Ï^J'IO

Pour ces Taleiirs de X, [x, a et pour cr;=l la formule (6) qui définit la longueur du pas l donne

/(5,95804-Hl).l.(2 — 1)^ y 2.2,47902

l = 0,30992 \r':.Z;li ' = 0,68099,

Pour cette valeur de l les équatious (5) nous donnent B(7^5î^ = 0,17025, ^B=M^ = 0,17025, B D = »?-0,17025, .il* = ^^ = 0,34049.

Telles doivent être les dimensions des diverses pièces du parallélogramme que nous avons décrit, si l'on donne à la quantité a la valeur 1.

La déviation du mouvement rcctiligue dans ce parallélogramme d'après le § 8 sera plus petite que

OÙ M est la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions

2(1 — 2Xo -f- -4 — 2Xs — s^

2]* — 2X<JH--^^2)>s — sî

pour s variant entre 0 et C7 ^ 1 .

En mettant dans les expressions de ces fractions les valeurs de d, «, X, 1»:, l et en s'arrêtaut aux deux décimales, ou trouve que les fractions considérées sont égales à

(3,49 — sf (5,96 -I- s)2(2,44 — s) (2 — s) '

11,79 — 4,96 s — a^ 29,54 {5,96 -i- s) (2,44 — sf {2 — s)'

Ces fractions comme il n'est pas difficile d'apercevoir vont en croissant de s ^ 0 jusqu'à s =: 1; doue entre ces limites leurs valeurs maximales correspondent à s = 1 . Eu faisant

on trouve que la première fraction s'approche de 0,0136 et la seconde fraction— de 0,01 37. La dernière quantité, comme la plus grande, sera donc la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions dans l'intervalle entre s :=0 et s = 1; par conséquent, d'après nos désignations

Eu mettant cette valeur de M avec les valeurs de c, a dans la formule

on trouve que les déviations du mouvement parfaitement rectiligne dans le cas que nous avons examiné seront plus petites que

™^ yO,0137 = 0,000283,

ce qui ne fait pas même 0,00042 de la longueur du pas l = 068099, tandis que dans le parallélogramme de "Watt qui fut l'objet des recherches de Prony (Annales des mines T. XII) les déviations surpassent 0,00060 de la longueur du pas *).

D'où l'on conçoit qu'un pareil parallélogramme comme effectuant immédiatement la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement circulaire continu peut suppléer dans les machines à vapeur aux parallélogrammes employés aujourd'hui ainsi qu'à la bielle avec la manivelle. Remarquons pour conclure que dans ce cas le rapport des vitesses se montre égal à celui que peut fournir seulement la manivelle de la longueur infiniment i

'*) La limite de ces déviations diminue rapidement avec la diminuatiou de a. Ainsi

pouro=— , iiuand a = 0,29533, li = 0,76415, ( = 0,59676, cette limite est plus petite que

0,00014; pour o = — , quand a = 0,28648, 6 = 0,76175, l = 0,53716 cette limite est plus petite

^ue 0,00007,

(XRABUXT PA31 G.. G. SOUSI.OÏ*.)

0 lic^mpoS^&ohnoMU pesifAJimopn

OiieTT. H piïH, npoHBHeoeHHLia bi. TopBteoTBeHHOMt coëpaHÎH HMnepaiopoi MocKOBCKaro TexflHïecaaro y^BaHm,* 8-ro oeaisôpii 1871 ro«a.

Du régulateur centrifuge.

