sin

''^ = ; j Y, oos 2/^ sin —, — — - H ' sin 2//r sin

2Arsin — ; : '

2 sin

) Y, cos 9.tk sm — -f- sm 2/A sm —7 : f

wH- 1 i 2 n-f-i)| , . 27: L ^('H-OI/

i ' ^ '"* 2 Asm -7 : *- 'M

2 Sin

- ) Y3 cos 2 /A sm — -h ^ sin \ 2 th sin — ;

i 2 n-hi ,. .^ 377 L 2 /i-hi

2sin

n-f^il-. r w . n7: 1 V« . F w • '^'^ l) 1 Y„ ros 2/A sin — -h sm 2/Ar sm — ; f •

^application de la solution précédente aux cordes sonores.

39. Je supposerai ici, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales V, V", V'",... soient nulles, moyennant quoi la valeur de r^'^ ne contiendra plus que des termes de cette forme

2 sm -

— ; Y^ros 2/Asm-7 r U

m étant successivement i, 2, 3,..., n.

' Cela posé, on sait que

9 = sin9 -h asin*9 -h j3sin*<p-h y sin'9-1-. . .,

en faisant

(tonc

sirio = 9? — asin*o — J3sin*o— y sin'9 — . . .;

<loiic, supposant (p = — — - — -•> et taisant, pour abréger.

mr:

sin — = jT,

on aura

SHi — = — ax^ — 3 JT* — y.r' — . . . ,

?. ( /i -f- I ) tx ( n -4- I j ^ '

el, par conséquent,

I, . m 7: 1 / mkt , -, , \

(mh't t: ) cos ( 2 a A'/x^ -•- ^ |3 A7x» -^- . . . )

-}- sin I r I sin ( 2 a ktx^ -h 2 (i A/a:' -h . . . ).

Or vo>>{?0Lktx'^ 'yJ^ktx'^ . . .)= 1 — 2a^A='/^:r^— 2aj3 A*=/'jr* — 2^=A = /'x«'' — ..., el siiiiJiaA7.r»-h2(iA/jr^4-..05R2aA7^^^-2[3^/x*-h2yA/j7'H-(2âA'/— -î— ^ — |x*-h...;

«te plus

et, par conséquent,

donc, on aura aussi

sin (2a A-/jr» 4- 2(3fr/:r» -♦- ...) = | 2aktx' -f- ( a -f- 2(3) A*/^* "^ ("T "^ ^^ "^ ^'^) *^'*''

oîi l'on irmarquera que

— , . mr, mr, i . mr.

X y I — j7^ z= sin — cos — = - sin

2(aï -h i) 2(n-f-i) 2 n -h I Maintcnanl fn'' 38 j

V„. — \'sin h- Y'sin H- \"'sin h. . .-h Y^^^sm ;

/i-f-i n-hi /i-f-i w-f-i

<loiH\ si Tcm imiltiplic rette quanlilé para:^^, c'est-à-dire par

sin : = - I — cos ),

cl (lu'on développe les produits des sinus et des cosinus, on aura

\ ,„ X- z= -. -y' [ •?. sin — sin )

.,„ i . ?.//î7: . Smr: . /wr \

^ V 2 Sin sin sin

— V 2 sin — sin — — sin )

. [ nniT . (n-hïjim: . (n — i)m7:\i — \ " 2 Sin sin ^ sin ■ ' ' '

n -h i /i-hi n -h i ' \S

— - 7 Y - 2V )sin h\'^— 2V-hY sin

-^-(Y-- 2Y"-^Y'',sin^^^-h...-f-[-2Y(")-hY("-'nsin-^^l,

a cause de sin - — - — =sinm7: = ().

Qu'on déiiole par A'** Y les différences secondes des quantités Y dans la suite Y , Y', Y' Y" , de sorte que Ton ait en général

et su|)posaiil

Y" =: o et Y^"-^' ^o

ce qui est permise a cause que les quantités Y', Y", \ '",..., Y"^ sont les I. 69

siny = 9 — asin*9 — jSsin*^— ysin'9--. . .;

(loue, supposant ç = — — '- — -^ et taisant, pour abréger.

on aura

sin —. — X,

et, par conséquent,

ros ?./A sin -- — * — r = cos ( 7: — 2xktx^— ^Qktx^— o.yktx' — . . . |

I 2(/î-fi)J \n-hj ^ ' 1

= (!0S f T.\ COS {7. a ktx^ -h 7.^/iix^-^, . .)

