégrations qu'elles supposent.

27. Voyons maintenant comment on doit déterminer ces nouvelles

arbitraires; il est clair qu'elles dépendent des valeurs des quantités

« « » . , . ,.„,, ., dèx dèr dèz

8x, oj, 8z, et de leurs diiierences premières —jj—> —jj-> ~jf> pour un

instant quelconque donné. Il faudra donc différentier les expressions de 8x, 8y, 8z trouvées ci-dessus, en y regardant les arbitraires 8a. 8b, 8c, 8f, 8g, 8i comme constantes, c'est-à-dire, en y faisant varier seulement les quantités qui sont des fonctions du temps t, pour avoir les va-

, , d Sx d èy d èz , , , , , , , , i

leurs de —, — > -y-i -~r--> lesquelles seront représentées, en gênerai, par

les formules suivantes

dèx

d\ . </B dC , dD

= -.— oa-i — t- o f -t- — og -4- -j-

dt dt J dt b dt

dôr

r/E s f/F s„ f/G . dE

= -r- on ■+- ~r- àt ^ — tt os -+- -j~r dt dt ■' dt & dt

dèz dt

d\i „ dh .

=z-T-Ôb -h -7- OC.

dt dt

Ces trois équations étant combinées avec les trois du numéro précédent, on en tirera, par la méthode ordinaire d'élimination, les valeurs des six inconnues 8a, 8b, 8c, 8f, 8g, 8i; et il est aisé de voir que ces valeurs seront de la forme suivante

èa = A' èx -+- B' èy

èf=E'èx -i-F'ôr

èg = A" ox -4- B" èy

dOX :

dè} dt

dèx ,.,

fit

dèj

, d èx

■ de} dt

^udSx ti„dày

Si = E" Sx -+- F" Sx + G" —rr- + H Sb = K' Sz -4- L'

dF ^ a IF'

dèz

dt '

,dSz

les quantités A', B', C',... étant des fonctions rationnelles de A, B, C,... , , dk f/B

28. Quoique la détermination de ces quantités A', B',... ne soit, pas difficile, elle pourrait néanmoins entraîner dans des calculs très-longs, si on l'entreprenait par la méthode ordinaire; voici un moyen de la simplifier beaucoup.

Ce moyen consiste à chercher d'abord les valeurs des constantes a, b,

c, f, g, i, en x, y, z, t, et en -j-> j> » 77' * qum on parviendra facilement

par le moyen des formules du n° 14; ensuite à différentier ces valeurs relativement à la caractéristique à, c'est-à-dire, en faisant varier seule-

cloc c/v cl z ment les constantes dont il s'aeit et les indéterminées x, y, z, -j-, -±-, -j-,

J dt dt dt

et marquant les variations par c?; et comme les difïérentiations relatives aux deux caractéristiques différentes cl et 5 sont totalement indépendantes entre elles, on voit aisément que oc? sera la même chose que clîï, de sorte qu'on aura ainsi directement les valeurs de iïa, âb, Se,... en ox, dSx ^

Nous allons donner ici les résultats de ce calcul, parce qu'ils nous seront utiles dans la suite.

29. On voit d'abord (n° 14) que l'équation (B) donnera la valeur de a, et que l'équation (D) donnera celle de h; ensuite l'équation finie (Ej, combinée avec sa différentielle, donnera les valeurs de/et g; et de même l'équation (A), combinée avec sa différentielle, donnera celle de b etc;

enfin l'équation (F) donnera la valeur de i; on aura donc d'abord

i i dx- + dr2 -h dz2 . r2 (dr2)2

a ~ r i(\-{-m)dl2 ' a 8{i -h m)dt2'

ensuite on trouvera

j, (2/1 — r) dy -4- y d r ( 2 h — r) dx -4- x dr

x dy — y dx b y dx — x dy

. z dy — y dz z dx — x dz

x dy — y dx y dx — xdy^

or, si dans la valeur de h on substitue celle de -■> et qu'on y mette -x{x dx + y dy -k- zdz) à la place de dr2, on a

. r2 ( dx2 -h dy2 -+- dz2 ) — (x dx -h y dy -+- z dz)2

2(1 -t- m)dt2

ce qui, à cause de r2 = x2 -+- y'2 -+- s2* peut se réduire à cette forme

. (xdr — ydx)2 -h (z dy — ydzf -4- (x dz — z dx)2

2(1 + m) dï'

mais on vient de trouver

z dy — y dz = b( x dy — y dx ), x dz — z dx = c(x dy — y dx ) ;

donc, faisant ces substitutions, extrayant la racine carrée et supposant, pour abréger,

dy —

dt ya ^ 1 -4- m )

et les autres formules deviendront, étant multipliées par K,

(2/1 — r)dy-\- ydr {ih — r)dx -4- x dr

K/= ■ , = — , Kg-— —

dt \J '2(1 -+- m) dt\]i{i -4- m)

z dy — y dz „ z dx — x dz