§ 1 . On couuaît aujourd'hui plusieurs régulateurs centrifuges, dont la vitesse de rotation reste la même quelle que soit la position de la douille ou du manclion mobile. Mais cette propriété, ai importante dans la pratique, n'est atteinte qu'en ajoutant de nouveaux organes au régulateur centrifuge de Watt au détriment de la simplicité de sa forme primitive. Certainement, l'un des moyens les plus simples de rendre isochrone un régulateur consiste à le munir d'un ressort, comme l'a fait Foucault pour son appareil; mais pour que l'isochrouisme fût parfait daus ce cas, il faudrait que l'action du ressort suivit, invariablement et avec une rigueur absolue, une loi déterminée, condition qu'on ne saurait réaliser dans la pratique. Quant aux mécanismes qu'on a cherché de rendre isochrones sans l'aide d'un ressort, leur complication les exclut de tout emploi utile. Mais s'il est impossible de rendre le régulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant sa forme primitive, il est, d'ailleurs, facile de remarquer que le degré de ses écarts de l'action des régulateurs parfaits dépend de la dimension et de la disposition de ses organes. Donc, avant de le compliquer dans le but de le rendre plus isochrone (l'isochronisme absolu n'étant pas réalisable eu pratique) il est nécessaire de déterminer le plus grand degré d'approximation à l'isochronisme parfait que peut atteindre le régulateur centrifuge sous sa forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons d'indiquer se réduisent à une question d'analyse semblable à celle qui se présente dans le problème de déterminer !a forme la plus avantageuse du parallélogramme de Watt, et elles établissent, comme on va le voir, qu'en donnant des dimensions et des dispositions convenables aux différents organes du régulateur de Watt on s'approche de l'isochronisme parfait en tel

degré, qu'il est superflu de compliquer encore le mécanisnie pour atteindre ce but définitivement. En effet, le degré d'approximation à l'isochronisme absolu pour le régulateur de Watt peut être poussé si loin qu'il est douteux qu'on puisse obtenir des résultats plus satisfaisants en construisant réellement même des appareils parfaitement isoclirones.

§ 2. En considérant le régulateur centrifuge de Watt (fig. 1), nous supposerons que les tiges portant des sphères oscillantes sont prolongées au delà de leur point d'attache à l'axe vertical du régulateur, et qu'elles sont articulées par leurs bouts sur les bras qui soutiennent le manchon mobile, comme cela se fait souvent dans la pratique. Pour plus de généralité nous ne nous bornerons pas au cas oii les tiges sont droites, mais nous les supposerons brisées et formant un certain angle "l*- Nous désignerons pour plus de brièveté par l'expression: première partie de la tige, sa partie supérieure et nous prendrons sa longueur pour unité. La partie inférieure de la tige depuis le point d'attache à l'axe du régulateur jusqu'au centre de la sphère oscillante sera désignée par l'expression: seconde partie de la tige, et sa longueur sera r. Nous noterons a la vitesse angulaire de rotation, en général, et sa valeur normale dite de régime par «o. L'angle d'inclinaison de la première partie de la tige sur l'axe vertical du régulateur pour sa vitesse de rotation normale «^ sera désigné par cp, et sa valeur pour toute autre vitesse M sera ç -i- a, de façon que a sera la mesure de la variation de cet angle pour tout écart de la vitesse a de sa valeur de régime a^ .

Si l'on forme d'après le principe des vitesses virtuelles l'équation d'équilibre entre la force de gravité, agissant constamment sur le manchon mobile et sur les sphères oscillantes, et la force centrifuge développée par leur rotation avec la vitesse m, on obtient l'équation que voici:

oii l'on a pris pour unité de poids celui d'une des sphères oscillantes et où P est le poids du manchon, m étant la longueur des bras.

En tirant de cette équation la valeur de «^, ou trouve :

2 L Vm^ — s.ia2{f-t-a.)J

Eu divisant par to^, on aura

ym' — sin^ (y -♦- g) J

OU bien

a) — --=■ sin (^( — 9 — *)

«0^ B sin 2 (4* — ç - «) '

en posant

Or, comme par hypothèse

a = 0 pour

il est clair que la fonction

fi - -=^^^^:^i=1 sin (V -,- g) - ^ sin (4- - <p - «) *■ ' £sin2(>(--9 — «)

deviendra 1 pour a = 0.

Mais l'isochronisme parfait du régulateur n'est atteint, comme on a vu, qu'à la condition que la vitesse angulaire u conserve toujours sa valeur Wo quelle que soit la position du manchou mobile et, par conséquent, quelle que soit la valeur de l'angle a qui détermine cette position; la fonction (2) devient alors uécessairement égale à l'uuité. Or, quoique cette fonction ne satisfasse rigoureusement à cette condition pour aucune valeur des constantes

qui entrent dans son expression, néanmoins, par un choix convenable de ces valeurs ses écarts de l'unité peuveat être rendus très petits pour toutes les valeurs de a usitées en pratique. Par conséquent, le régulateur centrifuge, dont les paramètres A, B, m, 4» et cp auront ces valeurs, différera très peu d'un régulateur rigoureusement isochrone.