-h sin ( ~^) ^'" (7.xhtx^ -h :i^/ttx^-+-. . .).

Or cos(2akix^-+- 2 (3 /r/o:* h- . . .) = i — locrh-t-x' — 2a(3A-7».r»— 7.^-k'rx'' - . . . , et s\n{2xktx^'-h'i^hix'-h,.,):g:z:}.xhtx''^7pktx'-+-7yktx'-hUdh't—^^^

(le plus

Vi — o:^ :>. 2.4 2.4.6

et, par conséquent, donc, on aura aussi

s'in (7(xktx* -f- 2^kix' -h ...) = j 9.x ktx' h- ( a -4- 2;^) A/jt* -h ( -^ -h ^ -^ 2-/) /»7.r*

où Ton remarquera que

— - . niT mr i . mi:

X ^> i — x^ = sin — cos — r = - sin

2{n -h i) ?.(/î-4-i) 2 /i-f-i Maintenant fn^*38j

\„,= \'sin h- Y"sin -h Y" sin h. . .-f- Y(">sin ;

n -h \ /i-hi /n-i w-f-i

done, si Ton multiplie eelte quantité ptàv x^, c'est-à-dire par

r . mr 1' I / mi: \ sin — : = - ( I — vos 1 ->

(»t qu'on développe les produits des sinus et des cosinus, on aura \ „, f = y \' [ 2 sm — sm

. „ / . 2//Î7: . 3mr . mr, \

-^ V 2 sm sm sm )

^ /i -4- I Aï -h I n-h ï .1

-„,, / . 3/?? 77 . ^mr: . 2m7r \

-^ Y" 2 sm — sm — sm )

^ " 2 sm — sm ^ sm - - ' '

n -\- i /î-hï /i-i-i'J\

7 [( Y' - 2 Y' ) sin -^^ -h ( Y'^ - 2 Y" -h Y ) sin ^-^^

(Y--2Y'''-hY'')sin^^^-h...H-[-2Y(")-f-Y("-''lsin-^^^^^^l,

a cause de sm — =sin/w7r = ().

Qu'on dénote par A^Y les différences secondes des quantités Y dans la suite Y , Y", Y" Y", de sorte que Ton ait en général

et supposant

Y" = o et Y*""^' -. o

ce <|ui est permisrà cause que les quantités Y', Y", Y",..., Y"- sont les

seules données), afin que

on aura

Y(-) .r^ ^ i [a^ Y' sin ~^- -h A' Y'' sin -^^^

-f- A» Y'" sin h ... 4- A' Y("^ sin •

Si Ton t'ait de même

A*Y^*-^^ A^Y('-^'>— 9tA'Y(*^-i- A'^Y(*-'^

el (|u'oii suppose ensuit(»

A^'Y"::^!) el A'Y"'^'^=o.

on trouvera

\,„X* :rr. . A^ Y' SHl h A* Y SIU

lo L n -h ï /i -f- I

.,.,«, . 3m;: .,. . . nm-r: ~]

-f- A* Y'^sin h. . -4- A*V "^siii •

En général on aura

V„,^"'=rzt: - A^'^Y'sin h A^'^Y'^sin

fie signe supérieur étant pour le cas de r pair, et l'inférieur pour relui de r impair), pourvu qu'on suppose

conditions auxquelles on peut satisfaire en imaginant la suite des Y continuée de part et d'autre à l'infini, de manière que les termes Y" et Y^"" * soient nuls, et que les termes également distants de ceux-ci soient égaux et de signes contraires.

Donc, si Ton fait ces substitutions, et qu'on fasse, pour abréger,

et de plus

P' sin h P" siu h F' siii h . . . -f- P^"^ siii = P,,

Q siii h Q" sin h Q^^sin h ... H- 0^"^ sm = Q«,

on HUi'H

//ïat: