L'équation

donne, en général,

xr= U r+[uryf[u) + ^ ^ [ j j H- ^ ^ J H- • • • •

Or, soit F(ar) une fonction quelconque donnée de a?; on peut la supposer réduite à la forme

Mx r -h Nx s -+- Vx* -h. . .;

ainsi, pour la valeur de F(a?) t il n'y aura qu'à ajouter ensemble les

valeurs de x r , x\ x\ ... multipliées respectivement par M, N, P, ... ; on aura par ce moyen une formule dans laquelle, à la place de u r 9 il y aura

c'est-à-dire F(ii), et par conséquent F'(ii) à la place de (uT)'.

De là résulte enfin ce nouveau théorème, remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité :

L'équation

x = u -hf[x) donne

où les /onctions désignées par les caractéristiques /et F. peuvent être quelconques.

En effet ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines et n'est plus qu'un résultat de la transformation des fonctions, qu'on peut vérifier par l'élimination successive de x ou de u. J'ai donné le premier ce théorème dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1768; j'y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés depuis à le démontrer a posteriori parle développement des fonctions; mais La place en a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1777» une démonstration directe et élégante, tirée du Calcul différentiel; c'est cette démonstration que j'ai transportée dans la Théorie des /onctions (n° 99).

Il est bon de remarquer qu'en faisant u = o l'équation x = u +/{&) devient x=/{x), laquelle peut représenter une équation quelconque en x, et l'on aura la valeur d'une fonction quelconque F (4?) en faisant u — o dans la série

F(ii)+F'( m )/( W ) + I[F(ii)/M«)Th-^[FV0/M")7 + --^

après le développement des fonctions, ce qui est beaucoup plus simple. VIII. 36

22. Avant de terminer cette Note, je vais faire voir comment la méthode du n° 13 , pour résoudre par approximation l'équation F(a-hp) = o, peut être appliquée à la résolution simultanée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Supposons que Ton ait deux équations entre les deux inconnues x et v, que nous désignerons en général par

F (*"»r) = ° el /(• r »r) = °-

Supposons en même temps que l'on connaisse déjà deux valeurs approchées a et b de x et y, en sorte qu'en faisant x = a-\-p, y=b + q les quantités p et q aient des valeurs fort petites. Il s'agira de tirer ces valeurs des deux équations

F{a-hp, b-hq) = o, f[a-hp, b -h ç) = o.

Suivant l'esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries; les deux équations deviendraient ainsi

F(«, b) -hMp-\- Nj-h. . .= o, f(a, b) -f- mp -+■ n:j -+-. . . = o,

d'où l'on tire pour première approximation

N/(« f 6)- nV(a.b)

- -M/(g,ft)-4-mF(«,A)

Ainsi, a et b étant les premières valeurs approchées de x et y % a-\- /?, b -h q seront des valeurs plus approchées, qu'on pourra substituer à la place de a et b dans les fonctions p et q; et, désignant par/?!, q y ces nouvelles valeurs de p et q, on aura a-\-p-\-p x et 6 -h y h- y, pour les valeurs de x et j encore plus approchées, et ainsi de suite.

Ce procédé a été donné par Thomas Simpson dans ses Essais sur plusieurs sujets mathématiques , et il est assez commode pour le Calcul

arithmétique; mais il serait difficile d'en tirer des expressions de x et y en séries ordonnées suivant les puissances des quantités ¥(a, b) et/(a, b), qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d'avoir la loi de ces séries; voici comment on peut y parvenir.

On regardera les quantités a et b comme des fonctions quelconques de deux autres quantités a et p, de manière que, ces quantités devenant a-+-i et [J-ho, les quantités a et b deviennent a -hp et b-*-q; et Ton supposera que ces fonctions soient telles que F(a, b) = a et f(a, b) = $ 9 ce qui donnera, en mettant a -h* et $-ho au lieu de «et p,

F(fl+/? f t+}) = a + /, fl a +P> b + Ç) = $ + o;

de sorte que les équations proposées deviendront alors d'où l'on tire

Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans la Note précédente (n°9), les fonctions a et b des quantités a et p, lorsque ces quantités deviennent a -h i et p -h o, se développent dans les séries

Donc, substituant — F(a, i) pour i et — f(a f b) pour o, on aura

où il n y aura plus qu'à substituer les valeurs des fonctions partielles ("0' (g?)* (~ V ••• qu'on tirera des équations

F(*,ft) = * et /(a, b) = (3,

en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à x et £, et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes. Ainsi l'on aura d'abord

Mais on a en général, relativement à a et b,

^», = (û*i!) rf+ (£!*i))^

donc, en regardant a et è comme fonctions de a et [J, on aura, relativement à chacune de ces quantités en particulier,

m^H^m-tëH

//> : »)\ = / /> ; fe) y^;

( û*il) = ( £^l).^ + (£l f »l).(* ) .„

d'où l'on tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre

exprimées par les fonctions partielles

( H*ilj, (F^, (££»)), ^j,

qui sont faciles à déduire des fonctions données F(a, b) 9 f(a 9 b) 9 en prenant leurs fonctions dérivées, relativement à a et b en particulier. Ensuite , en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs

(w' \hr "■ re ' at i vement à a et p, on aura les valeurs de (4r)'

(-Ta/)' ••••et ainsi de suite.

Si l'on fait, pour abréger,

\a'/ M/i-Nm' \(3'/ Mu — N

\«/ Mn-Nm' \P'/ M» — N

et les premières valeurs de p et q seront

nF{«.6) { N/(«.t) t ^ M/i-iNm Mn-Nm'

wF(fl, ft) M/(«r. ft) ?— M/i-N/n Mn-Nm'

Ces premières valeurs de p et q coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales de p et q ont l'avantage de présenter des séries toutes développées et faciles à continuer aussi loin que l'on veut.

on aura