§ 3. Quand on détermiue les paramètres d'une fonction donnée de façon à rendre minima ses écarts d'une valeur constante quelconque pour toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la variable indépendante, il faut distinguer deux cas: 1" quand ces limites sont infiniment rapprochées entre elles; 2" quand leur différence est une quantité finie, plus ou moins considérable. Les valeurs des paramètres, obtenues dans la première hypothèse, comme nous l'avons fait voir dans notre mémoire intitulé: Ihêorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *) offrent une première approximation et permettent d'obtenir facilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothèse, par une méthode exposée dans ce mémoire.

En nous arrêtant au premier cas, où les limites de a sont infiniment rapprochées et, par conséquent, diffèrent peu de zéro, nous remarquerons que le degré d'approximation de l'expression

à l'unité est déterminé par la plus petite puissance de « dans le développement de la différence:

==1sm(T-.-a)-^

suivant les puissances ascendantes de a.

En développant cette différence en série suivant les puissances de a et en égalant à zéro les coefficients de

on obtient cinq équations qui devront être satisfaites pour que la plus petite puissance de a dans ce développement soit 5, ce qui est l'approximation maximum de la fonction (2) de l'unité, car ces cinq équations nous donneront les valeurs de tous les cinq paramètres qui entrent dans l'expression de cette fonction.

La solution des équations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs suivantes pour Â, B, m, i|», ç, à savoir:

*) T, I, pag. 111 — 143,

En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expression qui ue différera de l'unité que par des termes contenant» à la cinquième puissance et à des puissances supérieures à 5; donc cette fonction pour les valeurs de a peu sensibles (comme c'est toujours le cas en pratique) restera toujours peu différente de l'unité. En effet, si l'on calcule la valeur de la dite expression pour différents «, on trouve que la différence entre la fonction (2) et l'unité n'atteint la valeur de 0,001 que pour a=14''40' et ne s'abaisse jusqu'à — 0,001 que pour a^ — 13°50', tandis qu'à mesure que la valeur numérique de a devient plus petite, cette différence diminue très rapidement, c'est-à-dire à peu près comme la cinquième puissance de a.

D'autre part, en calculant *} l'élévation du manchon pour

on trouve qu'il s'élève de 0,62 de la longueur de la première partie du bras, que nous avons prise pour unité, pendant que a varie de 1 4°40'jusqu'à — 13''50'. Mais au fur et à mesure que ces valeurs limites de a. se rapprochent, la hauteur de l'élévation du manchon diminuera presque proportionnellement à la première puissance de a, comme on peut le montrer par des calculs. Il en résulte que si l'on donne aux différentes parties du régulateur de "Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport-^, devient égal à l'expression trouvée, on rendra ce mécanisme très peu différent d'un régulateur parfaitement isochrone, car dans ce cas, comme on vient de le voir, le rapport —^ restera toujours entre 1-+-0,001 et 1—0,001 pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite la différence « — w^ sera comprise entre ^^ et — ^^. Mais si l'on diminue la portée des déplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0^4 de sa valeur première, les limites de la différence w — «o diminueront proportionnellement à

donc elles seront réduites aux valeurs:

±0,00029t*o; rhO,00016uo; =t 0,00008oo; ^0,00004g)o.

