AC
AD ~ CD. coa ADO '
cos (ADG-i- AGB) ^ — cos GAB
ou, d'après la notation adoptée,
8iRL^=y%mN\ sin (i -+- ^) = — sin 2^;
cos£ = -^-^/"^^; cos(L^N) = ~'-^^-^^.
En portant ces valeurs de
sin L, sin {L -+- N). cos L, cos {L -t- N)
dans les expressions précédentes des coefficients -ST^, K^, ou trouve, toutes les réductions faites,
(ç.-It>i<3aN)(E^-^l)^-\-{B-^^It^)ï'co^N.E.^-^-■^~'""^^^~\ E„ = ^ P"^"' À.
2 2^1 sin N
Telles sont les valeurs des coefficients K^ et K^ de la série
qui donne la valeur de l'angle v correspondant à une valeur quelconque de l'angle X pour toutes les valeurs de
§ 7. En posant dans la formule trouvée
nous aurons la valeur correspondante de l'angle v
v = ^K^l-t-^KJ^-+-
Or dans le cas de l'engrenage considéré d'après la formule (3) (§ 5) cette valeur particulière de v est
Comparant ces deux valeurs du même angle on obtient une équation, qui, étant divisée par y l, prend la forme
(5) ff, — y cosi^-i-l'+--|-[^,— y (y cosA^ — -i-jsiniV] 1 = 0,
où K^ et K^ ont les valeurs indiquées au § 6.
La valeur de K^ , comme nous avons tu, est très simple :
Quant à l'expression de la valeur de K^ elle peut être considérablement simplifiée en vertu de l'approximation, à laquelle ou se borne.
Remarquons que dans le calcul de cette valeur on peut négliger même les premières puissances de l, puisque cette quantité n'entre comme facteur que dans le dernier des termes retenus. En outre, d'après l'équation (5), si l'on néglige le second terme, on a
équation, à l'aide de laquelle on simplifie facilement l'expression de la valeur Sg .
En effet le numérateur de cette expression, K-^ étant l'emplacé par la différence
AcosjV— 1,
(p -H R^ cos N) -r cos^ N— 2 {B~i- H,) — cos^ iVn- ^^' (B -i- p, ces N).
— U3 — Mais la formule (7), d'après (6), donne
formule, qui se réduit à
/0\ H-t- Ht JCXtr
Eu remplaçant le facteur
P-^Pi
dans le dernier terme de l'expression précédente par
■^ cos N,
ppi '
on la réduit à la suivante:
L p" p ppi J '
qui après la substitution
^^■"-"'■'cosiT
PPl
au lieu de devient
ou
^^sin^A^cosi^.
Remplaçons ici
cosN
ppi
d'après la formule (8) par
p-Hp, SB,-
et nous aurons
p-t-pl expression réduite da numérateur de K^, donné à la fin du g 6.
Par suite on obtient pour la détermination du coefficient K^ la formule suivante très simple:
Portant les valeurs trouvées de K-^ et K^ dans l'équation (5) et remplaçant dans son dernier terme, d'après (8),
ifi p-HPi' on obtient, la réduction faite,
(10) cosA'-gg^ Jl--^ ,-],"'■ -"''^"■-"''"''^'"Bm jyj^^O.
§ 8. Cette équation exprime une propriété géométrique très-simple des arcs de cercle qui forment les profils de la face et du flanc de la dent de l'engrenage considéré. Mais avant de la faire ressortir cherchons la formule qui sert à déterminer les longueurs de ces arcs.
Conservant les notations précédentes des arcs DE, DF et de leurs centres ^ et £ au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des centres, soieut (fig. 4) DiE^, D^E^, A^, B^, les positions extrêmes des
arcs et de leurs centres au moment, où les dents vont se quitter, ce qui correspond, comme on l'a vu, à la rotation de l'angle ACA^^l de la roue G.
Traçons la droite AE; l'angle GAE est égal à GAiEi , parceque A et A^ de même que E et E^ représentent les mêmes points de la roue Cdans ses deux positions; donc l'angle DAE qui est égal à CAE — CAD sera égal aussi à CAjH — CAD; or
CA^H=K—A,OH—A^HG,
CAD =%— ACD — ADG, donc
DAE=AGD — A^OH-i-ADG—A^HG.
D'après nos notations:
AGD~A,OH= AGA^ = l,
ADG— A.HG^N— (N~ v) ^ v,
GÙ la valeur de v s'obtient de la formule (4) pour X^l; il s'ensuit, que si nous appelions w l'angle DAE, qui détermine la longueur de l'arc DE, profil de la face de la dent de l'engreuage considéré, on a pour la valeur de cet angle
ce qui, après la substitution des valeurs de Z, et K^ trouvées au § 7, se réduit à la forme suivante:
' ^-t-;rp
