LES VALEURS LIMITES DES INTÉGRALES
(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 157—160.)
Lu au Congrès Ae l'AasociatJoii française pour l'avancement dea Sdencea, & Ljon. Séance du 27 août 1873.
Sur les valeurs limites des Intégrales.
Dans uu Mémoire très-intéressant, sous plus d'un rapport, que M. Bien- 3.jmé a lu à l'Académie des Sciences, en 1833, et que l'on trouve imprimé dans les Comptes rendus, et reproduit dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville (2-e série, t. XII, 1867), sous le titre: Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probaUlUé dans la méthode des moindres carrés, l'illustre savant donne une méthode qui mérite une attention toute particulière.
Cette méthode consiste dans la détermination de la valeur limite de l'intégrale
fj
f(x) dx
d'après les valeurs des intégrales
f{x) dx, X f{x) dx, x^ f{x) dx,. . . .
où ^ > a et f{x] une fonction inconnue, assujettie seulement à la condition de garder le signe -i- entre les limites d'intégration. La démonstration simple et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que l'on trouve dans ma Note sous le titre: Des valeurs moyennes*), n'est qu'un des résultats que l'on tire aisément de la méthode deM. BieHaymé, et d'après laquelle i! est parvenu luimême à démontrer une proposition sur les probabilités, d'oii la loi de Bernoulli découle directement.
En cherchant à tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de l'intégrale
f f{x) dx
i valeurs des intégrales
f{x) dx, X f\x) dx, %^ f{x) dx, , a;"' f{x) dx,
et où f{x) reste positive, je suis parvenu à recounaltre que ces recherches conduisent à des théorèmes d'un nouveau genre, concernant le développement de l'expression
\Ç^^dx
en fraction continue, qui joue un si grand rôle dans la théorie des séries. Voici, par exemple, un de ces théorèmes:
Si ~ est une des fractions convergentes de
\{^,dx,
que Von trouve en développant cette expression en fraction continue
soient les racines de l'équation
rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f{x) reste positive entre les limites x^=A, x:=B, la valeur de l'intégrale
f{x) dx
et reste au-dessous de celle-ci:
vin) , fJH-^-i) , f(^n—x) , fK)
¥ (ïj) ~*~ if' {^t^O "^ ■ ■ ■ ■ "^ -1-' (%i) Fl%) ■
Comme exemple des problèmes qu'on parvient à résoudre par cette méthode, je citerai celui-ci:
Étant donnés la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le moment d'inertie d'une droite matérielle de densité inconnue et variable d'un point à l'autre, trouver les limites les plus proches du poids d'un tronçon de cette droite.
En supposant qu'il s'agisse d'évaluer le poids d'un tronçon de la ligne compté d'un de ses bouts, dont la distance du centre de gravité est égale à d, et en désignant par î, p la longueur et le poids de la ligne entière, par k son moment d'inertie autour de l'axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire à celle, par x, e la longueur et le poids du tronçon en question, on parvient à cette solution:
Tant que x est au-dessous de
^ il- d)p'
le poids z reste compris entre
dans le cas où x surpasse
ce poids reste entre les limites
p et enfin, si X reste compris entre
la valeur de ce poids est comprise entre les quantités
!« — d) {l~d\ p-i-k . (l-^ d — xj il — d) p — k
Ix l{l~x)
SnR LES FONCTIONS qm DïFFÉRENT LE MOINS POSSIBLE DE ZÉRO.
(XRADUXÏ PAR M. >i. KHAWXKOï".)
(Liouvilie. Journal des ma (thématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 819-846.)
0 (éu'uétiiji-cc's , HauM^HWC ^fdAOHJMO^^uoccJ^ om/& w^jv^.
{npnjiomeaie Œi,XXIlTOuy 3auHC0Ki. HMnepa'jîopcKofl AKaseMia Hayici,,;?^» 1, 1873 r CTp. 1--32,)
tMHTaHO Bt aac'iji,aHÏn $«3HKO-MaTeHaTKieci;aro OTRiJieHia 28 KOflâpn 1872 r,
Sur les fonctions qui diffèrent le moins possible de zéro.
1. J'ai montré, dans le Mémoire Sur les fonctions semblables à celles deLegendre*), comment leprocédéque ce géomètre a employé **) pour établir la propriété fondamentale des fonctions connues sous son nom pouvait être étendue à d'autres fonctions, plus compliquées, qu'on obtient en développant l'expression
{l-t-8-^ VT^^sx -I- s-if (l — a -4- ■\/T^2sx -«- s')** V"! — Isx -4- s^
en une série de la forme
To-HTiS-i-TgS^-i- ,
ms son Mémoire intitulé: Untersuchungen iiber die Differen- ■ Jiypergeometrischen Reihe ***}, déduit la même propriété
à l'aide d'une équation différentielle à laquelle on satisfait au moyen de séries bypergéométriques.