§ 4. Quoique les limites trouvées pour les écarts de la vitesse angulaire a de sa valeur de régime % soient assez rapprochées, néanmoins on

*) Par l'espreasion coa (;?■+-«) -t- V^x"^ — am^ (ç -\

peut encore les restreindre et même cousidérablemeût. Ces limites, comme ou vient de voir, correspondent au cas, où l'on détermine les paramètres qui entrent dans l'expression (2), en supposant que la variable « est infiniment petite. Quand on passe du cas, où « reste infiniment petit, à celui, où a diffère de zéro par une quantité finie, mais peu sensible, on est en état, à l'aide des méthodes exposées par nous dans le mémoire mentionné, de rendre ces limites 2*= 16 fois plus petites. Mais comme les valeurs trouvées pour les quantités Â, B, m, -l*) Ç fournissent l'approximation tout-àfait suffisante pour la pratique, nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation des paramètres qui donnent l'approximation encore plus grande. Remarquons seulement, que pour les valeurs de

A, B, m, •!), fp, ainsi trouvées, la différence

<-" ,L Vm^ -3111^(9-1- g) J ,

s'annule pour cinq valeurs différentes de a; par conséquent, cinq positions différentes du manchon mobile correspondront à une même vitesse angulaire 0(,. Quant aux valeurs des paramètres

A, -B, m, cfi, «l*,

pour lesquelles à chaque vitesse angulaire ne correspond qu'une seule position du manchon, on peut les trouver par la méthode exposée par nous dans le mémoire mentionné, seulement on doit ici au polynôme gui diffère de zéro le moim possible sans restrictions suppléer le polynôme qui diffère de zéro le moins possible en croissant continuellement, ou en décroissant. Si l'on détermine les différents polynômes qui satisfont à cette condition, on trouve que celui qui est nécessaire pour le cas présent peut être représenté par la formule:

où l'on a désigné par x^, «^ les limites des valeurs de la variable a pour lesquelles le polynôme inconnu

a* -+- aa* -I- 1)0? -+- ca^ -h (ïa -+- e,

diffère de zéro le moins possible en continuant toujours à croître ou à décroître; à l'aide de ce polynôme les limites qu'on a trouvées dans le § 3 pour des écarts de l'expression (2) de l'unité, peuvent être diminuées dans le rapport 4:9.

§ 5. En se bornant à la première approximation, ou aura d'après Ie§ 3:

^ = 0,84713, JS= 0,65616, »j= 1,31271, .|) = 119°10', 3j = 58°46', où d'après (1)

(3) ^ = ï, B="-fir-

De ces équatious on tire

en mettant pour A et B les valeurs trouvées, on obtient:

Nous avons ainsi tout ce qu'il faut pour déterminer les diraeusioas de toutes les pièces du régulateur.

Supposons, par exemple

les formules ci-dessus nous donnent

Si l'on fait une épure du régulateur centrifuge conformément aux valeurs trouvées r, m, <^, on apercevra que cet appareil aura la forme représentée sur la iig. 2, où CD et (ZB sont ce que nous avons nommé les premières parties des tiges; leur longueur est prise pour unité (§ 2); AG et BG sont les secondes parties des tiges, dont la longueur r est égaie pour notre exemple à 1,72115; BF, BF mnt les bras soutenant la douille F; leur longueur est constamment égale à 1,31271; les angles ^6!E, -BGZ) formés pas les premières et les secondes parties des tiges ont chacun IIO^IO'. Quant aux angles FGD, ECF qui mesurent l'inclinaison des premières parties des tiges sur l'axe du régulateur, ils aui'ont chacun 58''46' pour la vitesse normale de rotation du mécanisme.

Le régulateur centrifuge ainsi composé aura ses tiges dirigées en haut, comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses sphères oscillantes se

trouveront élevés au dessus des points d'attache des tiges à l'axe du régulateur. En outre ce mécanisme se distinguera du régulateur de "Watt dans sa forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus considérable que celui des sphères oscillantes. Ainsi dans notre exemple P=4,06355; donc le manchon sera plus de i fois plus lourd qu'une sphère.

FJg. 2.

Kemarquons encore que les secondes parties des tiges doivent être recourbées (comme cela est indiqué sur la figure 3) pour que leur mouvement n'entrave pas le jeu des premières parties des tiges. Eu recourbant ainsi les tiges il faut observer que les centres des sphères doivent être rigoureusement à la distance r du point C et que l'angle entre les premières et les secondes parties des tiges doit être égal à 119°10'.

