m-i-l)fct j 1.2.3. .. (2ni^-2)tg j

Les fonctions /q (a), /\ (:S) étant de même degré, la fraction ^4^ est du degré zéro; de plus, l'expression

- L. î-îii-î — x„ g-^^- s - . . . e

ne diffère de 1 que par les puissances de 3 inférieures à s~^'"~^; par con-

séqueut, l'équation trouvée noua montre que la fraction ■^j^ ne diffère de

l'expression

que par les termes qui reufcrmeut les puissances de z moi s— jm— i et, par suite, moins élevées que le degré de la fraction -777™; car la fonction fj(z), comme nous l'avons vu, n'est que du degré m. Mais, on le sait, la fraction ^4^ ne peut donner une valeur approchée d'une fonction quelconque exacte jusqu'à l'ordre de jttj^, à moins qu'elle ne soit l'une des fractions convergentes qu'on trouve par le développement en fraction continue, et que le quotient complet, correspondant à cette fraction convergente, ne soit dépourvu du terme en — . En partant de là, il est aisé de trouver et la constante k et les fonctions f^ {s), fj {z), qui déterminent les valeurs A& x^, x^, . . . , x^, ^m-+-\^ ^m-i-î' ■ ■ • ) ^2«f -^ ^^^ ^ïï^i, on développera l'expression

eu fraction continue, en s'arrêtant au quotient qui correspond à une fraction convergente dont les termes sont du degré m. Égalant à zéro le coefficient de — dans l'expression complète de ce quotient, on aura l'équation qui déterminera la valeur de la constante ft, et, en mettant la valeur de le ainsi déterminée dans deux termes de la fraction coBvergente, on aura les fonctions cherchées f^is), f^i^).

. 9. Pour montrer, sur un exemple, l'usage de ce que nous venons d'exposer, supposons qu'il s'agisse de trouver l'expression approximative de l'intégrale

J iEç ((c) dx.

Pour cela on posera, dans les formules du numéro précédent,

Pour cette valeur de F(x), on obtient

f F(x)log{s — x)dx=\ a:log{^ — a;) cte ^ ^-g— log j^^^ -

En développant la dernière expression en fraction continue, on trouve que le quotient complet, correspondant à une fraction convergente dont les termes sont du premier degré, est égal à

3fa-^l(|4±)i-H..., et que cette fraction est égale à

!its — 1

Slcg ■+■ 1 ' d'où nous concluons que, dans l'expression approximative de l'intégrale

J 3:9 (x) dx par la formule

on doit prendre, pour k, une racine de l'équation

et, pour a;,, x^, respectivement, les racines des équations dhs~~\ =0, ,3/^-5-1-1 = 0.

On trouve ainsi deux valeurs de k:

et deux systèmes des valeui-s de a^j , a:g :

mais de ces doubles valeurs de k, iCj, x,^, il ne résulte évidemment qu'une seule valeur de l'expression cherchée, savoir:

]/iWï)-^(-M

Pour trouver une expression approximative à quatre termes de l'iutégrale

J X(^ {x) dx

on prendra le quotient de la même fraction continue qui correspond à la fraction convergente dont les termes sont du second degré. Comme la valeur 3 ce quotient s'exprime par la série

5832 ft« — 945 F -i- 35

'243 ft2 45 jr

et qu'il correspond à la fraction convergente

270 fcï s2 — 90 fc2 -<- 10 — 54 fcï

270 Sï ïî ^ 90 fe* -I- 10 — U Ifl '

on trouvera les valeurs de la constante h et de x^, x^, a^g, x^ par les équations

270 S:^^^-i-90ft«H- 10 — 54^ = 0.

En les résolvant, on parvient à ces deux expressions approximatives de l'intégrale en question

0,23937 [9 {0,89224)H-tp (0,50030) -q; (-0,50030)- tp (-0,89224)],

10. En passant à la recherche des expressions approximatives de l'intégrale

f cosQf (cosâ) (iâ ou I -~=='^{x)dx,

nous poserons dans nos formules

Pour cette valeur de F{x) ou obtient

f F(x)\og{3 — x}dx=\ ~pâ==hg{s-—x)dx=—T:{e—Vs^'~~l), ^Tf^x) log (^ - ^) ^^ - 4 (^-/^2 l)

Développant la dernière expression eu fraction continue, on trouve les fractions convergentes

4ftg — Tt iSh^s^ - 12ftn:g -t- Tt^ — 12F

qui correspondent aux ciuotients complets

d'où, d'après le n" 8: P, pour la détermination de k, x^, x^ dans l'expression approximative de l'intégrale

r cos 6 cp (cos 0) d%

par la formule

h [œ {a:j) — tp {x^~\ résultent ces équations

1 2 fc^ — Ti:^ = 0, 4 ?1:^ — Ti: = 0, 4 ft2 -t- tu = 0;

et 2", pour la détermination d'une expression semblable à quatre termes, les équations

720&* — 60 TuVc^ -H t:* = 0,

48/c3s^ — 12 &t:^-i-tc^— 12^^ = 0,

48ft^s^H- 12^TC2-i-TC^— 12ft^ = 0.

Les expressions approximatives de l'intégrale

f cos 6 !|i (cos 0) ûfâ,

que l'on obtient d'après ces équations, se réduiaeut à celles qui suivent:

f cos 9 9 (cos 6) (^6 = --IL |q>(cosâ(,) — (p[cos(7i:-i-Qo)]},

0,151765tu |!p(cos 6,) -H tp (cosOg) — 9 [co8{t: -1- e,)] — 9 [cos (it -I- Og)]),

où

On trouverait des espressious plus approchées de l'intégrale I cos 0 9 (cos 0} dô, en prenant plus de termes dans la formule

k [ç (X^) -+- 9 (X^) -+-... H- 9 (Xj — 9 (3;,„^i) ~ 9 (^m-F-î) — ■ ■ ■ — 9 (^^im)]-

Nous n'insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous remarquerons seulement que, en remplaçant dans toutes ces formules les termes de la forme 9 (cos Q^ par

|[,(cOsi)H-,(c„S-^^)-.. . , + ,(cOS^tai^)],

où l est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de l'intégrale

r cos^09(cosô)(?ô.

Ainsi, en partant des formules précédentes, qui donnent les valeurs approchées, à deux et quatre termes, de l'intégrale

f cos 0 9 (cos 9) dB,

on passerait aux expressions approximatives à 21 et U termes de l'intégrale

f cos/69(co86)(iâ,

*) Hormis cette expresBion, il existe une autre aussi ans qualjes termes, où. k = 0,245662ii:, f), = 2âo, D, = 840.

expressions qui peuvent être présentées ainsi:

où les signes de sommations s'étendent à fji ^ 0, 1, 2, . . . , 2Ï— 1.

SCfR