Je me propose ici d'appliquer ces fonctions à une recherche qui montrera plus clairement encore leur rapport intime aux fonctions de Legeudre.
Cette application consiste à déterminer les polynômes de !a forme
x" --t- AiX"~' -i- A^x"~'' -t- .... -t- J-^i3: -^- A^,
qui, sans cesser de croître ou de décroître constamment entre des limites données, diffèrent aussi peu que possible de zéro. Les polynômes de cette
*| T. II, p. 61—68.
**) Esercices du Calcul intégral, t. II, p. 250. *'*J Jacobi, Mathematische Werke. Baiid. III.
espèce, comme noua le verrons, s'expriraeut à l'aide des fonctions de Legendre uniquement dans le cas où «, le degré du polynôme, est un nombre impair, et le polynôme lui-même est une fonction croissante. Dans tous les autres cas, la détermination de ces polynômes exige l'emploi d'autres fonctions que nous venons de désigner par T^, T^, T^,. . . et que l'on obtient en développant en série l'expression
pour des valeurs de X et [jl différentes de zéro. Les polynômes déterminés de cette façon trouvent une application utile dans les recherches de l'Analyse pure, comme dans les questions de Mécanique pratique, ainsi que nous l'avons montré dans notre Communication du 22 août 1871, faite à Kiev lors de la troisième réunion des naturalistes russes, de même que dans notre article sur le Bégiilatew centrifuge, imprimé à la suite du compte rendu de de l'École technique de Moscou pour l'année 1871.
2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des valeurs de la variable x sont réduites à - — 1 et w- 1 (ce qu'il est toujours facile de réaliser).
En désignant par F {x) le polynôme
x^-\- A^ a;"~' -+- A^ ic"~^ h- .... -h ^„, x-^-A^
nous ferons remarquer que l'une des conditions de notre problème impose à la fonction F (x) d'être constamment croissante, ou constamment décroissante, depuis X ^ — 1 jusqu'à x --= -i- 1, àe sorte que sa dérivée première
doit conserver toujours le même signe entre ces limites; par conséquent, les valeurs primitives
F{-\), J'(-Hl),
qui correspondent aux valeurs
représenteront les limites entre lesquelles la fonction F (x) variera dans le passage dea; = — làaî=:-Hl. Pour que le polynôme F {x) puisse différer aussi peu que possible de zéro, en passant de F {—- l) k F (-i- 1), il faut que le plus grand des nombres
soit, eu valeur numérique, aussi petit que possible et qu'il ne puisse devenir moindre par aucune variation du polynôme F {x), compatible avec les conditions de la question, qui déterminent le degré et la forme du polynôme
F(3;)^3;'*-+- J.j3;''~^-i-^g3;"~'-i- .... -+- Aj^^x -+- A^
ainsi que le signe de sa dérivée F'{x).
Il est facile de voir que le polynôme cherché doit être tel que l'on ait l'égalité
En effet, si cette égalité n'a pas lieu, nous n'aurons qu'à retrancher de
F(x) la quantité constante
ce qui, évidemment, ne change ni la forme du polynôme F{ic), ni la valeur de sa dérivée, et nous obtenons, au lieu des limites anciennes,
F{~\), JP(-t-l)
deux nouvelles valeurs que voici:
F(-Hl)-
■F(-i- 1) ^ ff{- 1) F{-t- 1) - F{— 1)
En comparant les carrés de ces quantités avec la moyenne arithmétique dei carrés de
nous verrons que
/j-(-Hl)F(-l)V /F(^l)-.F(-^l)y^F2(-^l|^j-2(i) /F(...i)^F(i)y
D'où il résulte que le carré des nouvelles limites
J'(+l)-F[-l) jr(-l)-F(+l)
sera inférieur au plus grand des carrés
et que, pai- suite, les nouvelles limites seront inférieures, en valeur uuméque, à la plus grande des anciennes limites. Ainsi nous sommes conduits à admettre que, dans la question qui nous occupe, tous les polynômes cherchés doivent satisfaire à l'égalité
Cette égalité nous donne donc les moyens de trouver la valeur des polynômes que nous examinons, à l'aide de la valeur de leur dérivée. En effet, représentons le polynôme F{x) par l'intégrale
?{x) = \F'{x)dx-t-C
et mettons cette expression dans l'égalité trouvée ci-dessus, nous obtenons, pour déterminer la constante G, l'équation que voici :
\F'{x)dx-i-G=~~C.
G = — ^\f' {x)dx,
En mettant cette valeur de G dans l'expression de F{x), on a
(1) F{x) = F' {x) dx — ^\ F' {x} dx.
En déterminant les valeurs limites du polynôme F{x) correspondant à a: = ± 1, nous trouverons qu'elles sont égales à l'intégrale
~{F'{x)di:
prise avec le signe -+- ou avec le signe — . Il s'ensuit, de plus, que la plus grande valeur des polynômes que nous avons eu vue sera égale à la valeur numérique de l'i
{x) dx.