§ 6. Jusqu'à présent nous n'avons pas examiné l'action des masses des tiges et des bras, comme c'est toujours l'usage dans la théorie des régulateurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degré d'approximation à l'isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considérer l'influence de ces parties du mécanisme. En introduisant dans l'équation de l'équilibre l'action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges et des bras, on trouve pour le rapport ^ une expression qu'on peut mettre sous la forme (2) du § 2, si seulement la distribution des masses dans les tiges et les bras satisfait à une certaine condition. Il n'est pas difficile de donner à cette condition une expression analytique tout-à-fait rigoureuse, mais pour les besoins de la pratique, à cause de cette circonstance que les masses des tiges et des bras sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, elle peut être exprimée avec la précision suffisante comme il suit:

«Si l'on doune au bras EF (fig. 3) séparé du manchon F une telle direction que la projection de son bout F sur le plan du régulateur*) coïncide

avec le point C, il faut que le moraeut d'inertie de la tige entière AOE avec le bras FF qui y est attaché soit le même relativement aux deux plans qui sont perpendiculaires au plan du régulateur et qui font avec la droite AO au point A les angles égaux chacun à ;^u.

Quand chacune des deux tiges avec le feras qui y est attaché satisfait à la condition exposée et quand leurs masses sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, on peut mettre l'expression pour le rapport ~ sous la forme (2) avec la précision tout-à-fait suffisante pour la pratique, si l'on pose:

= Z AGE -+- arcsin

oîi p est le poids d'une tige; p^ — celui d'un bras; p est la distance entre le centre de gravité d'un bras et son point d'attache au manchon; X et y

*) Le plan qui passe par l'axe du régulate s'appelle le plan du régulateur.

r et par lea centres des sphères oscillantes

— lissent les coordonnées du centre de gravité; Ç, v] — les bras d'inertie *) relativement ans plans ijs, zx d'une tige avec le bras correspondant, quand celui-ci a pris la direction indiquée. On prend pour l'axe des x la droite AC\ l'axe des y est une droite perpendiculaire à la première et située sur le plan du régulateur; l'axe des s est perpendiculaire à ce dernier plan {fig. 3). Par r on a désigné la distance entre le centre A et le point C. L'angle ACE mesure l'inclinaison de ce segment sur la première partie de la tige AGE. Ainsi, après avoir considéré l'action des masses des tiges et des bras, on peut mettre l'expression pour la quantité -^ sous la forme précédente (2) et l'on construira un régulateur qui même sous l'action de ces masses différera très peu d'un appareil rigoureusement isochrone, si l'on donne aux paramètres

A, B, m, •]>, cp,

les valeurs trouvées au § 2. En mettant ces valeurs pour A, B, '^ dans les formules (4), on aura les trois équations suivantes;

Z ACE-^arcsin T..T,.". ^U^IO'

qui remplaceront celles du § 5. Quant aux quantités m et tp, elles resteront les mêmes.

§ 7. Pour donner un exemple et pour montrer, comment on doit faire l'application des formules déduites, supposons qu'on a besoin de construire un régulateur centrifuge, pour lequel

Nous avons pris partout pour unité des longueurs celle de la première partie de la tige; donc g, l'accélération de ia pesanteur, sera un nombre plus ou moins grand dépendant de la longueur du segment pris pour unité. Par conséquent, on peut toujours choisir la longueur de ce segment de manière que le rapport

l/VM,-K^,^.M.-t-... ,/VJl/,-.-y,Mf,-H..

*) C'est k dii'e les quantités oU l'on adésigaé par Jt/j, M^;... les masses des particules do la tige avec le bras correspondant et par Xi, Hi, Sj, tc^j Vzi 'z> ■ • ■ ^^^ coordonnées des particules i>f|, Mg, . . .

prendra la valeur 0,9 indépendamment des valeurs que prennent la vitesse angulaire w^ et raccélération g.

En commençant l'évaluation des diverses parties du régulateur, nous négligeons d'abord, dans la première approximation, l'influeuce des masses des tiges et des bras; donc dans les formules (5) on peut poser

Or pour ces valeurs de p, de p^ et pour ^ = 0,9 des expressions (5) on tire les résultats suivants:

La solution des deux dernières équations nous donne;

1 poids celni

P est le poids de la douille, si l'on a pris pour unité d'une sphère oscillante; par r est désignée la distance entre le centre de la sphère et ie point d'attache de la tige à l'axe du régulateur.

