I- Vil* -^2pV

s'écartant le moins de zéro entre les limites X =^ 0 et X =: ?, s'annuleraient non seulement pour X^O, mais aussi pour X=^. D'après le § 9 du mémoire précité on trouvera les polynômes cherchés, si l'on remplace l par ô^gj dans l'expression écrite plus haut du polynôme du troisième degré et par 0952 dans celle du polynôme du quatrième degré. On obtient ainsi

^,(X*~l,638ZX^-t-0,638;^X^),

polynômes, qui serviront à déterminer les profils des dents remplissant la condition que le rapport des vitesses angulaires aie la même valeur normale à la fin ainsi qu'au commencement de la prise et qui pendant la durée de la prise s'écarte les moins po^ible de cette valeur.

4. Nous commencerons par le cas, où dans le choix des profils des dents, les exigences de la pratique étant satisfaites, il ne reste qu'une quantité disponible, qu'on peut déterminer de manière, que les irrégularités du mouvement de l'engrenage soient les moindres possibles. Dans ce cas, en nous arrêtant à la troisième puissance dans le développement de la diiférence

FQC,-§--K nous devons poser (1) F(h)~§^l=K^Q? — l-)^).

Or, en vertu de la nature de la fonction F{\), le premier membre de l'équation (1) peut être réduit toujours à la forme suivante exacte jusqu'à X^

comme nous l'avons vu au § 3; donc l'équation (1) nous donne une relation entre les coefficients K^ et K^ et, par conséquent, aussi entre les quantités, qui déterminent le profil cherché.

Pour obtenir cette relation nous pourrions trouver l'expression de la fonction F(k) et puis comparer les coefficients de X^ et de X^ dans les deux membres de l'équation (1), mais on peut procéder plus simplement, en remarquant, que l'équation (1) différenciée donne

F'Çk) — ^=^K^{?,\^ — 2a)

ce qui suppose avec uue approximatiou jusqu'à 1^, que la différeuce

devient nulle pour X =: 0 et >. = y ^.

La première valeur X =^ 0, annule toujours la différence

comme nous l'avons vu au § 2 ; l'annulation de cette différence pour >. = y ï nous servira à trouver la relation entre les quantités, lesquelles contient la fonction F(K).

Dans ce but rappelons que, d'après le § 2, la dérivée F' (A) représente le rapport réel des vitesses angulaires des roues considérées et la fraction -g la valeur normale de ce rapport; si donc la différence

s'annule pour l = ~l, c'est qu'à ce moment le rapport des vitesses angulaires a sa valeur normale et par conséquent la normale commune aux deux profils en prise passe par le point de contact D des circonférences primitives sur la ligne des centres CC^. Or, il est facile de trouver l'inclinaison de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, où }. = ~l^ ce qui servira à établir la relation entre les qnantités qui déterminent le profil cherché.

§ 5. Conservant les mêmes notations que dans la figure 1, nous aurons (fig. 2): GD^M, Cj^D^M^ les rayons des circonférences primitives, AD:=p, BD-=Pj^, les rayons des arcs de cercle DE et DF; A et B les positions des centres des arcs DE et DFau moment, oîi leur point de contact est sur la ligne des centres CG^ au point D; Aj et B^ les positions respectives de ces centres après une rotation de l'angle X = AGA^ ;= y ï de la roue C, quand la normale commune A^B^ aux profils B^E^ et D^-F^, comme il est dit au paragraphe précédent, passera par la point de contact primitif B; soient: r = AG= Afi et les angles

h = AGI), N = ABG, V = AD A, .

Le triaugle A^DG donne la relation timg{ADG—ADÂ,) =

AiO.&iaA,CB ' VD — A,G.coiAiGD'

en employant les notations adoptées on a donc

taug (iV — w) = -

En résolvant cette équation par rapport à taug v^ on trouve

Tb — rcoa(i — yj]"] tangJV— raiufi — -|-i^

tang V =

. i — ■=-' tang-ff

i^-jf — -^ï

tang V =

Développant ici

a(Ar-Hi~-|i), cos{N-t-L — ^i)

suivant les puissances ascendantes de l, on exprime par les séries suivantes: le numérateur

IisiaN—rsm{L-i-N)--t--jrcos{L^N}.l-i~^rsia{L-^N).P-i- ,

et le dénominateur

Bco^N— rc(is{L-\-N] — -|- rsin (i-i-iV) Jm--| r cos (L-t-N).P-^. . . .

Mais du triangle ACB on tire

CD . sin ÂDC = AG. siu CAD.