Pour évaluer ces quantités plus exactement, cherchons la position approximative du centre de la sphère relativement à la première partie de la tige, position qui correspond ans valeurs déjà trouvées pour r et pour l'angle EGA. Prenons donc une droite quelconque jÇCpour la première partie de la tige et sa longueur pour unité; menons (âg. 4) une droite AG inclinée sur celle-ci sous l'angle ^C£'= lig^IO' et faisons

Le point A sera la position du centre de la sphère dans la première approximation; le point G indiquera la position du point d'attache de la tige

Fig.

à Taxe du régulateur, et toute la ligne brisée AGE sera située au plan du régulateur. En meuaût du point A les deux droites AG, AG^ qui font avec la droite ^Cles angles GAG, CAG^, ayant chacun 45°, et en construisant sur ces droites les deux plans P, Pj , perpendiculaires au plan du régulateur, on trouve les deux plans du g 6: relativement à ces plans doivent être égaux les moments d'inertie de la tige avec le bras qui y est attaché et (lui a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du régulateur coïucide avec le point G. Ainsi tout le bras sera situé, évidemment, plus près du plan P que du plan P■^, et la même chose aura lieu pour EC, la première partie de la tige. Donc l'égalité déjà mentionnée des moments ne peut subsister qu'au cas où il y a sur la seconde partie de la tige des points situés plus près du plan Pj que du plan P, mais alors cette partie de la tige doit être menée en bas au delà de la droite AG, car, les angles GAG et CAG^ étant égaux, tous les points de cette droite sont équidistants des plans P et Pj. D'où il est clair que la courbure des tiges (fig. 3), qui leur donne la possibilité de se mouvoir librement, est eu même temps nécessaire pour qu'on puisse satisfaire à la dite condition de l'égalité des moments tout en laissant droits les bras et les premières parties des tiges. Au fur et à mesure que les points de la seconde partie de la tige s'abaissent au delà de la droite AG la différence de leurs moments d'inertie relativement aux plans Pet Pj augmente constamment, donc après quelques tâtonnements successifs il ne sera pas difficile de donner à ces points une telle position que l'égalité pour les momeuts d'inertie de toute la tige avec le bras soit atteinte. Evidemment, nous pouvons arriver à ce but en donnant à la tige des formes différentes. Ainsi, en supposant que le fil central de la tige (fig. 5) consiste eu deux droites Cm, An, unies par l'arc mn du cercle qui les touche, et en laissant droites les premières parties des tiges avec les bras, nous avons trouvé que lorsque *' les sphères oscillantes ont au diamètre

0,8, l'égalité des momeuts est assurée, si l'ou a observé les conditions suivantes;

1) L'angle ECm que font au point G les fils centraux de la première et de la seconde partie de la tige a 198°; la longueur du fil droit Cm est égale à 0,5; le rayon de l'arc mn est égal à 0,6.

2) La seconde partie de la tige OmnA^ là où elle reste droite, doit avoir la largeur égale à «ne certaine quantité constante X Mais la largeur de la partie recourbée de la tige va en croissant du commencement de la courbure jusqu'au milieu oii cette largeur devient égale à -^ X; après quoi elle commence à décroître et à la fin de la courbure revient à sa valeur première X. La loi de la variation qu'éprouve la largeur de cette partie de la tige est telle que les fils extérieurs sont représentés par le arcs des cercles.

3) La largeur de la première partie de la tige près du point G est égale à X: mais dans la direction vers le bout E cette largeur diminue uniformément et au point E devient égale à -j X.

4) Sur toute l'étendue de la tige l'épaisseur reste constamment égale à une quantité quelconque [<..

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur étendue égale àO,52Xi)..

6) La charnière qui sert à joindre la tige au bras (par cette expression OH désigne tout ce qui est situé à l'endroit où la tige et le bras se touchent, et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, l'épaisseur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13 XfA de nos unités cubiques.

Quand nous avons parlé de la figure du fil central CnmA de la seconde partie de la tige, nous n'avons rien dit de la longueur de l'arc mn et du segment nA, parce que la longueur de ces lignes est définie par cette circonstance que la droite An représente une tangente à l'arc mn, menée du point A. Quant aux cercles qui définissent la figure des fils extérieurs de la partie recourbée de la tige on peut les déterminer facilement, si l'on connaît la largeur de cette partie à ses deux bouts et au milieu, comme nous le montrerons plus loin (g 9).

Remarquons encore que les proéminences et les échancrures des tiges près de G, leur point d'attache à l'axe du régulateur, n'influencent pas considérablement l'égalité des moments, dont nous nous occupons, car en cet endroit pour chaque point la différence des distances aux plans P et P, est peu sensible. On peut dire la même chose de ce bout du bras qui est articulé avec la douille, parce que l'égalité des moments ne doit subsister qu'au cas où la projection du bout considéré sur le plan de la figure coïncide avec le point G, ce qui suppose l'égalité de ses distances aux plans P et Pj.

§ 8. Si Ton s'arrête au cas, où les tiges, les bras et les charnières qui les joignent sont construits conformément à ce qui était dit, et si l'on évalue

dans cette hypothèse les quantités jj, p^, F, ^, % p qui entrent daus les formules (5), on trouve

p ~13,8Xtf., X— 0,292,

;ji= 2,5V. r= 0,205,

Ici l'on a pris pour unité des poids celui de la sphère oscillante; dans le cas considéré, cette sphère a, comme nous l'avons vu, le diamètre égal à 0,8 et, par hypothèse, est faite de la même matière que les tiges, les bras et les charnières.

En mettant les valeurs trouvées dans les expressions (5) et en substituant au rapport ^ sa valeur 0,9, on a les équations suivantes qui déterminent r, P et l'angle AGE:

(7) ^ACE-i-arc-sin^^^=nriO'.

En divisant la première de ces équations par la seconde, on obtient:

2i--t-9,6Xn 0,84713

ce qui donne l'équation suivante pour r:

r^— l,72124r=7,5XiJ.; d'où il suit

Si l'on développe cette expression en série et si l'on s'airête au premier degré de \^, on trouve

Pour passer à l'évaluation de F nous remarquons que l'équation (6) nous donne:

T> (1 r ^ 2r 9,6 Xjx

si l'on y met pour r sa valeur, trouvée plus haut, on eu déduit (9) P= 4,0636-1- 19 X^t.

Ayant évalué la quantité F, nous tirerons de l'équation (7) la valeur de l'angle AGE; enfin, connaissant cet angle et le segment AG=r, nous trouverons la position du point A, centre de la sphère oscillante.

Ainsi, avec la précision suffisante pour la pratique, se détermineront la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur m, comme on l'a vu {§ 5), reste toujours égale à 1,31271; la surface de leurs sections, par hypothèse, ne varie pas sur toute l'étendue des bras et reste égale à 0,52X[j.. Mais, évidemment, on ne changera rien dans les conditions de l'équilibre, si l'ou considère les particules de la douille qui avoisineut le bras comme n'appartenant pas à celle-ci, mais au bout du bras qui y est attaché. De la même manière on peut attribuer à l'autre bout du bras uue partie des masses, qui sont destinées à former le joint, articulant le bras avec la tige.

D'ailleurs, il n'est pas difficile de remarquer que, grâce à cette circonstance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la distributio]! de la matière sur leur étendue n'influencent pas considérablement le mouvement du régulateur, si seulement le centre de gravité des bras conserve sa première position. D'où il suit, que dans la construction des régulateurs il n'est pas indispensable d'observer strictement notre supposition relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse des bras aux frais de celle du manchon et des charnières.

§ 9. Pour donner un exemple de l'application des formules trouvées plus haut, posons que les quantités \, ^ qui déterminent d'après § 8 la largeur et l'épasseur de la tige, ont la valeur suivante:

En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), ou trouve

Sil'on introduit ces valeurs pour P, X, jj. dans l'équation (7), on obtient:

d'où, en remarquant que

. 6,78' 0,1 e ■0,12 . ,. r,^,- to-c^'

on déduit

Z2lOB-i-r68'=119°10',

ce qui iious donne