GD . Cûs ADG -I- AG. ces CAD = AD,

d'où, en remplaçant l'angle CAD par

■jL — (ADG~i-AGD), avec les notations adoptées ou reçoit

MsmN-=r sin(Z-i-iV), B cos N — r ces {L -+- N) = p,

ce qui réduit les expressions trouvées du numérateur et du dénominateur dans la formule (2J aux foi'mes suivantes plus simples:

^ {McosN—$) l -I- 1 RsiaN.l' -i-

p~~B&mN.l-t-~iEcosN~'p)P'i'

En divisant la première de ces séries par la seconde on trouve

K^cosiV— i);-h|-^ (|- cos N— I) sinNJ'-^-. . . .,

et par suite, d'après l'équation (2), la valeur de taug v exacte jusqu'à la deuxième puissance inclusivement sera

Mais l'approximatiou admise permet de remplacer la taûgente par son arc, ce qui donne

L (I eos JV- 1 ) i H- A f (f cos J^ - i) sin Jf . P.

Telle doit être la variation de rinclinaison de la normale commune aux profila en prise après une rotation de l'angle AGAy^-^l de la roue C, pour que cette normale passe par le point de contact des circonférences primitives lorsque 4G4[ = -r ^ ce qui doit avoir lieu pour l'eugrenage cousidéré.

Cela posé, il est facile de trouver une relation entre les quantités

P: Pu N,

qui déterminent les arcs DE et BF; à cet efifet il faut connaître la valeur

de V pour des valeurs quelconques de

P= Pi, JV. C'est ce que nous allons cbercher.

§ 6. Soient (fig. 3) Aei B les positions des centres des arcs consi-

Fig. 3.

js, quand leur point de contact est sur la ligne des centres; AGD = L, ADG=N, CD = R, G,B = K,

A■^ et B^ les positions des ceiitres des arcs après que la roue C a tourné de l'angle quelconque AGA^ = \

A,GB = L~'A, A,DaG=N—v;

soient aussi BG^D = M et p. l'accroissement de cet angle correspondant à l'angle de la rotation AGAi =X de la roue G; alors

Pour obtenir l'équation qui détermine la valeur de v pour une valeur quelconque de X, projetons le polygone GA^B^C^ sur la direction de laligne des centres et sur une perpendiculaire à cette direction; nous aurons

A^G.CQsA,GD-^A,B,coBA^D^G-t-B,G,cosB,G^I) = GG, A^G sin A,GD~A^B^ smA,D^G-^- B^G^ sin B^G.D = 0,

d'oii, en remarquant que

J^G:=r, B^G^=r^, ^j5, = p-i-p^, CG^ = M~i-B^ A,GD = L~l, A,D^G=N—v, DG^B^ = M-t-it., on trouve

r cos (L — X) -H (p H- pj) cos (N — v) -t- r^ cos (Jfn- f^) ^ iî -*- iî, , rsin(i — X) — (p -i- p J sin {A"^ — v)-t-r^ siu(ilf-i-ti:) = 0.

Éliminant (M-t-^) entre ces équations, on a;

ï-j^ — [B-i-Ili — r cos (X — X) — (p -*- Pi) cos (N~ v)y M- [ — r sin {L — X) -i- (p h- p^) sin (N — v)f,

ou en supprimant les parenthèses

ri= = (R-i- B,f -t- (p -H pj)^ -*- ï-2 -I- 2r (p -t- p,) cos (Z h- N~ I—v) — 2 (K H- iïj) \r cos (i — X) -1- (p H- Pi) cos (JV — v)\ .

Pour les valeurs particulières X ^ 0, v = 0, cette égalité devient:

/■jS ^(B-t- BJi -I- (p -H p,)^ -H r^ -H 2r (p -H pi) cos [L-t-N) — 2{Il-t~ E^) [r COS Z, -1- (p -f- p^) cos N] .

Soustrayant cette équation de la précédente, on obtient

ia(L-t-N—'k — v) — C03 (X -I- N) coa {N — v) — coa If cob (J — ?,) — coa L

Pour en déduire la valeur de l'angle v développée suivant les puissances ascendantes de l'angle X j

et déterminons les coefficients K-^, K^,. . . .

En portant cette expression de v dans l'équation précédente et développant suivant les puissances de X, nous aurons

sinfi-i-ff) ,„ ,, siuiV i^ ain £ l -,

!2 ain (L m- W) .g; — coa (L ■+■ N) {Ki + If \ B + Jii (^

aainJV.gs — coa.y..gi' ^ coaJ j ^

d'où pour la détermination des coefficients K,, K^ on tire les équations suivantes ;

2 ain (L-^N)K^~ coa (Z + jV) (K^ ■+■ 1)' 2 ain jV. g^ - o^ J^-gi^ ^o^^ r

qui donnent

.ini 8i«(iH-Jïl

CÛSi

P-Pi

H S + ii. r )

Afin de cliasser de ces expressions les angles

L = AGB et L -*-N^ ABG-t- AGB remarquons, que le triangle ÂCD donne

sin^Ci) = ^siuAD(7, sin {AI)C-\- ACD) = sin CAD = ^ sin ABC;

CD — AD. coa ADO

<SACB =